精品解析：湖南岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

2026年6月高一中数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 3. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 4. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 7. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 8. 已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的值域为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 11. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，，若，则______． 13. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 四、解答题（共80分） 15. 已知集合，． （1）若，求A，B及； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. （1）求角B； （2）若的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，求面积的取值范围. 18. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 19. 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. （1）设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. （2）若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年6月高一中数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 3. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值和方差的性质可得结果. 【详解】因为均值为10，方差为1， 所以的均值为，方差为. 故选：C. 4. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 5. 从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式将条件化简得到，再利用数量积的坐标运算求的值. 【详解】若，则，展开整理得. 又向量，， 所以，. 故选：A. 7. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】C 【解析】 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 8. 已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质，求出；再利用向量三角不等式，即，结合向量的模长公式，求出最小值即可. 【详解】由题意得，，由，得， 即，化简得. 令，其图象开口向上，要使恒成立， 则，解得， 又， ，所以的最小值为. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：函数，根据周期公式可得，故A正确； 对于B：令，解得， 当时，，当时，，所以直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于C：令，解得， 当时，，所以是的一个零点，故C正确； 对于D：对于函数，因为的值域为， 所以的值域为，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，先通过图象算出周期，从而确定的值，再根据图象的最高点确定的值，从而得到解析式；B选项，将代入解析式，即可计算函数值；C选项，通过正弦函数的取值范围即可推导不等式的解集；D选项，平移后得到新的函数，根据即可判断出不单调. 【详解】对于A，由图象可知，最小正周期，所以， 因为图象过点，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则，所以，，解得，， 所以不等式的解集为，，故C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，当时，， 此时函数在区间上单调递增，故D错误. 11. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，可知平均数满足，故A正确． 方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确． 因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，，若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】因为向量，， 所以， 又，则，解得． 13. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案. 【详解】∵ ∴ ∴ ∴. 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 已知集合，． （1）若，求A，B及； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式，分式不等式的解法求解，再根据集合的运算即可求解； （2）将“”是“”的充分条件转化为，列出不等式即可求解． 【小问1详解】 当时，由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，解得，所以， 又“”是“”的充分条件，所以， 已知，可得解得， 所以实数a的取值范围为． 16. 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 【答案】（1），第百分位数为分 （2）平均值为分，名学生获奖 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可求得；由频率分布直方图估计百分位数的方法可求得结果； （2）根据频率分布直方图估计平均值的方法可求得，进而估计得到得分不低于平均值的频率，由频率和频数关系可求得估计值. 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，解得：； 设此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分， 数据落在内的频率为，落在内的频率为，， ，解得：， 即此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分. 【小问2详解】 由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为，，，， 此次竞赛活动学生得分的平均值， 此次竞赛活动学生得分不低于分的频率为， 在参赛的名学生中，估计有名学生获奖. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. （1）求角B； （2）若的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化角求解； （2）由余弦定理和三角形面积公式求解； （3）把三角形的面积转化为角A表示的函数，再三角函数的值域. 【小问1详解】 由正弦定理得， 由及，得， 即， 因为， 所以， 所以，因为,， 所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，即，所以. 又的面积为，所以. 所以，所以； 【小问3详解】 由（1）知，，则， 所以，，所以 由，得， 所以，所以，所以， 所以面积的取值范围是. 18. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 19. 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. （1）设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. （2）若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 【答案】（1）（ⅰ）当时，，， 当，即时，则，即， 显然，因此， 所以当时，是P到Q的双界函数. （ⅱ） （2）2705 （3）依题意，时，， 令，则， 令，，则， 两式相加，得，即， 令，，则， 因此， 则 ，所以， 所以是A到B的双界函数. 【解析】 【分析】（1）（i）根据给定条件，利用双界函数的定义计算得证；（ii）根据给定的定义，由，恒成立求解即得. （2）由给定条件可得，利用函数单调性求出在上的最小值，再利用递推关系求出在上的最小值. （3）根据给定的定义，结合赋值法及迭代法推理得证. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），是P到Q的双界函数， 则当，即时，恒成立， 由，得恒成立，而，， 由恒成立，得；由恒成立，得，因此， 所以实数k的取值范围为. 【小问2详解】 依题意，当时，，则，即， 而函数在上单调递增，则当时，在上单调递增， 当时，， 当时，；当时，，， 又，因此函数在上的最小值为， ， 由，得，所以在上的最小值为2705. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $