专题1.2.1--1.2.2 有理数概念与数轴 （13大题型+通关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统整合有理数概念与数轴知识，通过典例变式实现从基础到素养的递进，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数概念|1典例+3变式|概念辨析法（正负数/整数分数分类）|从定义到分类，构建有理数体系| |数轴三要素|1典例+3变式|三要素判断法（原点/正方向/单位长度）|数轴概念到图形表征，培养几何直观| |数轴距离计算|1典例+3变式|同侧减异侧加法则|点与数对应到距离量化，发展推理意识| |压轴平移问题|1典例+3变式|动态位置分析法|基础应用到综合情境，提升数学思维|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2.1--1.2.2 有理数概念与数轴 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数的的概念 模块8 找数轴对应整数点 模块2 写出有理数的个数 微专题10的意义 模块3 用有理数的分类填表 微专题2带非字的有理数 模块4 有理数的类别归属 微专题3数轴上找原点 模块5 数轴三要素判断 微专题4数轴动点基础题 模块6数轴上的点与数互化 压轴1 数轴上平移问题 模块7求数轴两点距离 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 有理数 1.定义:：整数和分数统称有理数．    说明：整   数：正整数、0、负整数统称为整数． 分   数：正分数、负分数统称分数．（有限小数与无限循环小数都是有理数．） 注意：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数． 2.有理数的分类: （1）按正、负性质分类： （2）按定义分类：         3几类特殊有理数的含义 知识点2 数轴 1．概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 三要素：原点、正方向、单位长度 2．对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的．                     3．应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 ．    （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法． 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数的的概念 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．整数包括正整数和负整数 B．0是整数但不是正数 C．互为相反数的两个数乘积为1 D．非负有理数是指正有理数 【答案】B 【分析】此题主要考查有理数的性质，有理数的分类．根据有理数的分类依据即可判断． 【详解】解：A、整数包括正整数、负整数和零，故本选项不符合题意； B、0是整数，但不是正数，也不是负数，故本选项符合题意； C、互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，故本选项不符合题意； D、非负有理数是指正有理数，还有零，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列说法错误的是(   ) A．任何分数都是有理数 B．不一定是负数 C．一个数不是正数就是负数 D．没有最大的有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的知识，掌握有理数的定义和分类是解题的关键．根据有理数的定义和分类，逐项分析即可获得答案． 【详解】解：A. 任何分数都是有理数，该说法正确，不符合题意； B. 当是负数或0时，为正数或0，故不一定是负数，该说法正确，不符合题意； C. 0既不是正数，也不是负数，故本选项说法错误，符合题意； D. 没有最大的有理数，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．零是正数不是负数 C．零既是正数也是负数 D．零既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的相关概念，熟练掌握零既不是正数也不是负数是解答本题的关键．根据零既不是正数也不是负数解答即可． 【详解】解：∵不是正数的数可能是负数，也可能是0，故A不正确； ∵零既不是正数也不是负数， ∴B、C不正确，D正确． 故选：D． 【变式1-3】下列说法中，正确的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．有理数a一定是正数 C．有理数分为正数和负数 D．自然数就是正整数 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的概念与分类，自然数的含义，根据定义逐一分析即可判断． 【详解】解：整数和分数统称有理数，故A符合题意； 有理数a可以是正数，0，负数，故B不符合题意； 有理数分为正数和负数与0，故C不符合题意； 自然数就是非负整数，故D不符合题意； 故选A 【模块二】写出有理数的个数 【典例2】在，，，，，中，有理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义解答即可，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 【详解】解：，，，是有理数，共个， 故选：． 【变式2-1】在，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数包括整数、分数及循环小数等．据此即可求解． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是分数，属于有理数； 故选：D 【变式2-2】在，，0，，，，有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的定义．根据有理数的定义：是整数与分数的统称即可作出判断． 【详解】解：在，，0，，，，中， ，，0，，是有理数，共5个，其它的是无理数． 故选：D． 【变式2-3】下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数分为整数和分数，又分为正有理数，负有理数和0，据此求解即可． 【详解】解：在，，，0，，，中，有理数有，，，0，，共5个． 故选：B． 【模块三】用有理数的分类填表 【典例3】将下列各数填入相应的集合圈内， ﹣，﹣7，+2.6，﹣100，﹣2，9.2，0，1． 【答案】见解析 【分析】根据负数、整数、正数的定义解决此题． 【详解】解：根据负数的定义，负数有． 根据整数的定义，整数有、、0、1． 根据正数的定义，正数有、9.2、1． 既是负数又是整数的有、；既是整数又是正数的有1． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握负数、整数、正数的定义是解题关键 【变式3-1】如图，这两个圈分别表示正数集合和整数集合，则它们的重叠部分表示的是_____集合. 【答案】正整数 【分析】根据有理数的概念求解即可． 【详解】解：依据题意可知重叠部分表示的是正整数. 【点睛】本题考查的是有理数的概念，有理数包括整数和分数． 【变式3-2】下面两个圆圈分别表示负数集合和整数集合，请在这两个圆圈内各填入六个数，其中有三个数既在负数集合内，又在整数集合内．这三个数应填在哪里？你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗？ 【答案】答案不唯一 【详解】试题分析： 因为两个圆圈的重叠部分表示既是负数也是整数的数的集合(即负整数集合)，所以在图中两个圆圈的重叠部分应填入3个负整数，负数集合的未重叠部分可填入3个负分数，整数集合的未重叠部分应填入3个非负的整数. 试题解析： (1) 负数集合的未重叠部分可填入：，，；负数集合与整数集合的重叠部分可填入：，，；整数集合的未重叠部分可填入：1，2，3. (注：这部分答案不唯一，填入的数只要符合题意即可，给出的答案供参考) (2) 这三个既在负数集合内又在整数集合内的数应填在图中两个圆圈的重叠部分中. (3) 这两个圆圈的重叠部分表示负整数的集合. 点睛： 本题考查了负数和整数两个概念之间的关系. 负数在意义上是指一切小于零的数. 负数包括负整数，负分数以及其他小于零的数. 整数包括正整数，负整数和零. 可见，整数和负数不是简单的包含与被包含的关系，这两个集合的交叉部分是负整数. 在有理数这部分内容中，各种数的集合之间的关系是考查的重点，需要注意理解和掌握. 【变式3-3】(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里: (2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合? 【答案】（1）见解析；（2）重叠部分表示负分数集合 【分析】（1）根据负数、分数、负分数的定义去填写即可； （2）即是负数又是分数，则该数为负分数，据此求解即可. 【详解】(1)根据题意如图: (2)这两个圈的重叠部分表示负分数集合; 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键. 【模块四】有理数的类别归属 【典例4】把下列各数相应的数填入相应的横线内：，，，，20，0，，，，． 负有理数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 正数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，正确掌握有理数的分类是解题的关键，根据有理数的分类依次解答． 【详解】，， 负有理数集合：{， …}； 正分数集合：{，，…}； 非负整数集合：{ 20，0，…}； 负整数集合：{…}； 正数集合：{，，20，，，…}． 【变式4-1】把下列各数填入相应的大括号里． 整数集合：{                           …}； 正数集合：{                           …}； 负分数集合：{                         …}； 非负有理数集合：{                     …}； 非负整数集合：{                     …}． 【答案】见解析 【分析】此题考查了有理数的分类，利用整数，正数，负分数，非负有理数以及非负整数的定义判断即可． 【详解】解：整数集合：； 正数集合：； 负分数集合：； 非负有理数集合：； 非负整数集合：； 【变式4-2】把下列各数填在相应的集合内． ，2，，，，0，，， 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 非负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 【详解】解：整数集合：{，2，，0}； 负数集合：{，，，，}； 分数集合：{，，，，}； 非负数集合：{2，0，，}； 正有理数集合：{2，，}． 【变式4-3】把下列各数分别填在相应的横线上： 1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有：______________________________________________________； 分数有：______________________________________________________； 负数有：______________________________________________________； 正整数有：____________________________________________________； 非正数有：_____________________________________________________； 负整数有：_____________________________________________________； 非负数有：_____________________________________________________； 负分数有：_____________________________________________________； 非负整数有：___________________________________________________． 【答案】 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，，-23.13，0.618； -0.20，-789，-23.13，-2014； 1，325； -0.20，-789，0，-23.13，-2014； -789，-2014； 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，-23.13； 1，325，0. 【详解】按照本题中给出的分类，结合各类型数的定义依次分析各个数的特征，得 (1) 1是正数；1是正整数；1是非负数；1是非负整数. (2) -0.20是分数；-0.20是负数；-0.20是非正数；-0.20是负分数. (3) 是正数；是分数；是非负数. (4) 325是正数；325是正整数；325是非负数；325是非负整数. (5) -789是负数；-789是非正数；-789是负整数. (6) 0是非正数；0是非负数；0是非负整数. (7) -23.13是分数；-23.13是负数；-23.13是非正数；-23.13是负分数. (8) 0.618是正数；0.618是分数；0.618是非负数. (9) -2014是负数；-2014是非正数；-2014是负整数. (10) π是正数；π是非负数. (11) 0.1010010001…是正数；0.1010010001…是非负数. 故本题应进行如下填写： (正数) 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； (分数) -0.20，，-23.13，0.618； (负数) -0.20，-789，-23.13，-2014； (正整数) 1，325； (非正数) -0.20，-789，0，-23.13，-2014； (负整数) -789，-2014； (非负数) 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； (负分数) -0.20，-23.13； (非负整数) 1，325，0. 【模块五】数轴三要素判断 【典例5】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可． 【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键． 【变式5-1】图中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义分析即可. 【详解】解：A，B，C的单位长度不一致，故所画的数轴不正确； D.具备数轴的三要素，故所画的数轴正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了学生对数轴的掌握情况，数轴有三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 【变式5-2】下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】D 【分析】根据数轴的定义及意义，依次分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项可得， A、根据数轴的概念，有原点、正方向且规定了单位的直线是数轴，A错误，不符合题意； B．数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故选项B不符合题意； C．∵任意有理数都能在数轴上表示出来，故选项C不符合题意； D、∵任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式5-3】下列说法：①规定了原点、正方向，单位长度的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ 【答案】C 【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法正确； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数，说法错误； ③有理数在数轴上无法表示出来，说法错误，可以表示； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故正确的结论有：①④， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 【模块六】数轴上的点与数互化 【典例6】数轴上点M到原点的距离是6，则点M表示的数是（   ） A．6或-6 B．-6 C．6 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用数轴上的点与有理数的关系判断即可． 【详解】解：数轴上到原点的距离是6的点有6或-6， ∴M=6或M=-6， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可由数轴上的点表示，0可以用原点表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示． 【变式6-1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“4.3cm”对应数轴上的数为（    ） A．－1.7 B．－1.3 C．－0.7 D．－0.3 【答案】B 【分析】利用数轴上两点间的距离的表示方法列式计算即可． 【详解】解：设刻度尺上“4.3cm”对应数轴上的数为3-4.3=-1.3． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴：在数轴上，右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离． 【变式6-2】画一条数轴，并在数轴上标出下列各数． ﹣3，，﹣1.5，0，+3.5，4 【答案】见解析 【分析】根据正数在原点右边，负数在原点左边即得． 【详解】解：如图： 【点睛】本题考查了数轴上数的表示，属于基础题． 【变式6-3】在数轴上，点对应的数为3，点对应的数为7，则线段的中点所对应的数为（   ） A．4 B．4.5 C．-5 D．5 【答案】D 【分析】根据数轴上的中点公式:a、b的中点为，计算即可． 【详解】解：∵点对应的数为3，点对应的数为7， ∴线段的中点所对应的数为 故选D． 【点睛】此题考查的是求数轴上一条线段中点所表示的数，掌握数轴上的中点公式是解决此题的关键． 【模块七】求数轴两点距离 【典例7】数轴上表示数和2009的两点分别为和，则和两点间的距离为（    ） A．1998 B．2008 C．2019 D．2020 【答案】D 【分析】利用数轴上两点之间的距离的计算方法进行计算，数轴上点A、B表示的数分别为a，b，则AB＝|a−b|． 【详解】2009−（−11）＝2009＋11＝2020， 故选：D． 【点睛】考查数轴表示数的意义，数轴上点A、B表示的数分别为a，b，则AB两点之间的距离AB＝|a−b|． 【变式7-1】数轴上点M到原点的距离是6，则点M表示的数是（   ） A．6或-6 B．-6 C．6 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用数轴上的点与有理数的关系判断即可． 【详解】解：数轴上到原点的距离是6的点有6或-6， ∴M=6或M=-6， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可由数轴上的点表示，0可以用原点表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示． 【变式7-2】数轴上点A表示的数是2，那么与点A相距3个单位长度的点表示的数是______． 【答案】5或/-1或5 【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案． 【详解】设这个点表示的数是x， 则|x-2|= 3 x- 2=3或x-2=-3 x = 5或x=-1 故答案为：5或-1 【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏． 【变式7-3】已知点A和点B在同一条数轴上，点A表示的数是-2，又知点B和点A相距3个单位，则点B表示的数是（    ） A．-1或5 B．-5 C．1或-5 D．1 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：当点B在点A的右侧时；当点B在点A的左侧时，即可求解． 【详解】解：当点B在点A的右侧时，点B表示的数是-2+3=1； 当点B在点A的左侧时，点B表示的数是-2-3=-5； 综上所述，点B表示的数是1或-5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【模块八】 找数轴对应整数点 【典例8】小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据数轴得出墨迹盖住的范围为-2.8到3.1，然后列出整数即可得出结果． 【详解】解：根据数轴得，墨迹盖住的范围为-2.8到3.1， 中间的整数有：-2，-1，0，1，2，3， 共有6个整数， 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数在数轴上的表示及有理数的大小比较，理解题意是解题关键． 【变式8-1】如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（    ） A．-1 B．-1.5 C．-3 D．-4 【答案】C 【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于-4，且小于-2， 因此备选项中，只有选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提． 【变式8-2】在数轴上表示-3.5和2.1之间的整数有(　 　)． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据题意找出满足条件的所有整数解即可． 【详解】解：如图所示： 在数轴上表示-3.5和2.1之间的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共六个． 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的思想解答． 【变式8-3】小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设覆盖区域的数为，由数轴可知，，求出该范围内的整数即可求解． 【详解】解：设覆盖区域的数为， 由数轴可知，， 是整数， 的值为，，，，，， 墨迹盖住的整数共有个， ， 故选： D． 【点睛】本题考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】0的意义 【典例9】下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据0的概念逐项判断即可得． 【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误； B、不是正数，则此项错误； C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误； D、既不是正数也不是负数，则此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键． 【变式9-1】下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可以得到正确答案． 【详解】A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意， B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； C、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意， D、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了有理数，正数和负数的知识点，解题关键是理解“正”和“负”的相对性． 【变式9-2】下面关于“0”的叙述，正确的有(　　) ①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据0不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可． 【详解】①0是正数与负数的分界，正确； ②0比任何正数都小，正确； ③在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故错误； ④0还常用来表示某种量的基准，正确． 正确的有3个． 故选C． 【点睛】本题考查了0的意义；掌握0的相关知识点是解决本题的关键． 【变式9-3】下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果． 【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数； （2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0； （3）0既不是正数也不是负数，正确； （4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数； （5）0是最小的自然数，正确； （6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同； 则正确的说法有3个． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键． 【微专题二】 带非字的有理数 【典例10】在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】要做此题，必须弄清正数和负数的定义，理解非负数就是正数和0． 【详解】解：根据正数和负数的定义可知，在这一组数中非负数有71，，0，34%，0.67，，共6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的定义，熟练掌握是解题的关键． 【变式10-1】在一组数3.14，0，，，，3.2121121112…，-5中，非负整数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据非负整数的定义解答即可． 【详解】解： 在3.14，0，，，，3.2121121112…，-5中，可得：非负整数的有0，,共2个． 故选B． 【点睛】本题考查了非负整数的定义，关键是理解非负整数指的是零和正整数． 【变式10-2】非负数是指（    ） A．把某个数的前边加上“＋”号 B．大于0的数 C．正数和零 D．小于0的数 【答案】C 【分析】根据非负数的概念即可得出正确选项． 【详解】正数和零总称为非负数 故选：C． 【点睛】本题考查非负数的概念，掌握此概念是解题的关键． 【变式10-3】把下列各数分别填在表示它所在的集合里： ，，，，，，，， （1）正数集合：{__________________}． （2）分数集合：{__________________}． （3）非负整数集合：{__________________}． （4）非负有理数集合：{__________________}． 【答案】（1），，，，； （2），，，，； （3）0，； （4），，0,，． 【分析】（1）直接利用正数的定义分析得出答案； （2）直接利用分数的定义分析得出答案； （3）直接利用非负整数的定义分析得出答案； （4）直接利用非负有理数的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）正数集合：{，，，，}． （2）分数集合：{，，，，}． （3）非负整数集合：{0，}． （4）非负有理数集合：{，，0,，}． 故答案为：（1），，，，；（2），，，，；（3）0，；（4），，0,，． 【点睛】此题主要考查了有理数，解题的关键是正确把握相关定义． 【微专题三】数轴上找原点 【典例11】如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 【答案】C 【分析】根据题意：之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等， ∴点、表示的数的绝对值相等， ∵， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点在原点的左侧个单位长度处， ∴点表示的数为． 故选：C 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键 【变式11-1】如图，在一条不完整的数轴上从左向右有点，，，其中，．设点，，，所对应数的和是． （1）若以点为原点，此时的值为___________； （2）若原点在图中数轴上点的右边，且，的值为___________． 【答案】 【分析】（1）利用数轴知识，确定原点后，确定点、分别表示的数，再求出的值； （2）利用数轴知识，先确定原点位置，再确定点，，，分别表示的数，再求出的值 【详解】（1）∵点为原点， ∴，，三点表示的数分别为：，，， ∴， 故答案为： （2）∵原点在图中数轴上点的右边，且， ∴，，三点表示的数分别为：，，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【变式11-2】如图，未标出原点的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，若相邻两点之间的距离相等，则点D所表示的数是（    ） A．15 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先求出的长度，根据，得到，即可得到答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴点D所表示的数是， 故选：B． 【点睛】此题考查了数轴的相关知识，根据数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 【变式11-3】小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道A点表示的数是，那么B点表示的数是____________． 【答案】 【分析】A点表示的数是，从A点到1平均分了3份，据此可推出从A到0也是3份，可知从0到1一共平均分了6份，B点是2份，即：，再化成最简分数即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴，关键是熟悉分数的意义． 【微专题四】 数轴动点基础题 【典例12】线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是______单位长度． 【答案】5 【分析】先根据题意求出点对应的数是，根据数轴上两点距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达，点A对应的数是， ∴点对应的数是， ∵对应的数是8， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，正确求出点对应的数是是解题的关键． 【变式12-1】如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左移动4个单位长度后，哪个字母所表示的数最小？是多少？ (2)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？ (3)怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几种移法？ 【答案】(1)点B表示的数最小，是； (2)点B表示的数比点C表示的数大2； (3)见解析 【分析】（1）找出移动后点A、B、C表示的数，比较后即可得出结论； （2）找出移动后点C表示的数，作差后即可得出结论； （3）分情况讨论，把其中两个点移动到第三个点即可． 【详解】（1）解：移动后， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为2， ∵， ∴点B表示的数最小，是； （2）解：移动后，点B表示的数为， 点C表示的数为， ∵， ∴点B表示的数比点C表示的数大2； （3）解：有三种方法： ①点A向右移动1个单位，点C向左移动4个单位； ②点A向右移动5个单位，点B向右移动4个单位； ③点B向左移动1个单位，点C向左移动5个单位． 【点睛】本题考查了数轴，根据数轴找出点表示的数是解题的关键． 【变式12-2】．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端、分别落在点、．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．（单位：）则木棒长为____． 【答案】 【分析】设点对应的数为，点对应的数为，依题意，得出，即可求解．． 【详解】解：如图， 设点对应的数为，点对应的数为，依题意， ∴ 即此木棒长为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数形结合是解决本题的关键． 【变式12-3】．在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为______，当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为______； 【答案】 1 【分析】根据b值分别将将点A向右移动2个单位长度，将点A向左移动2个单位长度即可得到结果． 【详解】解：∵当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P； ∴当时，P表示的数是； ∵当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P； ∴当时，P表示的数是； 故答案为：1；． 【点睛】本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是理解“联动点”的意义． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 数轴上平移问题 【典例13】．在数轴上点P表示的一个数是，将点P移动4个单位后所得的点A表示的数是（    ） A．2或 B．6或 C． D．2 【答案】A 【分析】分点P向左移动和向右移动两种情况，根据数轴上点的移动规律即可求解． 【详解】解：点P向左移动4个单位后，得到的点A表示的数是； 点P向右移动4个单位后，得到的点A表示的数是； 故答案为：A． 【点睛】本题考查数轴上点的移动规律：当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b，向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a-b． 【变式13-1】．如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向右移动2个单位至点B，则点B对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数轴上向右平移2个单位，相当于原数加2，据此解答. 【详解】解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B， 则点B对应的数为：， 故选A. 【点睛】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【变式13-2】数轴上点A表示的数是2，点P从点A开始以每秒2个单位的速度在数轴上向右运动了3秒，这时点P表示的数是 _______． 【答案】8 【分析】求出P点运动的长度，根据数轴上点的位置关系解答； 【详解】解：由题意得：P点向右运动了2×3=6个单位； A点表示2，所以P点表示8； 故答案为：8 【点睛】本题考查了数轴上点的表示规则，向右为正方向表示＋，向左为负方向表示－． 【变式13-3】如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局… 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置． (2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)甲在数轴上的位置为，乙在数轴上的位置为8 (2)从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0 (3)6或9 【分析】（1）根据第一局平局，根据规则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；得出甲位置在-6+1=-5，乙位置在9-1=8； （2）第一局平局，甲的位置在-6+1=-5；第二局甲胜，甲的位置在-5+5=0；第三局乙胜，甲的位置在0-3=-3．从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0； （3）第一局平局，甲乙相向而行，甲乙之间距离缩短1+1=2；第二局甲胜，甲乙同向东而行，甲乙之间距离缩短5-3=2；第三局乙胜，甲乙同向西而行，甲乙之间距离缩短-3+5=2；无论谁胜或平局，两人之间是距离总是缩短2．∵甲乙之间原来的距离为9+6=15，∴当甲乙之间的距离缩短到3时，或． 【详解】（1）解：∵第一局为平局， ∴甲向东移动1个单位长度，甲在数轴上的位置为， 同时乙向西移动1个单位长度，乙在数轴上的位置为8． （2）解：∵第二局甲赢， ∴甲向东移动5个单位长度，甲在数轴上的位置为0， ∵第三局乙赢， ∴甲向西移动3个单位长度，甲在数轴上的位置为， ∴从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0． （3）解：k的值为6或9． 由题意可得刚开始两人之间的距离为15个单位长度， ∵若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度， ∴若平局，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∵若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度， ∴若甲赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∵若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度， ∴若乙赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∴甲、乙每移动一次，甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∵最终甲与乙的位置相距3个单位长度， ∴共需缩小12个单位长度或18个单位长度． ∵，， ∴k的值为6或9． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上动点表示的数等于原来表示的数加上或减去动点移动的距离，左移减，右移加，数轴上两点之间的距离一般取两点表示的数的差，用较大的数减去较小的数． 通关检测·实战演练 1.下列说法错误的是（    ） A．正分数一定是有理数 B．整数和分数统称为有理数 C．整数包括正整数、0、负整数 D．正数和负数统称为有理数 【答案】D 【分析】利用整数、分数及有理数定义判断即可 【详解】A、正分数一定是有理数，原说法正确，选项不符合题意； B、整数和分数统称为有理数，原说法正确，选项不符合题意； C、整数包括正整数、0、负整数，原说法正确，选项不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，原说法错误，选项符合题意. 故选D 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数及其相关的定义是解题的关键. 2.在，，，，中，有理数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数． 【详解】解：在，，，，中，有理数有，，，，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键． 3.下列各数：，，，0，，……，其中有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：，，，0，，……，中，，，0，是有理数，共5个； 故选D． 【点睛】本题考查有理数的定义．熟练掌握整数和分数统称为有理数，是解题的关键． 4.将，，，0，，，，，210，0.031，，填在相应的括号内． 正数集合：{_____________________________} 整数集合：{_____________________________} 非负数集合：{_____________________________} 负分数集合：{_____________________________} 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数分类．根据题意利用有理数可分为整数和分数，整数可分为正整数，0，负整数，分数可分为正分数，负分数即可得到本题答案． 【详解】解：正数集合：，，210，0.031； 整数集合：，0，，210，； 非负数集合：0，，，210，0.031； 负分数集合：，，，． 5．我国古代用算筹（竹制的小棍）计数，摆法有纵、横两种方式（如图），个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横．…这样纵横依次交替，零以空格表示．若要表示负数，则给个位数划上斜线，如：“”表示，则“”表示的数为________． 【答案】-172 【分析】根据算筹计数法来计数可得结果． 【详解】解：由题意可得： “”表示的数为-172， 故答案为：-172． 【点睛】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键． 6．下列说法中正确的是（     ） A．0是最小的有理数 B．0的相反数、绝对值、倒数都是0 C．0不是正数也不是负数 D．0不是整数也不是分数 【答案】C 【详解】A.没有最小的有理数，故错误；B. 0的相反数、绝对值都是0，0没有倒数，故错误； C.0不是正数也不是负数，正确；D. 0是整数不是分数，故错误； 故选C 7.在1.7，－17，0，，－0.001，，，2003和－1中，有理数有_______个，负数有________个，其中负整数有___________个，负分数有_________个. 【答案】 8 5 2 3 【分析】根据负数的定义以及负整数、负分数的定义，求解即可求得答案 【详解】有理数：1.7，－17，0，，－0.001，，2003和－1共8个； 负数为：-17，，-0.001，，-1共5个； 负整数有：-17，-1共2个； 负分数有：,－0.001，共3个．故答案为：8，5，2，3． 【点睛】此题考查了有理数的分类．熟练掌握有理数的分类是解题的关键. 8.下列7个图中有（    ）个是正确的数轴． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：规定了原点、正方向，单位长度的直线；然后判断每个选项是否符合数轴的定义即可解决． 【详解】解：①没有原点，不正确； ②没有正方向，不正确， ③、⑥有原点，正方向，单位长度，正确； ④没有单位长度，不正确， ⑤单位长度不一致，不正确 ， ⑦正方向标记错误，不正确 故选：C． 【点睛】此题考查数轴的定义，解题关键在于掌握数轴的三要素． 9.下面所画的数轴中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在数轴上，首先确定原点0的位置和单位长度，且从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，所有的负数都在0的左边，越往左数越小，正数都在0的右边，越往右数越大；方向向右．逐个分析，即可得解． 【详解】A．缺少单位长度和正负数值； B．-1和-2位置颠倒； C．是正确的数轴； D．方向错误． 故选：C． 【点睛】考查了数轴的认识．解答此题要明确：首先确定原点0的位置和单位长度，且从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，方向向右． 10.如图，数轴上的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置比小，比大，据此即可求解． 【详解】解：依题意，数轴上的点表示的数可能是， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键． 11.如图，关于A、B、C、D四点描述正确的是（   ） A．点A表示的数是正数 B．点B表示的数是2 C．点C表示的数是1 D．点D表示的数是负数 【答案】C 【分析】观察数轴上的点的位置，结合选项求解即可． 【详解】解：A. 点A表示的数是负数，故该选项不正确，不符合题意； B. 点B表示的数是-2，故该选项不正确，不符合题意； C. 点C表示的数是1，故该选项正确，符合题意；     D. 点D表示的数是正数． 故选C． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数形结合是解题的关键． 12.在数轴上位于-4和2之间（不包括-4和2）的整数点有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的特点分析解答． 【详解】解：在数轴上位于-4和2之间（不包括-4和2）的整数点有-3；-2；-1；0；1，共5个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点，难度不大，注意题目中不包括-4和2的条件是解题关键． 13.如图，数轴上每一格表示一个单位长度，若点表示的数为3，则点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据点A和点B相距4个单位长度以及点B在点A的左边，点A表示的数为3，即可求得点B表示的数为． 【详解】解∶∵点A和点B相距4个单位长度，点B在点A的左边，点A表示的数为3， ∴点B表示的数为． 故选∶B． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，利用数形结合是解题的关键． 14.数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移5个单位长度得到点B．则点B表示的数是______． 【答案】1或/-9或1 【分析】数轴上点的平移：向左平移，表示的数减少，向右平移，表示的数增大，平移距离等于增加或减少的数，向右平移5个单位，即增加5，向左平移就减少5． 【详解】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：−4＋5＝1，如果A向左平移得到，点B表示的数是：−4−5＝−9， 故点B表示的数是1或−9． 故答案为：1或−9． 【点睛】此题主要考查了数轴，掌握数轴上的点平移法则是解题关键． 15．如图，在数轴原点的右侧，一质点从距原点10个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点的距离为______． 【答案】/ 【分析】因为A到原点距离为10，为的中点，可求出到原点距离为5，依次可求出、、到原点的距离． 【详解】解：由题意可知： ∵A到原点距离为10，且为的中点，∴到原点距离为5， ∵为的中点，∴到原点距离为， ∵为的中点，∴到原点距离为， ∵为的中点，∴到原点距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意准确找出每一个点代表的有理数． 16．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点． 如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点． (1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是） (2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）； (3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况） 【答案】(1)不是 (2)0或 (3)当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点 【分析】（1）根据好点的定义验证即可； （2）分好点在线段上及在点N的左侧两种情况，由好点的定义进行解答即可； （3）分四种情况考虑：P是【A，B】的好点；P是【B，A】的好点；B是【A，P】的好点；A是【B，P】的好点；再由好点的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2， 根据好点的定义得：， 那么点D不是【A，B】的好点； （2）解：如图2，，， 即距离点M为4个单位，距离点N为2个单位的点就是所求的好点0； ∴数0所表示的点是【M，N】的好点； ，， 同理：数所表示的点也是【M，N】的好点； ∴数0或所表示的点是【M，N】的好点； （3）解：如图3，由题意得：，，， 点P走完所用的时间为：（秒）， 分四种情况： ①当时，即，（秒），P是【A，B】的好点， ②当时，即（秒），P是【B，A】的好点， ③当时，即（秒），B是【A，P】的好点， ④当时，即（秒），A是【B，P】的好点， ∴当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点； 【点睛】本题是新定义问题，考查了数轴上用点表示有理数，数轴上动点问题，线段的和差倍运算，关键是理解题中的新定义，注意分类讨论． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2.1--1.2.2 有理数概念与数轴 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数的的概念 模块8 找数轴对应整数点 模块2 写出有理数的个数 微专题10的意义 模块3 用有理数的分类填表 微专题2带非字的有理数 模块4 有理数的类别归属 微专题3数轴上找原点 模块5 数轴三要素判断 微专题4数轴动点基础题 模块6数轴上的点与数互化 压轴1 数轴上平移问题 模块7求数轴两点距离 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 有理数 1.定义:：整数和分数统称有理数．    说明：整   数：正整数、0、负整数统称为整数． 分   数：正分数、负分数统称分数．（有限小数与无限循环小数都是有理数．） 注意：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数． 2.有理数的分类: （1）按正、负性质分类： （2）按定义分类：         3几类特殊有理数的含义 知识点2 数轴 1．概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 三要素：原点、正方向、单位长度 2．对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的．                     3．应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 ．    （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法． 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数的的概念 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．整数包括正整数和负整数 B．0是整数但不是正数 C．互为相反数的两个数乘积为1 D．非负有理数是指正有理数 【变式1-1】下列说法错误的是(   ) A．任何分数都是有理数 B．不一定是负数 C．一个数不是正数就是负数 D．没有最大的有理数 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．零是正数不是负数 C．零既是正数也是负数 D．零既不是正数也不是负数 【变式1-3】下列说法中，正确的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．有理数a一定是正数 C．有理数分为正数和负数 D．自然数就是正整数 【模块二】写出有理数的个数 【典例2】在，，，，，中，有理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】在，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】在，，0，，，，有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-3】下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【模块三】用有理数的分类填表 【典例3】将下列各数填入相应的集合圈内， ﹣，﹣7，+2.6，﹣100，﹣2，9.2，0，1． 【变式3-1】如图，这两个圈分别表示正数集合和整数集合，则它们的重叠部分表示的是_____集合. 【变式3-2】下面两个圆圈分别表示负数集合和整数集合，请在这两个圆圈内各填入六个数，其中有三个数既在负数集合内，又在整数集合内．这三个数应填在哪里？你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗？ 【变式3-3】(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里: (2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合? 【模块四】有理数的类别归属 【典例4】把下列各数相应的数填入相应的横线内：，，，，20，0，，，，． 负有理数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 正数集合：{ …}． 【变式4-1】把下列各数填入相应的大括号里． 整数集合：{                           …}； 正数集合：{                           …}； 负分数集合：{                         …}； 非负有理数集合：{                     …}； 非负整数集合：{                     …}． 【变式4-2】把下列各数填在相应的集合内． ，2，，，，0，，， 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 非负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}． 【变式4-3】把下列各数分别填在相应的横线上： 1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有：______________________________________________________； 分数有：______________________________________________________； 负数有：______________________________________________________； 正整数有：____________________________________________________； 非正数有：_____________________________________________________； 负整数有：_____________________________________________________； 非负数有：_____________________________________________________； 负分数有：_____________________________________________________； 非负整数有：___________________________________________________． 【模块五】数轴三要素判断 【典例5】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） B． C． D． 【变式5-1】图中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 【变式5-3】下列说法：①规定了原点、正方向，单位长度的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ 【模块六】数轴上的点与数互化 【典例6】数轴上点M到原点的距离是6，则点M表示的数是（   ） A．6或-6 B．-6 C．6 D．不能确定 【变式6-1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“4.3cm”对应数轴上的数为（    ） A．－1.7 B．－1.3 C．－0.7 D．－0.3 【变式6-2】画一条数轴，并在数轴上标出下列各数． ﹣3，，﹣1.5，0，+3.5，4 【变式6-3】在数轴上，点对应的数为3，点对应的数为7，则线段的中点所对应的数为（   ） A．4 B．4.5 C．-5 D．5 【模块七】求数轴两点距离 【典例7】数轴上表示数和2009的两点分别为和，则和两点间的距离为（    ） A．1998 B．2008 C．2019 D．2020 【变式7-1】数轴上点M到原点的距离是6，则点M表示的数是（   ） A．6或-6 B．-6 C．6 D．不能确定 【变式7-2】数轴上点A表示的数是2，那么与点A相距3个单位长度的点表示的数是______． 【变式7-3】已知点A和点B在同一条数轴上，点A表示的数是-2，又知点B和点A相距3个单位，则点B表示的数是（    ） A．-1或5 B．-5 C．1或-5 D．1 【模块八】 找数轴对应整数点 【典例8】小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-1】如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（    ） A．-1 B．-1.5 C．-3 D．-4 【变式8-2】在数轴上表示-3.5和2.1之间的整数有(　 　)． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式8-3】小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数之和为（ ） A． B． C． D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】0的意义 【典例9】下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 【变式9-1】下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 【变式9-2】下面关于“0”的叙述，正确的有(　　) ①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【微专题二】 带非字的有理数 【典例10】在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式10-1】在一组数3.14，0，，，，3.2121121112…，-5中，非负整数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】非负数是指（    ） A．把某个数的前边加上“＋”号 B．大于0的数 C．正数和零 D．小于0的数 【变式10-3】把下列各数分别填在表示它所在的集合里： ，，，，，，，， （1）正数集合：{__________________}． （2）分数集合：{__________________}． （3）非负整数集合：{__________________}． （4）非负有理数集合：{__________________}． 【微专题三】数轴上找原点 【典例11】如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（    ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 【变式11-1】如图，在一条不完整的数轴上从左向右有点，，，其中，．设点，，，所对应数的和是． （1）若以点为原点，此时的值为___________； （2）若原点在图中数轴上点的右边，且，的值为___________． 【变式11-2】如图，未标出原点的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，若相邻两点之间的距离相等，则点D所表示的数是（    ） A．15 B．12 C．11 D．10 【变式11-3】小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道A点表示的数是，那么B点表示的数是____________． 【微专题四】 数轴动点基础题 【典例12】线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是______单位长度． 【变式12-1】如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左移动4个单位长度后，哪个字母所表示的数最小？是多少？ (2)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？ (3)怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几种移法？ 【变式12-2】．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端、分别落在点、．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．（单位：）则木棒长为____． 【变式12-3】．在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为______，当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为______； 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 数轴上平移问题 【典例13】．在数轴上点P表示的一个数是，将点P移动4个单位后所得的点A表示的数是（    ） A．2或 B．6或 C． D．2 【变式13-1】．如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向右移动2个单位至点B，则点B对应的数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】数轴上点A表示的数是2，点P从点A开始以每秒2个单位的速度在数轴上向右运动了3秒，这时点P表示的数是 _______． 【变式13-3】如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局… 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置． (2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值． 通关检测·实战演练 1.下列说法错误的是（    ） A．正分数一定是有理数 B．整数和分数统称为有理数 C．整数包括正整数、0、负整数 D．正数和负数统称为有理数 2.在，，，，中，有理数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 3.下列各数：，，，0，，……，其中有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.将，，，0，，，，，210，0.031，，填在相应的括号内． 正数集合：{_____________________________} 整数集合：{_____________________________} 非负数集合：{_____________________________} 负分数集合：{_____________________________} 5．我国古代用算筹（竹制的小棍）计数，摆法有纵、横两种方式（如图），个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横．…这样纵横依次交替，零以空格表示．若要表示负数，则给个位数划上斜线，如：“”表示，则“”表示的数为________． 6．下列说法中正确的是（     ） A．0是最小的有理数 B．0的相反数、绝对值、倒数都是0 C．0不是正数也不是负数 D．0不是整数也不是分数 7.在1.7，－17，0，，－0.001，，，2003和－1中，有理数有_______个，负数有________个，其中负整数有___________个，负分数有_________个. 8.下列7个图中有（    ）个是正确的数轴． A．0 B．1 C．2 D．3 9.下面所画的数轴中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10.如图，数轴上的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 11.如图，关于A、B、C、D四点描述正确的是（   ） A．点A表示的数是正数 B．点B表示的数是2 C．点C表示的数是1 D．点D表示的数是负数 12.在数轴上位于-4和2之间（不包括-4和2）的整数点有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．无数个 13.如图，数轴上每一格表示一个单位长度，若点表示的数为3，则点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 14.数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移5个单位长度得到点B．则点B表示的数是______． 15．如图，在数轴原点的右侧，一质点从距原点10个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点的距离为______． 16．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点． 如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点． (1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是） (2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）； (3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况） 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $