河南信阳高级中学国际部高考班2025-2026学年高二下学期6月测试（二） 数学试题

**基本信息** 该试卷覆盖高二数学核心知识，通过解三角形、立体几何、导数等综合题，考查数学眼光的空间观念、数学思维的推理能力及数学语言的模型意识，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、双曲线、排列组合|基础概念辨析，如第3题向量数量积运算| |多选题|3/18|圆方程、等差数列、抛物线|多选项分层考查，如第10题等差数列前n项和性质| |填空题|3/15|概率、函数模型、零点问题|第13题音高频率关系体现模型意识| |解答题|5/77|解三角形、数列、立体几何、椭圆、导数|第17题空间几何证明与夹角计算（空间观念），第19题导数单调性讨论与证明（推理能力），符合新高考分层设问趋势|

河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期06月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D B C C A C BC ABD BC 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的内角性质得到，再结合题意得到即可. （2）先利用正弦定理表示三角形边长，再利用三角形面积公式表示面积，进而建立方程求出，再结合角度关系证明，最后得到即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 因为，所以，则，故， 因为，所以， 因为，所以， （2）由（1）可得，，故， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知得的面积为，可得，解得. 由角平分线性质得，而，故， 则，故. 16．(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）将条件变形为，结合等比数列的定义即可证明，求出数列的首项，利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由于，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 由可知，，则， 所以数列是等比数列，其公比为4，首项为， 则， 所以的通项公式为. （2）由于， 所以， 则， 即的前项和. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面PAD，由线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面； （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，由向量的夹角公式可得答案． 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面PAD，∴平面PAD， 又平面PAD，∴， ∵，且E为中点，∴， 又，平面， ∴平面． （2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，，且平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴， ∴． 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 19．(1)； (2)当时，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递减函数，在上为单调递增函数； (3)证明见解析. 【分析】（1）求，，，利用点斜式得到函数在点处的切线方程； （2）求，按照和讨论求解，当时，解出的解为的单调递减区间；解出的解为在上为单调递增区间； （3） 利用时的的单调性得到的最小值为，要证明，只需证明，构造函数，即，求，求出的解为的单调递增区间；求出的解为的单调递减函区间；从而得到的最小值，继而得到证明的结论. 【详解】（1），，， ，， ， 函数在点处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，在上为单调递减函数； 当时，，解得， 在上为单调递减函数； ，解得，在上为单调递增函数； 综上所述，当时，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递减函数，在上为单调递增函数； （3）， 当时，在上为单调递减函数，在上为单调递增函数； 则在处取最小值，且最小值为， 要证明，只需证明， 设，即， ，， 的解为，故在上为单调递增函数； 的解为，故在上为单调递减函数； 则在处取最小值，且最小值为， ， ，，. $ 河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 4．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 5．由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（    ） A．300 B．360 C．420 D．480 6．已知是定义在上的奇函数，且满足．当时，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 7．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 10．已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 11．已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于，两点，其中，且，则（    ） A．直线l的斜率为 B． C． D．△MON（点O为坐标原点）的面积为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知随机事件满足，则______. 13．音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 14．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）记的内角的对边分别为，已知，，角B的角平分线交于点D． (1)求角B； (2)若的面积为，求. 16．（15分）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 19．（17分）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $