河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期6月测试（二）数学试题

**基本信息** 该高二数学月考试卷注重知识综合应用与核心素养考查，以正多面体历史背景、趣味体育竞赛等真实情境设计问题，体现数学眼光观察现实世界、数学语言表达实际问题的命题思路。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、等比数列、三角函数等|第7题结合正四面体与正八面体对称性，渗透数学审美| |多选题|3/18|概率统计、立体几何、函数性质|第9题考查方差计算与回归效果分析，强化数学思维严谨性| |填空题|3/15|函数周期性、向量运算、数列求和|第14题递推数列求和，培养数学推理能力| |解答题|5/77|解三角形、概率分布、函数切线、立体几何翻折、双曲线证明|第16题以体育竞赛为背景设计概率问题，体现数学语言表达现实；第18题立体几何翻折探究空间关系，发展空间观念|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期06月测试（二) 数学答案 题号 y 2 3 5 10 11 答案 D C B C B D ACD AD ACD 14.1 12.2/0.5 13.3 15.(1)2 g习 【分折】山将条作化筒得到gnC=s如2B:白8-子62求出C,4及a,即可银新三 角形的面积公式求出△ABC的面积： (2)由sinC=sin2B可得2B=C或2B+C=元，在A>B的条件下求出B和cosB的取值范 围，将cosC-3cosB化为二次函数形式，再求出其值域即可. 【详解】(1)因为tanB=sinB sin A cos B 2cosB-cos A' sin Acos B=2sin Bcos B-cos Asin B. sin Acos B+cos Asin B=2sin Bcos B. 化简可得 sin(4+B)=sin(-C)=sin C=sin2B 4则sn2B=1=smC,因为0<C<,所以C-及 若B 所以A=π-B-C=π-交_元=九 424 所以△ABC是等腰直角三角形，所以a=b=2, 所以5 asinc=号x2x21=2, (2)由(1)知sin2B=sinC,所以2B=C或2B+C=元. ①若2B+C=π，由A+B+C=π可得A=B,与A>B矛盾，故舍去： ②若2B=C,则A=π-B-C=π-3B, 1 若A>B:则-B>台：解得0<B<圣则oB 则此时cosC-3cosB=cos2B-3cosB=2cos2B-3cosB-1( =2osB-3-17 -4-8, 设=cosB,te 剥wc-3s8-f0--. 17 可知当1=4时，f()取到最小值8；当：→1时，f()→2x2-3×1-1=-2; .029-x919 2 2 因为2 0[号-】 所以 肌cosC-3coSB的取值范围为L8,-2 2 16.(1)45 (2) X 0 3 P 7 2 3 10 20 20 )号 【分析】(1)利用全概率公式求解： (2)记甲，乙.丙通过第二轮的事件分别为4B,C分别求出 (4)P(B).P(C),由恩意 得到X的所有可能取值，分别求出每个X可能取值的概率，求出X的分布列和数学期望. A1,A2,A3 【详解】(1)记随机选择甲、乙、丙的事件分别为 ,,进入第二轮的事件记为M, M=AM+AM+AM 则 由题意得P(4)=P氏4)P氏4)，P(M1A)子P(M4)-号，PM14)-手， P(M)=P(AM)+P(AM)+P(4M) 所以 =P(A)P(M4)+P(4)P(MA)+P(4)P(MI4) =1×2+1x2+Lx4_32 33333545 (2)记甲、乙、丙通过第二轮的事件分别为A,B,C, 则P-子P回i-P- P@-号P(=1-P)- C))1 由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P--P网-号0 Px=0=P(ac+Pa0P叫C-号f号分号 P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 113.11311282 2×2×5+2×2×5+2*2×520-5 P(X=3)=P(4BC)F2×2X520 113_3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 7 P 2 3 10 20 5 20 所以x的数学期望为E(X)=0 +1×20 2x2+3 3328 10 5 20205 17.(1)a=2,b=-3 ag】 【分析】(1)根据fx+)+f-)=1代入函数解析式，对比系数即可求解： (2)将问题转化为 )=-4+9-61与'=m h(x) 有三个交点，利用导数研究 的单 调性，极值和图像即可求解。 711 【详解】(1)因为函数f,)=ar+br2+1(a,b∈R)图象关于2'2对称， 所以fx++f()=l,故++6x++1-ar+br+1=1 ，故 化简可得6a+26r2+3a+2b)x+a+h+1=0 所以3a+2b=0,a+b+1=0,解得a=2,b=-3. 2)由(1)可知，函数0=2r-3x2+1 所以f=6xr2-6x 设切点坐标为6,2-3x+1) 所以切线方程为-(26-3戏+)(6c-6c(x-）,因为切线过点Lm, 所以m-(2-3+)-(6∝-60-），即m=4+9-66+1 令)=-4r+9r2-6r+1h()=-12x2+18r-6=-62x-1x-） ,则 1 令h)=0,解得x=2,或x=1 当x变化时，'()，h()的变化情况如下表所示， 1-2 (（1,+o∞) 1 h'(x) 0 × 0 h(x) 1 单调递减 4 单调递增 单调递减 1 因此，当 2时，h(x)有极小值 2 当x=1时，h(x)有极大值h()=0 过点(，m)存在3条直线与曲线y=(x)相切，等价于 1 关于x的方程m=-4r+9r2-6x+1有三个不同的根，则4m<0, (1 ,0 所以实数m的取值范围是4’. 18.(1)3元 √3 (2)3 3 3 【分析】(1)先利用外心性质确定三棱锥外接球球心位置与半径，再代入球的表面积公式 计算： (2)通过建立空间直角坐标系，用二面角参数表示点坐标，利用法向量垂直条件求解二面 角，再用向量投影公式求点到平面的距离； (3)用参数九表示线段PB上的点V，结合法向量垂直条件确定九，再根据向量关系列方 程求解二面角的余弦值 【详解】(A)△1BC的外心为4B中点 O,AACP 02 的外心为CP中点 取线段4C中点E:则∠0,50，=受60=B0, 设三棱锥P-AB 外接球的球心为点0，则O0上平面ABC,0, ”平面 平面ACP, 00=00- R2=002+ S=4πR2=3元 (2)以点4为原点， CB,AC 的方向为x,y轴正方向，建立空间直角坐标系. B1,1,0,C0,1,0),设二面角P-AC-B的平面角为a,则P(cosa,0,sina). AP=(cosa,0,sina),AC=(0,1,0),BP=(cosa-1,-1,sina) 设平面ACP的法向量为m,平面ACN的法向量为m, 由%P=%4C=0 解得%=(sinc0,-cos) 由平面ACP上平面4CN,可得m·m=0,解得所=(cosa,0sin) 点V为线段PB上靠近点B的三等分点，可得 =aB+Bp=(,lo)+与（(cosa-l-.l,sima)( 2+cosa 2 sina 333 1 由m,·AN=0,解得cos=一2 2 即二面角P-AC-B的平面角为3π 此时孤-2号 点y到平面ACP的距离d= AN-m3 m 3 (3)已知 P=(cosa-1,-l,sina） ,点B横坐标为1 点M在oz平面上，所以点M横坐标为0. 6 可得BM=1PB cosa-1 设孤=B+2B那=L,0+2cosa-1,--I.sina))=(dc0a-2+1l-么，snaX0<<) 由(2)得平面ACW的法向量%，=(cosa0,sina) 由m·N=0,解得1=cosa cosa-1 BNB-cosa Bp=cosa p cosa-1 1-cosa MN=BN-BM=_cosa PB-1 PB=1+cosa PB 1-cosa cosa-1 1-cosa 1+cosa1 根据条件MN=PB,得-cosa4,解得cosa=-力 5 在翻折过程中，存在M瓜-PB,此时平面4CP与平面AC所成角的余弦值为 41 19.-少2=1 (2)(i)证明见解析：（ⅱ） 2 【分析】(1)根据双曲线离心率公式求出a=b,再代点求解得到双曲线的标准方程 1:xox-yoy=1 (2)()根据题意，过双曲线E上点M的切线 利用斜率公式直接化简可 得； S△4oy=OA_M4 重0MtB0ME改sBB,因为0时=r中了 > 0B2=2++1 MA_x。-t OA MA 仅因为MB五+，代入OBMB,求Q 2 b2 【f1因为双线5号若=e>06>0)实心车为后号=5 则a=b, 又因为过.则产-1，同。61 x2-y2=1 所以双曲线E的方程为 (2)()根据题意， M(）, 过双曲线E上点M的切线 xox-yoy=1 .】 Xot -1 -Xot-1 所以k=血，飞=为=-1，飞=为=+1， t tyo -t tyo +k=-++12 则 y%， k+k:ko: 2 则 (i)由∠AOM+∠BOM=π， 1 S40M= OA-OM sin ZAOM OA 故S。BOM 1OB.OM sin ZBOM OB, 2 SAOM= MA.h MA 又SABOM MB.h MB（,为点到直线I的距离)， h O OA MA 则OBMB1 为o=f.0wr色月 MA_x。-t OA MA 又因为MB x+t,代入OBMB, 2+4-1 (玉-)}2 得 2+红+1 (x+t)2,又因为 y哈=x-1 (-1)r2+(-1_(-t 化简得(-1)2+(+（：+， 2x2-2+(1-P）x-2+2 即2x2+2+1-A）x后+2x+, 2x-2x,+(-)】-[2x62+2,+-2】[x-2+2]-[x6+2+2] 则22-2+-r】+[27+2,+0-】 [号-2，+P]+[坊+2，+] -4x0 -4x0 可得4x62+21-2）2(号+P), >0,x0≠0 因为 所以47+2-）=2(+) 即-2r-)=0 因为点M不可能为双曲线顶点，即七≠士1 又t>0,所以2 9 OL 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．4 B．2 C．8 D． 4．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 5．已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（    ）    A． B． C． D． 8．已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10．若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 11．设函数，则（    ） A．当时，只有一个零点 B．当时，在定义域内单调递增 C．对于任意实数的图象都是中心对称图形 D．若存在极值点，则一定存在两个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 13．在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______． 14．设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围． 16．（15分）树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 17．（15分）已知函数图象关于点对称． (1)求a，b； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 18．（17分）如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． (1)当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； (2)在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； (3)在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $