精品解析：河南省光山县第二高级中学2025-2026学年高二下学期7月学情检测数学试卷

高二年级下期7月份学情检测试卷 数学试题 （分值：150分 时间：120分钟） 1. 一质点的位移（m）与运动时间（s）的关系式为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ） A. B. C. D. 3. 现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 4. 某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B. 在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C. 若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D. 有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 5. 若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 当决定系数越接近于1时，说明模型的拟合效果越好 B. 若经验回归方程为，则点的残差为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，最大 D. 使的n的最大值为13 11. 已知O为坐标原点，点在曲线C：上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. C. D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则_________． 13. 某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则______，______. 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 29 33 36 44 48 52 59 （1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18. 已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． （1）求抛物线的方程． （2）若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． （3）过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 19. 已知函数（）． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的最值； （3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下期7月份学情检测试卷 数学试题 （分值：150分 时间：120分钟） 1. 一质点的位移（m）与运动时间（s）的关系式为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，将代入求出导数值即是该质点在时的瞬时速度. 【详解】因为质点的位移与时间的关系式为， 所以对函数求导得. 所以. 所以该质点在时的瞬时速度为7m/s. 故选：D. 2. 已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：C. 3. 现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题捆绑法，将两名女生“捆绑”，算出总的排法减去男生甲站排头的排法，得解. 【详解】将两名女生“捆绑”，看成整体，总的排法有种， 其中男生甲站排头的排法有种， 所以男生甲不站排头的不同排法种数为种. 故选：B. 4. 某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B. 在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C. 若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D. 有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验可得正确选项. 【详解】依已知数据，得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”， 则选项D正确，其余都是错误的. 故选：D. 5. 若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的定义可得，即，结合二项分布的均值和方差公式求得答案. 【详解】由，，则， ，故， 设，则， . 故选：C. 6. 若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 7. 已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其方程为. 因为， 所以， 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2. ， . 故选：A. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据与在相同区间的符号相同，可得的关系，再将写成关于的函数，利用导数分析函数的单调性，求其最小值. 【详解】由；由. 若，则恒成立，则在上不成立. 若，由；由. 由恒成立，可得：. 所以，. 设，. 则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 即的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 当决定系数越接近于1时，说明模型的拟合效果越好 B. 若经验回归方程为，则点的残差为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据决定系数的意义即可判断；对B，根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果；对C，根据方差的性质计算判断；对D，根据正态分布的原则结合对称性求解判断. 【详解】对于A，若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B，当时，，所以样本点的残差为，故B错误； 对于C，由，根据方差的性质可得，故C正确； 对于D，由，，根据原则结合对称性可得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，最大 D. 使的n的最大值为13 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，由题可得，由可得，，据此可判断AB；对于C，分析可得时，，时，，进而判断即可；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB，由题意，即， 又，所以，且，则， 故为递减数列，即，故A正确，B错误； 由于时，，时，， 则时，最大，故C正确； 由， 所以使的的最大值为14，故D错误. 故选：AC． 11. 已知O为坐标原点，点在曲线C：上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、函数值的正负号、函数值的最大值以及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 用替换后，曲线的方程仍成立，所以曲线关于轴对称，A正确． 对于选项B： C：，因为，，所以，即，B正确． 对于选项C,D： 设，点P在上． 联立，得①． 令，则，函数图象的对称轴为直线，且， 所以要使得有正数解，只需要，解得，即，C错误． 由①可得．令函数， 则，在上单调递减，在上单调递增． 要使得有解，则，解得， 即的最大值为，D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可． 【详解】在等比数列中，，则， 设， 设等比数列的公比为，则， 所以，，同号，又， 所以． 故答案为：. 13. 某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则______，______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，有，，，，由全概率公式和贝叶斯定理求解. 【详解】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作， 根据题意，有，，，， 由全概率公式 . 所以. 故答案为：；. 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导赋值求得，可得，进一步得函数单调性、最值，故原题条件可转换为对于恒成立，从而可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】因为，， 令，，解得：， 所以，令，，所以， 所以，而显然在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 存在实数x使不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 即，解得：或， 则实数m的取值范围为：． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 29 33 36 44 48 52 59 （1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1），可以推断变量与线性相关且相关程度很强. （2），83亿元. 【解析】 【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小判断相关程度； （2）求出线性回归方程，利用回归方程估计即可. 【小问1详解】 由题设，且，，， ， 由于，可以推断变量与线性相关且相关程度很强. 【小问2详解】 因为， ， 所以关于的经验回归方程为， 当2030年对应的年份代码时，，即预测该新能源汽车制造公司2030年的利润为83亿元. 16. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 【答案】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 数学期望为 （3） 的分布列为 0 1 2 3 方差为 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望； （3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差. 【小问1详解】 依题意，得 ，解得 ． 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 18. 已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． （1）求抛物线的方程． （2）若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． （3）过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【答案】（1） （2）设，则的重心． 由于直线 的斜率， 则，所以， 故 的重心在直线上运动． （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题设距离关系推导准线方程，进而求出得到抛物线方程. （2）设出的坐标，根据直线斜率为得到两点纵坐标的关系；再结合重心坐标公式，用的坐标表示重心坐标，消去参数得到重心横纵坐标的关系，判断是否为定直线. （3）设过焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，得到坐标的关系；分别求出直线与交点的坐标，用弦长公式写出的表达式，再求最小值. 【小问1详解】 因为抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知焦点．不妨设点 在 轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则 ． 联立方程组，解得，所以． 同理，由，得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，消去并整理， 得，则， 所以 ．而直线 的方程是， 联立方程组，解得，所以． 因为，所以，同理，． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 19. 已知函数（）． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的最值； （3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用求得，并进行检验. （2）对进行分类讨论，根据的单调性确定的最值. （3）将问题转化为，结合导数分别求得的最大值和的最小值，由此列不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，所以． 【小问2详解】 由（1）知 ． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为，无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 【小问3详解】 因为， 恒成立， 所以． 由（2）知，只有当时，． 因为，其中， 所以． 令，其中，则， 所以函数在区间上单调递增． 因为 ， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，即，即． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，所以 ． 由，可得，则，所以． 又当时，，即； 当时，，即． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $