课时分层检测(9) 倾斜角与斜率-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（九） 倾斜角与斜率 9.已知坐标平面内三点P(3,一1)，M(6,2), …0 基础达标练0… V(一√，√)，直线1过点P.若直线1与线段 1.直线x=1的倾斜角是 MN相交，求直线I的倾斜角的取值范围. A.0 B.45 C.90° D.不存在 2.如图，直线11，l2,13的斜 率分别为k1,k2,k3,则 ( A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 3.若过点A(a,一1)和B(2,a)的直线的斜率为 子则e的值为 ( A.4 B.0 C.-4 D.1 10.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0) 4.在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所： 的直线1与线段AB有公共点. 在直线的斜率是0，则边AC,AB所在直线： (1)求直线1的斜率k的取值范围； 的斜率之和是 (2)求直线L的倾斜角α的取值范围. A.-2√3B.0 C.5 D.2√3 5.已知直线1的斜率的绝对值等于√3，则直线1 的倾斜角为 ) A.60° B.30 C.60°或120 D.30°或150° 6.已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率 等于1，则m的值是 7.已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且 A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数a的值是 8.经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角 a的取值范围是 .（其中m≥1)》 127 班级 姓名 得分 :5.如图所示，菱形OBCD的 …0 能力提升练 顶点O与坐标原点重合， 1.(多选)一条直线1与x轴相交，其向上的方 一边在x轴的正半轴上， B x 向与y轴正方向所成的角为a(0°<a<90°)， 已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两 则其倾斜角可以为 条对角线所在直线的倾斜角和斜率. A.a B.90°-a C.90°+a D.180°-a 2.若三点A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三 角形，则实数k的取值范围为 3.若经过点P(1-a,1)和Q(2a,3)的直线的倾 斜角为钝角，则实数a的取值范围是 4.已知平面直角坐标系内三点A(一1,1)，B(1,: 1),C(2,5+1). (1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直 线CD斜率k的变化范围. 128.DP与平面AA'DD所成角的正弦值 为 : 9.解(1)证明设DO=a,由题设可得P): -吾A0-9AB=e,PA-PB=PC 24. 因此PA+PB=AB,从而PA⊥PB. 又PA2+PC=AC,故PA⊥PC. 因为PB∩PC=P,PBC平面PBC,PCC 平面PBC, 所以PA⊥平面PBC (2)以O为坐标原 点，OE的方向为y D 轴正方向，OE为 单位长度，建立如 图所示的空间直角 坐标系Oxyz.由题 设可得E(0,1,0), A(0,-1,0), c(÷ r0.号) 所以EC=（- 设m=(x,y,z)是平面PCE的法向量， {m·EC-0, 2 x-2y=0. 可取m(1回 由1)知-(0,1，号） 是平面PCB的： 一个法向量，记n=AP,则cos(n,m》= n·m _25 ·m 所以二面角B-PC-E的余弦值为25 5 能力提升练 1.A[不妨令CB=1,则CA=CC=2,可！ 得B(0,0,1),C(0,2,0),A(2,0,0), B(0,2,1),.BC=(0,2,-1),AB= (-2,2,1),cos(BC,AB)= BC·AB 4-1=1=5 BC AB5X955 “.直线BC与直线AB所成角的余弦值！ 为 2.(-2,2,1) 4w5 15 [不妨设AB=1,则 AA1=2,由题图可知D(0,0,2),C1(0,1, 0),B(1,1,2),C(0,1,2),B(1,1,0),DB =(1,1,0),DC=(0,1,-2),CB1=(1, 0,一2).设平面BDC1的法向量为n=(x, y,2）, 则：丽0辟=0 {n·DC=0, 1y-2x=0, 令=1，则y=2,x=一2. 故平面BDC,的一个法向量为n=(-2, 2,1),设CB,与平面BDC所成角为0， 则sin0 ncB-45.] nCB 15 解(1)在平面CDE内作EF⊥CD于点： F,,平面ABCDL平面CDE,平面ABCD ∩平面CDE=CD,,EF⊥平面ABCD.显 然EF的最大值为 ,∴.四棱锥E-ABCD1 2 的体积的最大值为V:=子×5 3 B x 1 S:号BD三3X号KCDXAD5⑤ 3 则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0), (2)由条件①得4DE·DC-EC·DC,则 D(-1,0,0),P(0,-1,2). 点N为PC的中点， 4DE1·D花1cos∠CDE-|EC1IDC1H .N(0,0,1),∴.DN=(1,0,1) cos∠DCE,4DE.DE=EC·C, CD CD,即 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y, z), 2DE=EC.CE+DE=CD=5,..DE =1,CE=2.由条件②得直线AD与BE! 由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0), 所成角的正弦值为子.：AD∥BC,BCL 可得n=(0,1,0),∴.DN·n=0. 又DN寸平面PAB,.DN∥平面PAB 平面CDE,∴∠CBE为直线AD与BE所 (2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD 成的角，即sin∠CBE= 3,tan∠CBE (-1,1,-2). 设直线AC与PD所成的角为0，剥cos0= 2 .由条件③得sin∠EAB_EB! EC AC·PD sin∠EBA EA 2=6 空，则AD+CE 2·√66 EB 3 AC1·Pi AD十DEEA=之，若选条 EC ∴直线AC与PD所成角的余弦值为 件①④，剥DE=1CE=2且后- (3)解存在 ,AD=BC=√5.若远条件①③，则DE= 设M(x,y,z),且PM=λPD,0≤A≤1， 1,CE=2,且 AD2+CE 3 AD2+4 x=-, AD+DE AD2+1 y+1=a, .M(-入，λ-1,2-2λ) -2=-21, =兰，解得AD=后或AD=-厅（合去）， 设平面ACM的法向量为m=(x,y,z), ∴.AD=BC=√5.若选条件②③，则 2 由AC=(0,2,0),AM=(-λ，A,2-2), 5 BC,且AD+CE 利用AC·m=0, EC EC 3 AD2+DE2 =，又CE+ AM·m=0, 即∫2v=0, DE2=CD=5,∴.AD=BC=√5，则DE= -Ax十Ay十(2-2λ)z=0, 1,CE=2.故从条件①②③中任远两个作： 可得平面ACM的一个法向量为m=(2 为条件，都 21,0,λ)，由图知平面ACD的一个法向量 可以得到DE=1,CE= 为n=(0,0,1), 2,AD=BC=√5.下面 ,.cos(m,n〉= 求直线AD与平面 1·√/2十(2-2λ)月 EAB所成角的正弦值， 以A为原点，建立如图 2 所示的空间直角坐标 解得入=号或入=2（合去）. 系，则B(5,0,0),D(0 3 0,(,25=( 25同)i=5,0.0.d=0,0 所以平面ACD的一个法向量为m= W5),设平面EAB的法向量为n=(x,y, z),则n·AE=0,n·AB=0 (号号) +25=0-1，则 (V5 设BM与平面MAC所成的角为g, 即 (5.x=0, 则sin9=cos(BM,m) 12 =0y=-号m=(0,-号设直 9 线AD与平面EAB所成的角为0，则sin0 22×22 2 3 .o=30° cos (n,AD) n·AD 故存在，点M,使得平面MAC与平面ACD InADI 的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成 √5 2√29 的角为30°， 5+1×5 课时分层检测（九） 基础达标练 cos0=√1-sin0-5W2 1.C直线x=1与x轴垂直，故倾斜角 ,故直线AD 29 为90°.] 与年面EAB所成角的余孩值为5 ·2.A[设直线L1,l2,l3的倾斜角分别为a1, a2a,则由图知0°<ag<a2<90°<a1< (1)证明取BC的中点E,连接DE,交 180,..tan a<0,tan a2>tan as>0, AC于，点O,连接ON,建立如图所示的空！ <0,k2>k3>0,故远A.] 间直角坐标系， 3Bk-，解得a=0.] 224 4.B[由题意知，正△ABC的另外两边所在！ 直线的倾斜角分别是60,120°，直线3. 3-a一b=1,所以 [因为直线的斜率k=6.-1[由题意得kr阳=-。 AC,AB的斜率之和为tan60°十tan120 3一1 2 线段PQ的垂直平分线的斜率为一1.] =√5+（一√5）=0.故选B.] 2a-(1-a） B且直线的倾斜角为2写[设直线AD,BC的斜率分别为D 5.C[由题意知tana|-√3， k,由题意，得AD⊥BC,则有kAD·k 即tana=√3或tana-一√5， 统角，则2<0，解得a<子] ∴.直线1的倾斜角为60°或120°.] 4.解(1)由斜率公式，得kB=一（一 1-1 -一1，所以有二号·=一1，解得m m-2·4-0 ,号[由直线的斜率公式得友-8四-1， 5 m-5 0,kx= 5+1-1=5,k= W5+1-11 =2] 解得m=号] 2-1 2-(-1)1 √3 8解（1)显然m≠0，由a-2m3-1 7.±6 2 [依题意，kAB=kAC,即 tan0°=0，∴.直线AB的倾斜角为0°， 解得m=一 或m= -1-0 .tan60°=√5，∴.直线BC的倾斜角 a-1 为60° 2)是然m0,向a一经，温。号 解得a=1±⑤ √3 =3,得m一3 2 .tan30°= 3 ∴直线AC的倾斜角！ 2m 一解得m-号m 8.0°<a90°厂当m=1时，倾斜角a=90°，1 为30°， -3. 当n≥1时，anam二>0， (2)如图，点D在线段 ↑y (3)显然m≠0，令m-3-9+3 AB上，直线CD在直 2m2-4-2-2,解 所以0°<a<90°，故0°<a≤90°.] 线CA与直线CB之间 9.解如图所示， 得m=子或m=-1,经检验，此时两直线 绕点C逆时针旋转， 此时k由kA增大 1o12 不重合，所以m=子或m=-1 到kB· 9.解设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2: k的变化范因是[5,5。 因为直线l,经过，点C(2,3),D(1,a一2)， 3 且2≠1，所以1。的斜率存在. :5.解在菱形OBCD中，OD∥BC,∠BOD: 当a-2=3,即a=5时，k2=0,k1不存在， =60°， 此时11与l,垂直： 考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为· 所以直线OD,BC的倾斜角相等，都为· 当a≠5时，k2≠0，此时k1存在，由k1k2一 a1,直线PV的倾斜角为a2, 60°，所以斜率koD=k=tan60°=√3： 由题意知，tama1-2=1, -1,得3a ,CD∥OB,且OB在x轴上，所以直线 1一2二3·4，。3=一1，解得a 1-2 6-3 OB,CD的倾斜角相等，都为0°，所以斜率！ =2. ana,--（--- 综上可知，a的值为5或2. koB=kcD=0; 能力提升练 -√3-3 3 由菱形的性质知，∠COB= 1 ×60°= L.AB[当AB与CD斜率均不存在时，n 又0°≤a1<180°，0°≤a2<180°， 故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的 0,此时AB∥CD;当kAB=kn时，m=1,由 30°，∠0BD=60°， kAc≠kBD,此时AB∥CD.] 倾斜角为150 所以直线OC,BD的倾斜角分别为 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条 !2.A[设A的坐标为(x,y),由已知得，AH 30°，120°， ⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率 件的直线【的倾斜角α的取值范国是 所以两对角线的斜率分别为 存在， {a45°a150} 10.解如图，由题意，知 y ac=tan30°-5 所 kAH·kx=-1, A(-3,4) 3 以 kBH·kAC=一1， 4-0 kp=-3=-1, B(3,2) k知=tan120°=-√/3. 课时分层检测（十） OP(1,0) 基础达标练 (1)要使直线1与线 1.D[方程x2一3.x-1=0有两个不同实1 (）× -1, 段AB有公共点，则直线l的斜率k的取 根，且两根之积为一1，即直线1，l2的斜 解得x二二19即顶点A的坐标为 值范围是（一∞，一1]U[1,十o∞）. 率之积为一1，所以1与l垂直.门 1y=-62, (2)由题意可知，直线1的倾斜角介于直 (-19,-62).] 数P与的板4角之间克线PB2A[4上4-合·（号） -1,3.2 9 [当1⊥l2时，k1k2=一1，又由 的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是 8 135°，所以a的取值范围是45°≤a 2 裉与系数的关系知，kk,=一 135°. 3,故选A] 能力提升练 3.B pQ= a+1-b =-1,即b=2. =-1,kp·k= 1.BC[如图所示，当1向上的部分在y轴 b-1-a 当11∥12时，k1=k2,即方程2k2一3k一b 左侧时，倾斜角为90°十α：当1向上的部分！ -1, 0有两个相等的实数根， 在y轴右侧时，倾斜角为90°一a.] ∴.1的斜率为1，倾斜角为45°.] .△=(-3)2一4×2×(-b)=0...b= 4CD[对于A,k1=)二2》 9 2-(-1) -1,k2=1 -8] --3子，因为≠，所以4与4不 -1-45 4.解(1)设D(a,b),四边形ABCD为平 行四边形，，kAB=kD,kAD=kx, 2-1 平行：对于B,k=1,k:一2二1，因为k1 0-2-b-4 5-1 a-3 =k2,所以4∥l2或1与12重合；对于C,} b-24-0 2.(-∞，1)U(1,十∞)[kAB= k-1 0- 0-3 a-13-5 -2-3 k1=1-0 =-1,k:=2-=-1，因 .D(-1,6). 1-k,kx=8-35 =1-1=0 4-2 6-0 =0. 为k1=k2,且11，l2不重合，所以L1月12：对： (2):ka=3- =1,km=1-5=-1, 于D,因为l1与12都与x轴垂直，且l1与 要使A,B,C三点能构成三角形，需三，点 .k·kD=-1,∴.AC⊥BD 不共线， 2不重合，所以l1∥l2,故远C、D.] ∴.平行四边形ABCD为菱形. 即长ekc号0 :5.135°[因为直线4的斜率1=1，所以若5.解若以AC为对角线，则形成口ABCD1, 直线l2⊥11，则直线42的斜率k2=一1.所：设D(1y入. ,k≠1.] 以直线l,的倾斜角为135°.] 由于BC∥AD1,AB∥CD1, 225