2.1.1　倾斜角与斜率同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三级分层设计，以10:4:2题量配比实现从概念理解到综合应用再到创新探究的知识巩固路径，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线倾斜角、斜率定义及基本计算|选择填空为主，如第1题直接考查倾斜角概念，第7题结合两点坐标计算斜率，夯实基础| |更上层楼|斜率范围、倾斜角与直线位置关系综合应用|解答题与多选结合，如第10题菱形中倾斜角与斜率综合求解，提升推理能力| |探究发现|斜率与函数、方程的跨知识关联|开放题设计，如第16题结合方程求取值范围，培养创新意识与应用能力|

课时作业(十五) 1．直线x＝的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．90° D．不存在 答案　C 解析　因为直线x＝的斜率不存在，直线与x轴垂直，所以其倾斜角为90°. 2．已知直线l过点A(－1，)，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是，则m＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案　A 解析　设直线l的斜率为k，则k＝＝tan ＝－，故m＝－2.故选A. 3．【多选题】在倾斜角为45°且过点(1，2)的直线上的点可以是(　　) A．(2，3) B．(0，1) C．(3，3) D．(3，2) 答案　AB 解析　由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为k＝tan 45°＝1，过点(2，3)与点(1，2)的直线的斜率为＝1，显然点(2，3)满足题意；过点(0，1)与点(1，2)的直线的斜率为＝1，显然点(0，1)满足题意；过点(3，3)与点(1，2)的直线的斜率为＝，显然点(3，3)不满足题意；过点(3，2)与点(1，2)的直线的斜率为＝0，显然点(3，2)不满足题意．故选AB. 4．若直线l的倾斜角α满足≤α≤，则其斜率k的取值范围为(　　) A．(1，] B．[－，－1] C. D. 答案　C 解析　因为直线l的倾斜角α满足≤α≤，且k＝tan α，又tan ＝－，tan ＝－，函数y＝tan x在上单调递增，所以－≤k≤－. 5．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A．[0°，90°) B．[90°，180°) C．(90°，180°) D．[0°，180°) 答案　C 解析　由直线经过第二、四象限，知直线不与坐标轴重合，所以倾斜角不等于90°且不等于0°.故选C. 6.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案　D 解析　直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2. 7．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为________． 答案　2－3　(1，－)(答案不唯一) 解析　设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，又tan α＝＝，0°≤α<180°，所以α＝60°，2α＝120°，所以直线AC的斜率存在且kAC＝＝tan 120°＝－，得m＝2－3，直线AC的一个方向向量为(1，－)． 8．若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　∵直线PQ的倾斜角为钝角，∴PQ的斜率存在且kPQ＝＝<0，解得a<. 9．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为________． 答案　(1，－5) 解析　设点P坐标为(x，y)，易知x≠5且x≠－3，则解得即点P坐标为(1，－5)． 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，边OB在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解析　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴正半轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 11．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是(　　) A．0 B．1 C. D．2 答案　D 解析　如图，连接OA，过点A作l′∥x轴，则kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中阴影部分(含边界)时才符合题意，故k∈[0，2]，故直线l的斜率k的最大值为2. 12．过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(0，4) C．[2，4) D．(0，2)∪(2，4) 答案　B 解析　由直线的倾斜角α的取值范围是，得当直线的斜率存在时，kAB<－1或kAB>1. 当m≠2时，kAB＝＝， ∴<－1或>1， 解得0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在时，m＝2，符合题意． 综上，实数m的取值范围是(0，4)． 13．设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角a的范围是(　　) A．[0，π) B. C.∪ D. 答案　D 解析　当sin θ＝0时，直线l的方程为x＝－2，倾斜角a＝；当sin θ≠0时，直线l的方程化为y＝x＋，斜率k＝.因为sin θ∈[－1，0)∪(0，1]，所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan a∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又因为a∈[0，π)，所以a∈∪.综上可得a∈. 14．已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交．求直线l的斜率的取值范围． 解析　如图，连接PA，PB，设直线PA与PB的倾斜角分别是α和β，由已知可得直线PA，PB的斜率分别是kPA＝5，kPB＝－. 过P作与y轴平行的直线交AB于C，当直线l由PA变化到PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)； 当直线l由PC变化到PB时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的取值范围是. 故直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞)． 15．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 答案　B 解析　因为表示经过点O(0，0)和点(x，f(x))的直线的斜率，所以，，表示3个斜率，作函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示． 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，可得>>. 16．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围． 解析　的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A，B， 连接NA，NB，则kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(十五) 1．直线x＝的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．90° D．不存在 2．已知直线l过点A(－1，)，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是，则m＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 3．【多选题】在倾斜角为45°且过点(1，2)的直线上的点可以是(　　) A．(2，3) B．(0，1) C．(3，3) D．(3，2) 4．若直线l的倾斜角α满足≤α≤，则其斜率k的取值范围为(　　) A．(1，] B．[－，－1] C. D. 5．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A．[0°，90°) B．[90°，180°) C．(90°，180°) D．[0°，180°) 6.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 7．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为________． 8．若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 9．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为________． 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，边OB在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 11．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是(　　) A．0 B．1 C. D．2 12．过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(0，4) C．[2，4) D．(0，2)∪(2，4) 13．设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角a的范围是(　　) A．[0，π) B. C.∪ D. 14．已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交．求直线l的斜率的取值范围． 15．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 16．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $