2.2.3 直线的一般式方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

因为点M在y轴上，所以十5 2 0,解得5解在线段EF上 :2.解(1)斜率k=一2，过点(3,4)，由点斜 取一，点P(n,n),作 式得直线方程为y一4=一2(x-3),即2x x0=一5. PQ⊥BC于Q,PR +y-10=0. 又因为点N在x轴上，所以西十3 CD于R,则矩形 (2)斜率k一3，在y轴上的截距是2，由斜 2 0,解1 PQCR即为要建的 截式得直线方程为y=3x十2，即3.x一y十 得=一3. 矩形草坪，设矩形 B 2=0. 所以C(一5，一3) PQCR的面积是S, (3)直线经过两点(-2，一1)和(-1,5)， 则S=PQ·PR=(100-m)(80-n).1 (2)由D可得M0,-号）N,0 由两点式得直线方程为二二吕 又因为需+易-1(0≤m≤30. x-(-2) 所以直线MN的截距式方程为于+y -1-(-二2，即6x-y十11=0. 5 (4)直线经过两，点（一4,0）和(0,2)，可知 -21 所以n=20-器) 直线在x轴、y轴上的裁距分别为一4和 =1,即5x-2y-5=0. 2 2.解(1)平行于BC边的中位线就是AB,: 故S=(100- m)(80-20+m） 2,由藏距式得直线方程为与十立=1，即 AC中点的连线. 因为线段AB,AC的中点坐标分别为 (m-5y产+18050(0≤m≤30)， 2 -2y+4=0. 3 3 题点二 (冬- 当m=5时，S有最大值，此时PF EP [典例]解(1)因为直线1的斜率存在， 所以直线1的方程可化为y=一一3工 2 所以平行于BC边的中位线所在直线的方 30-5=5,即当点P为线段EF上靠近F +2, 点的六等分点时，可使草坪面积最大， =一1，解得k=5. 程为士号，2，整理得， 由题意得一k一3 2+2 2.2.3直线的一般式方程 6x一8y-13=0,化为裁距式方程为 必备知识·自主梳理 2)直线1的方程可化为产8十之=1， 由题意得k一3十2=0，解得k-1. 13 1.(1)Ax+By+C=0(2)① :对点训练 6 及 1.[1,十∞)[①当a-1=0,即a=1时，直 13 =1. 一B 线为x=3,该直线不过第三象限，符合 ②当a一1≠0，即a≠1时， 8 !即时小练 2+a (2)因为BC边的中点为(2,3)， :1.(1)/(2)×(3)×(4)× 直线1的斜藏式方程为y=一a一1-a 所以BC边上的中线所在直线的方程为 ·2.B[A=2,B=1,则斜率k=一 A =一2， 因为直线！不过第三象限， y+4_x-1 3+4一2-，即7x-y-11=0,化为截距：故选B.] 故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的裁距大于等于零 式方程为 3.D[由于A、B不同时为0，即A十B≠ 0, 0,故远D.] 1-a !4.AB[二元一次方程能表示所有直线，故 2十0≥0， 解得a>1.由①②可知a A正确：当C=0时，点(0,0)显然满足方 1-a1 素养演练·提升技能 程Ax十By一O,说明直线过原，点，故B正 ≥1. L,ABD[由题意设所求直线的横截距为a,} 确：当C-0时，直线与y轴重合，故C错：2.解(1)①当a=一1时，直线1的方程为y ①当a一0时，由题意可设直线的方程为y! 误：当直线与坐标轴平行或重合时，不能： 十3=0，显然不符合题意； =kx,将(1,2)代入可得k=2,.直线的方： 化为截距式，故D错误.故远A、B.] ②当a≠一1时，令x=0,则y=a一2， 程为2x-y=0:②当a≠0时，由截距式方关键能力·合作探究 令y=0,则x=4-一2 程可得直线的方程为子十义=1（栽距相典例们解(1）因为=2，且经过点A1: 题点一 a+1· “1在两坐标轴上的截距相等， 等)或后+之。=1（藏距相反），将(1,2)代 3),由直线的，点斜式方程可得v一3=2(x ∴a-2=a-2 一1)，整理可得2.x一y十1=0，所以直线的 解得a=2或a=0. 入可得a=3或a=一1，，直线的方程为x 一殷式方程为2x一v十1=0. 综上，a的值为2或0. 十y=3或x-y十1=0.故选A、B、D.] (2)由直线的斜率k=√5，且在y轴上的裁1 (2)直线1的方程可化为y=-(a十1)x十 2.A[显然a≠0.把直线l:ax十y-2=0化 距为4， a一2，故要使l不经过第二象限，只需 为立十堂=1.“直线l:ar十y-2=0在 得直线的斜截式方程为y=√x十4. (-(a+1)≥0， 整理可得直线的一殷式方程为√5.x一y十4： a-20, =0. 解得a≤一1 工轴和y轴上的截距相等，.2=2，解得 ∴.a的取值范图为(-∞，-1]. a (3)由直线的两点式方程可得y一（一3) a=1,故远A.1 5一（一3题点三 x-2 :[典例](1)解析设直线1的方程为x一y 3.A[由点A(4,0),B(0,2)可得直线AB· 十c=0(c≠一1)，由，点(0,3)在直线x一y -1-2” 的方程为子十文=1， 十c=0上，得0一3十c=0,解得c=3,因此 整理得直线的一殷式方程为2x一3y一131 直线l的方程为x一y十3=0.故远D. 因为点C(a,b)在线段AB(不含端，点)上， =0. 答案D 所以号+台-1a>0,>0,所以 a+1 ()由直线的藏距式方程可得受十兰 (2)解①，11⊥12，.3×m+(m十1)×2 =0, 1 =1, -b= 2 2 整理得直线的一般式方程为2x一y一4！ 5 =0 2√·-=-，当且仅对点训练 5 ②L1∥1， ,∴.3×2=n×(m十1)，，∴.m=-3或m 1.(1)B(2D[(1)将一殷式化为斜裁式， =2, 当。，即=-1时等号成立 斜率为一子的有B.C两项，其中By- 当n=一3时，L1∥l2；当m=2时，L1与L2 故选A.] 重合，不符合题意，舍去.n=一3. 4 4.6x-y-22=0(3x5)[过两点P(5,1 7 :对点训练 33 1.(1)0(2)1[(1)由11L12,则1×n十m 8),Q(3,-4)的线段的方程是8= x十14又y=-号x+14过点 C.y=-4 X1=0,.m=0. 5(3≤x≤5)，即6x-y-22=0(3≤x: (3,10),即直线过第一象限，所以只有B (2)由41∥42，则1=≠-2m-2 3-5 n -1-n 项满足要求. 5).] (2)令y=0,则x=-3W5.] 即n-1=0, {m(-1-m)≠-2(m+1),六m=1.] 198 2.解1的方程可化为y=一 3 4x+3, I= 5 !题点三 所以1的斜率为一具 得 3, 所以4与上相交，交点是[典例]解法一当m=1时，直线方程 为y=一4； (1)因为与1平行，所以'的斜率为 M号) 当m=之时，直线方程为x=9,这两条直 3 线的交点为(9，一4). 4· 又当x=9,y=一4时，9(m-1)十（一4） 又过点（一1,3），所以由点斜式，得直线· (2)解方程组3x一y十4=0， ① 16x-2y-1-=0, (2m-1)=m-5,即，点(9，一4)在直线(m 1'的方程为y一3=一 3(x+1),即3x十 ①×②一②得9=0，矛盾，这个方程组无： -1)x+(2m-1)y=m-5上，故无论m 解，所以1与2无公共点，山1∥12 取何值，直线(m-1)x十(2m一1)y=m一5 4y-9=0. (2)由与1垂直，得1的斜率为3 4 (3)解方程组3.x十4y-5-0, 都过定点P(9,一4). ① 法二 ,(m-1)x+(2n-1)y=m-5, 6x+8y-10=0. ② .m(x十2y-1)-(x十y-5)=0,则无论 又1'过点（一1,3），所以由点斜式，得直线 ①×2得6.x+8y-10=0. n取何值，直线(n一1)x十(2n一1)y=n 1的方程为y-3=冬(x+1),即4红一3v ①和②可以化成同一个方程，即①和②表 一5都过直线x十2y-1=0与x+y-5= 示同一条直线，l1与2重合 0的交，点. +13=0. 法二(1)l1:y=x,k=1,=0: 素养演练·提升技能 10 解方程组红”得.中 {y=-4, 1.D直线2x一y-2=0与y轴的交点为， 4y=-x+9e=-14=号 交点为P(9,一4). A(0,一2)，斜率为2，所求直线过点A且 ∴k1≠k,l与1相交 故不论m取何值，直线(n-1)x十(2m一 斜率为一豆∴所求直线的方程为y十2= (2)l1:y=3.x+4,k1=3,b1=4: 1)y=n一5都过定点P(9,一4)， 对点训练 1 x,即x十2y十4=0.故选D.] ky=3x-之6=3,4=- 解由(a-1)x-y十2a-1=0,得-x-y 一1十a(x十2)=0.所以已知直线恒过直 2.B[由两直线垂直，得1×2+(-2)n= ∴.k1=k2,且b1≠b2,l1∥12. 线一x一y一1=0与直线x十2=0的交点. 0,解得m=1,] 4 解方程组{121=0得{x二，2， 3.C「由ax十v十1=0，得 1x十2=0， y=1. y=一ax一1，因此直线l 5 所以方程(a一1)x一y十2a一1=0表示的 过定点P(0,一1)，若直 直线恒过定点（一2,1）. 线1斜率存在，则斜率 3 5 3 5 、 素养演练·提升技能 k=-a. 如图所示，当直线L由直 .k1一k2,b1=b2,.l1与l2重合 1.C [由m1=0得x= {x-y-2=0, 线PA按顺时针方向旋 对点训练 转到直线PB的位置时，符合题意. ,17 二m-1,:直线1：mx-y十m-1=0与 x n-1 易得=1卫=2，pA=2D: 解 )由2x二3v=,得 16, 射线12：x一y一2=0(x≥0)恒有公共点， 1-0 -2-0 {4x+2y=1, 13 y= 8, x=二m二1≥0，解得-1≤m<1.] 一1 号，结合图形知，a≥2或一a≤ 1 .L1与12相交，交点坐标为 !2.C[因为两条直线2x十3y一k=0和x ，解得a≤-2或a>号故选C] 3 16,- 13 8 ky十12=0的交，点在y轴上，所以设交点 2.x-6y十4=0， 为(0，b), 4.x-2y-1=0[当线段AB最短时，AB⊥ (2) 台∫x -3y+2=0, 2 所以了36k=0, 消去b,可得k= 1,又k=-2, y=3+3, 1x-3y十2=0. -kb+12=0, ①②两式相同，.l与，重合 6. k出=2，把A(3,1)代入点斜式方 程，得 (3)W2-1)z+y=3, ① 3AB迪{3.得由三条直 1y=2, \x+(√2+1)y=2,② 线相交于一点，可知m×1十n×2十5=0， y-1=2（x一3)，化为一般式方程为x ②×(W2-1)-①得0=22-5，矛盾，方 即n十21十5=0，结合选项可知A、B项正 2y-1=0.] 程组无解，.11∥L2 确.故远A、B. 5.解(1)由m-3m+2-0, 题点二 42或-2或？[当三条直线交于一点或 1m-2=0, 解得m=2. :[典例]解由方程组3x十4y一2=0， 其中任意两条平行或重合时，它们不能围 {2.x+y+2=0, 又方程表示直线时，m2一3m十2与m一2！ 成三角形 不同时为0，故m≠2. 解得了x=-2, 1y=2, 由3二250解得{x1, (2)由题意知，m≠2， 16x+y-5=0, {v=-1, 即11与L2的交，点坐标为（一2,2） 由-m一3+2-1，解得m=0, 将x=1,y=-1代入l1的方程，得n=2. 直线过坐标原，点 即当n一2时，三条直线共，点，不能圆成三 m-2 角 2.3.1 两条直线的交点坐标 实斜率友=号马 =-1. 故直线方程为y=一x,即x十y=0, 又m=一2时，4∥12，m=2时，山∥儿，此 必备知识·自主梳理 时三条直线也不能圆成三角形，故当n= 1.x=y=y2.无解无数个 相；对点训练 交平行 1.x-y-1=0[由2x-3-0,得 士2或m- 即时小练 14x-3y-5=0, 立时，山1，山和4不能周成三 角形，门 1.(1)/ (2)×提示当m=时，两直 2 {x=2,即，点P的坐标为(2,1)，因为直线15.解由题意：a v=1, (2,2) 与直线x十y一2-0垂直，所以直线1的斜 2)-2(y-2)=0,l2: 2 线平行 2(x-2)+a2(y-2) B 2.A「直线x=1与直线y-2是互相垂直{ 率为1，由点斜式得直线1的方程为y一1=1 的直线，交点坐标是(1,2).故远A.] 1×(x-2),即x-y-1=0.] =0知，1，l2都过定 -1o12C9 3.B[将(2，一1)代入3x十my一1=0可得2.解(1)由5+8v十7=0解得=1： 点(2,2)，且11的纵 n=5,将(2，一1)代入4x十3y一1=0可得} 12x十y-1=0, y=-1. 截距为2一a,l2的横 n=5,所以n十n=10.故选B.] 所以l1与l2的交点坐标是(1，一1). 截距为a2十2，画出大致图象如图所示. 关键能力·合作探究 (2)设与直线x十y十1=0平行的直线1方 连接O)A,由0a2,得四边形OBAC的 题点一 程为x十y十c=0, 面积S=SA十SAeA=号X(a2+2)X [典例]解法一(1)解方程组 因为直线1过11与l2的交，点(1，一1)，所 {x-y=0, 以c=0. 2+ 3.x+3y-10=0, 所以直线1的方程为x十y=0. ×2-ax2=(a-）+,故 199第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程 【课标要求】1.根据确定直线位置的几何要素，探素并掌握直线方程的一般式.2.会进行直线方程的 五种形式间的转化， 【素养要求】通过学习直线的一般式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.直线的一般式方程 y a,b分别是直线直线不垂直于 (1)概念 =1(a≠0， 截距式 a b 在x轴，y轴上的x轴和v轴，且 在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用 b≠0)》 非零截距 不过原点 一个关于x,y的二元一次方程表示出来，每一 Ax+By-+-C=0(A, 般式 A,B,C为系数 任何情况 个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线， B不同时为0) 我们把关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方 即时小练 程，简称一般式。 : 1.判断正误 (2)几何意义 (1)任何直线方程都能表示为一般式.( ①当B≠0时， =k(斜率)， (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四 b(y轴上的截距). 种形式互化 (3)对于二元一次方程Ax十By十C=0,当A= ②在Ax十By十C=0中，若B=0,A≠0，则x 0,B≠0时，方程表示斜率不存在的直线 日，它表示一条与y维平行或重合的直线：若 ) (4)当A,B同时为零时，方程Ax十By十C=0 A=0,B≠0，则y= ,它表示一条与x轴平 、 也可表示为一条直线： ( ) 2.直线2x十y十4=0的斜率k= ( 行或重合的直线， 2.直线方程的五种形式的比较 A.2 B.-2 c 3.若方程Ax十By+C=0表示直线，则A,B应满 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 足的条件为 A.A≠0 B.B≠0 (x0,)是直线 不垂直于x轴 点斜式y一y=k(x-xo) C.A·B≠0 D.A2+B2≠0 上一点，k是斜率 的直线 4.(多选)下列命题中，正确的是 A.二元一次方程Ax十By十C=0(A,B不同时 k是斜率，b是直 不垂直于x轴 为0)可表示平面内的任何一条直线 斜截式 y=kx+b 线在y轴上的 的直线 B.当C=0时，方程Ax+By十C=0(A,B不同 截距 时为0)表示的直线过原点 C.当B=0,A≠0时，方程Ax十By十C=0表示 y-yI x-x (x1,y),（x2 两点式%一y x2-x1 直线不垂直于 的直线与y轴平行 y2)是直线上的 x轴和y轴 (x≠x2,y1≠y2) D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四 两个定点 种形式互化 47 数学选择性必修第一册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 2.求满足下列条件的直线方程： 题点一直线的一般式方程 (1)斜率为-2，经过点(3,4)； [典例]根据下列条件求直线的一般式方程. (2)斜率为3，在y轴上的截距是2； (1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3); (3)经过两点（一2，一1）和（一1,5）； (2)斜率为√3，且在y轴上的截距为4； (4)经过两点(-4,0)和(0,2). (3)经过两点A(2,-3),B(-1,-5); (4)在x,y轴上的截距分别为2，一4. [听课记录] 题点二含参数的直线的一般式方程 [典例]设直线1的方程为2x+(k一3)y一2k十 6=0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值； (1)直线1的斜率为-1： (2)直线I在x轴、y轴上的截距之和等于0. ?…/方法技巧/ [听课记录] 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简： :单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形 式之一求方程，然后可以转化为一般式， 对点训练 1.(1)下列直线中，斜率为一 ,且不经过第一象 4 限的是 ( A.3x+4y+7=0 B.4x+3y+7=0 C.4x+3y-42=0 D.3.x+4y-42=0 (2)直线√5x-5y+9=0在x轴上的截距等于 A.3 B.-5 c D.-3√3 48 第二章直线和圆的方程 /方法技巧/ (2)已知直线l1:3x+(m+1)y-6=0,l2:m.x+ 含参直线方程的研究策略 2y-(m十2)=0，分别求满足下列条件的m (1)若方程Ax十By十C=0表示直线，则需满 的值， 足A,B不同时为0. ①l1⊥l2;②l1∥12. (2)令x=0可得在y轴上的截距.令y=0可 ! [听课记录] 得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可 将一般式化为斜截式 (3)解分式方程要注意验根， 对点训练 1.设直线1的方程为x+(a-1)y-2-a=0(a∈ R).若直线l不过第三象限，则a的取值范围为 2.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值 范围. /方法技巧/ 1.判定两直线平行的方法 (1)方程的系数为常数时，判断斜率是否存 在，若存在，将方程化为斜截式，设11：y= k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥L2台k1=k2 且b1≠b2;若都不存在，则要判断两直线是 否重合. (2)方程的系数含参数时，设直线11：A1x十 B1y十C1=0(A1,B1不同时为0)，2：A2x 十B2y十C2=0(A2,B2不同时为0)，则1∥ 题点三一般式下的平行与垂直问题 A1B2-A2B1=0, l2台→ [典例](1)已知直线l过点(0,3)，且与直线x一 B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0. y一1=0平行，则1的方程是 ( 这种判定方法避开了对斜率存在和不存在 A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 两种情况的讨论，可以减少因考虑不周而造 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 成的失误。 49 数学选择性必修第一册 2.判定两直线垂直的方法 :2.已知直线1的方程为3x十4y-12=0,求直线1 (1)方程的系数为常数时，若一条直线的斜 的方程，使1满足： 率为零，另一条直线的斜率不存在，则两直 (1)过点(-1,3)，且与1平行； 线垂直；若两条直线的斜率都存在，将直线 (2)过点(-1,3)，且与1垂直. 的方程化为斜截式，设l1:y=k1x十b1,l2: y=k2x十b2,则1⊥l2台k1k2=-1. (2)方程的系数含参数时，设直线11：A1x十 B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)，l2:A2x +B2y十C2=0(A2,B2不同时为0)，则l1⊥ 12→A1A2十B1B2=0.这种方法可避免讨论 斜率存在和不存在。 对点训练 1.已知直线1：x十my-2m-2=0,直线l2:mx十 y-1-m=0. (1)若11⊥12，则m= (2)若11∥12，则m= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.直线2x一y一2=0绕它与y轴的交点A按逆 (1)求实数m需满足的条件； 时针方向旋转90°所得的直线方程是( (2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值. A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0 C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=0 2.若直线x-2y十5=0与直线2.x十my-6=0互 相垂直，则实数m等于 ( A.-1 B.1 c D.一2 课堂小结 3.设A(-2,2),B(1,1),若直线1：a.x+y十1=0 与线段AB有交点，则a的取值范围是( 重要思想与方法 A.(-o,1U[2,+∞) (1)直线的一般式方程可与其他四种形式的方程互化，确定 直线的一般式方程只需要两个独立的条件】 B-2 (2)设1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则1∥ l2台A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠ C.(-∞，- U[2,+∞ 0,l1⊥12台A1A2+B1B2=0. D-2别 直线一般式方程的表示 4.已知点A(3,1),点B在直线1：2x+y-2=0上 直线的 般式方程 一般式与其他形式的互化 运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式： 一般式下的平行与垂直 方程为 5.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0 温馨提示 请做课时分层检测（十三） 表示直线. 50