1.2.4 绝对值 暑期预习导学案（附同步作业）2026-2027学年七年级上册数学人教版

1.2.4 绝对值 一、学习目标 1. 借助数轴理解绝对值的几何意义（距离），牢记绝对值的书写符号。 2. 熟记绝对值的代数法则：正数、0、负数的绝对值化简规律，可以快速求出整数、小数、分数的绝对值。 3. 掌握绝对值最重要的性质：非负性（），理解 “几个非负数相加等于 0，则每一项都等于 0” 的解题模型。 4. 学会利用绝对值比较两个负数的大小，理清有理数比较大小的全套方法；建立数形结合、分类讨论的数学思想。 二、学习重难点 重点：绝对值的概念；求有理数的绝对值；利用绝对值比较负数大小。 难点：理解负数的绝对值等于它的相反数；含字母的绝对值化简；绝对值非负性的应用。 三、课前预习（温故复习） 1. 数轴三要素： 、 、 。 2. 互为相反数的两个数，在数轴上到原点的距离 。 3. 写出下列各数的相反数： ， ， 。 预习疑问： 四、课堂合作探究 探究 1：结合路程，认识绝对值的几何定义 两辆汽车同时从原点出发，甲车向东行驶 6 千米，记作；乙车向西行驶 6 千米，记作。 思考：两车行驶的路程有没有区别？（路程只看远近，不分方向） 知识点 1：绝对值的几何定义 数轴上，表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作：。 核心特点：距离不能是负数，所以任意数的绝对值一定大于或等于 0。 举例：，。 结论：互为相反数的两个数，绝对值相等。 探究 2：归纳绝对值的代数化简法则 观察几组计算： ，（正数） ，（负数） （0） 总结法则（背诵）： 1、当（正数），（本身） 2、当， 3、当（负数），（它的相反数） 辨析思考：一定是正数吗？（不是，时绝对值等于 0） 探究 3：绝对值的核心性质（高频考点） 1. 非负性：对于任意有理数，。 2. 推论：若，则必然满足：。 3. 若，则或者（绝对值固定，数有两个）。 探究 4：有理数大小比较方法 1. 通用规则：正数＞0＞负数，正数永远大于负数。 2. 两个负数比较大小：绝对值越大，这个数反而越小。 例：比较和：，，所以。 五、例题精讲 例 1：求出下列各数的绝对值 例 2：化简式子 例 3：已知，求的值。 例 4：利用绝对值比较大小： 和 。 例 5（拔高题）：已知，求的值。 六、分层当堂练习题 【基础过关题】 1、；； 。 2、如果，那么 。 3、比较大小：；。 4、下列说法正确的是（） A. 绝对值一定是正数 B. 负数没有绝对值 C. 绝对值最小的数是 0 D. 若，则 【能力提升题】 1、化简：。 2、比较： 和 的大小。 3、若，判断是什么数？ 【拓展拔高题】 已知，计算的结果。 七、课堂小结（学生自主填空） 1、绝对值表示数轴上的距离，记作 ，它具有 性（永远≥0）。 2、正数的绝对值是 ，负数的绝对值是它的 ，0 的绝对值是 。 3、两个负数比较大小：绝对值大的数反而 。 4、若干个绝对值相加等于 0，每一个绝对值里面的式子都等于 。 八、课后作业 1、教材习题全部完成； 2、计算：； 3、比较大小：与、与； 4、思考题：若，想一想分别可以取哪些数。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．若|a|＝﹣a，a一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．﹣3的绝对值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 3．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 4．下列说法中，正确的是（　　） A．一个有理数的绝对值不小于它自身 B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等 C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D．﹣a的绝对值等于a 5．下列各组数中，相等的是（　　） A．﹣9和 B．﹣|﹣9|和﹣（﹣9） C．9和|﹣9| D．﹣9和|﹣9| 6．若|a﹣1|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 7．下列说法正确的是（　　） A．﹣|a|一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若|a|＝|b|，则a与b互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 8．若|a|＝8，|b|＝5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（　　） A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或13 9．下列各式正确的是（　　） A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5 10．若|﹣x|＝5，则x等于（　　） A．﹣5 B．5 C． D．±5 二．填空题（共5小题） 11．若|x|＝3，则x＝　 　 ． 12．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于　 　 ． 13．如果|x﹣3|＝5，那么x＝　 　 ． 14．已知x＞3，化简：|3﹣x|＝　 　 ． 15．已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+|a﹣1|＝　 　 ． 三．解答题（共3小题） 16．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　 和 　 　 ，B，C两点间的距离是 　 　 ； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　 ；如果|AB|＝3，那么x为 　 　 ； （3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　 ． 17．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|＝　 　 ； （2）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3． 18．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 　 　 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝ 　 　 ； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　 　 ，最小距离是 　 　 ． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ 　 　 ． （5）当a＝ 　 　 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：∵非正数的绝对值等于他的相反数，|a|＝﹣a， a一定是非正数， 故选：C． 2．【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3． 故选：A． 3．【解答】解：x的相反数是3，则x＝﹣3， |y|＝5，y＝±5， ∴x+y＝﹣3+5＝2，或x+y＝﹣3﹣5＝﹣8． 则x+y的值为﹣8或2． 故选：D． 4．【解答】解：A、因为正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以一个有理数的绝对值不小于它自身，故正确； B、C、若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故错误； D、当a＜0时，﹣a的绝对值等于﹣a，故错误． 故选：A． 5．【解答】解：A、﹣9，故本选项不符合题意； B、﹣|﹣9|＝﹣9，﹣（﹣9）＝9，﹣9≠9，故本选项不符合题意； C、|﹣9|＝9，故本选项符合题意； D、|﹣9|＝9，9≠﹣9，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．【解答】解：因为|a﹣1|＝a﹣1，则a﹣1≥0， 解得：a≥1， 故选：A． 7．【解答】解：A、﹣|a|不一定是负数，当a为0时，结果还是0，故错误； B、互为相反数的两个数的绝对值也相等，故错误； C、a等于b时，|a|＝|b|，故错误； D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数，符合绝对值的性质，故正确． 故选：D． 8．【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝5， ∴a＝±8，b＝±5， 又∵a+b＞0，∴a＝8，b＝±5． ∴a﹣b＝3或13． 故选：A． 9．【解答】解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5， ∴选项A不符合题意； B、∵﹣（﹣5）＝5， ∴选项B不符合题意； C、∵|﹣5|＝5， ∴选项C不符合题意； D、∵﹣（﹣5）＝5， ∴选项D符合题意． 故选：D． 10．【解答】解：∵|﹣x|＝5， ∴﹣x＝±5， ∴x＝±5． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵|x|＝3， ∴x＝±3． 故答案为：±3． 12．【解答】解：∵a与1互为相反数， ∴a＝﹣1， 把a＝﹣1代入|a+2|得， |a+2|＝|﹣1+2|＝1． 故答案为1． 13．【解答】解：∵|x﹣3|＝5， ∴x﹣3＝±5， 解得x＝8或﹣2． 故答案为：8或﹣2． 14．【解答】解：∵x＞3， ∴3﹣x＜0， ∴|3﹣x|＝x﹣3， 故答案为：x﹣3． 15．【解答】解：由数轴上a点的位置可知，a＜0， ∴a﹣1＜0， ∴原式＝a+1﹣a＝1． 故答案为：1． 三．解答题（共3小题） 16．【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2； （3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2， 故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2． 17．【解答】解：（1）原式＝6； （2）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝±5， ∴x＝7或﹣3； （3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和， ∴﹣2≤x≤1， ∴x＝﹣2或﹣1或0或1． 故答案为（1）6；（2）7或﹣3； 18．【解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3； （2）|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， x＝1或x＝﹣3． （3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3， ∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5， 当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12， 当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2； （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间， |a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8． （5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3×4＝12 当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9 当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9 当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3×（﹣5）＝15 综上可得当a＝1时，式子的最小值为9 故答案为： （1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9 学科网（北京）股份有限公司 $