课时分层检测(12) 直线的两点式方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

.ke=kA加，kAB=kcD, : √5， -3k十2k十1≥0， 1+5丛-2 ∴.其倾斜角a=120° 即{3k+2k+120 -5-3x1-2' 由题意，得所求直线的倾斜角α1= 1 解得一 4 k1. 5 2+5 x1一3 =30°， 所以，实数表的取值范国是[一吉， 解得{5=10：即D,（10,-4. y1=-4, 故所求直线的斜率k,=tan30°- 3 5.解(1)①截距为0时，l:y=2.x; 若以BC为对角线，则形成□ACD,B. (1),所求直线经过，点（√，一1），斜率 ②截距不为0时，k=一1，l:y一2=一(x 1), 设D2(x2,), 为③ .y=-x+3. 2+5 -地一1 综上，l的方程为2x-y=0或x十y一3 同理可得 2-3x十5 所求直线方程是y十1=5(-3. =0. 02-1+5 3 (2)由题意得l:x十y-3=0,.a十b=3, 2+5x-31 解得{二一4即D,(-4,一6. ②所求直镜的斜牵是写在y铅上的 .3+3≥2√3·35=2√3+6=65， y2=-6, 截战距为一5， 当且仅当a=b=号时，等号成立， 若以AB为对角线，则形成□ACBD, ∴.所求直线的方程为y= 5 ,3“十3的最小值为6√5 设D3(xg,）, 3 x-5, 课时分层检测（十二） 2+5_-1 10.解(1)，直线y=√3(x一1)的斜率 、 基础达标练 同理可得 2-3x十5' 为， 1+5 .其倾斜角为60°，且过点(1,0). A[代入两点式得直钱方程为 、 -5-3x-2 又直线1与直线 3(-D) 解得{5二。6·即D,(-6,8. y=5(x-1)的 号垫理得=十3] y3=8, 夹角为30°，且过 2.ABDA中当直线的斜率不存在时，共 30 课时分层检测（十一） 点(1,0). 30 方程只能表示为x=;B中经过定点A 基础达标练 如图所示，易知 60° (0,b)的直线x=0无法用y=.x十b表 1.C[由点斜式可得：y一2=2(x-0),化： 直线！的倾斜角 示：D中不经过原点但斜率不存在（或斜率 为：y=2.x+2.故远C,] 为30°或90， 故直线1的方程 为零)的直线不能用方程岳十芳=1表 2.C[由于直线y=号x一1的斜率为 2,故 为y=x-1成=1. 示.只有C正确.故选A、B、D.] 所求直线的斜率等于一2，故所求直线的方 3 程为y一0=-2(x一1)，即y=一2x十2，故远！ 3D[由两点式得直线方程为 C （2)由题意知，x-8-}-是 3.B[直线经过第一、三、四象限，“图形 AD⊥BC,∴.直线AD的斜率存在，且I ,即无+5y-27=0,令y=0,得 如图所示，由图知，k>0,b<0.] kAD= 2 =27.] 3 4.B[直线工一Y=1在x轴、y轴上的藏 2(工 m n 故直线AD的方程为y十4= 3 距分别是m,-,直线二-义=1在工 1). n m :能力提升练 轴、y轴上的截距分别是n,一m,因此四个 1.CD[令x=0,得y=2m-m+3 4m+1 裁距中两正两负，对照选项中图形知B正 确.故远B.] 4.A[将直线y=3x绕原点逆时针旋转！ 90°，得到直线y=一 3x,再向右平移1个 由已知得2m一n十3 4m+1 1,则4m十1=2m25.AC[由题意设直线方程为工十义=1 a -n十3， 或工+义=1，把点(2,1)代入直线方程 1 单位长度，所得到的直线为y=一3(x一 即2n2-5m十2=0. 得2+L=1或2+1=1，解得a=3 1 a a 一a D,即y=三3女子，敢选A] 解得m=2或号（符合题意）.] 5.ABC[对于A,该直线过第-、二、四象2D[由对称性可得B(2,0),…k 3-0 1-2 或。=1心所求直线的方程为号十苓=1 限，所以k0,b>0,故，点(k,b)在第二象· =一3，∴.直线AB的，点斜式方程为y一3： 或十片=1，即x+y3=0x一y 限，A正确：对于B,直线的方程kx一y =一3(x一1).故选D.] 2k十3=0可化为点斜式y一3=k(x一2)， 1=0.故选A,C.] 所以无论k取何值，点(2,3)都满足方程， 3.y-√3=(x-1)[由直线方程y=x十：6.3x十y-6=0[由题意知直线过点(2， √3一1得直线的斜率为1，所以倾斜角： B正确；对于C,由点斜式方程知正确；对 0),又直线过点(1,3)，由两点式可得， 于D,由斜截式方程得到所求直线方程为 为45. 沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变1 y--2x十3，D错误.故远A、B、C] 8-号整理得3x+y一6=0.] y-0 为60°， 6,4[直线l的方程可化为y=(m一1)x+ :73[直线y=号x-2的機距式为号十 2 2n-1, '.所求直线的斜率为√ ∴.2m-1=7,得m=4.] 又直线过点(1，√3)， .由直线的点斜式方程可得y一√=√3(x: 兰2-1，即精我距为3，纵发距为一-2所 7.y=√5.x-6或y=-√5x一6[因为直线 与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角！ 一) 为60°或120°，所以直线的斜率为5或：4，(1)证明 由y=k.x十2k十1，得y一1I 求面积为5-2×2X3=3.] =k(x十2). 一√3，又因为在y轴上的裁距为一6，所以1 8-2[由直线方程的两点式，得二岀 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点！ 直线的斜裁式方程为y=√3x一6或y=· (-2,1). 2,即y1=x2 2 5 -5 -√3.x-6.] (2)解设函数 8.-10[:4/1kB=4g=-2,解 ∴.直线AB的方程为y十1=一x十2， f(x)=kx+2k m+2 十1，显然其图象 点P(3,n)在直线AB上， 得m=-8. 是一条直线（如 ,.n+1=-3+2,得m=-2.] 图所示)， 3-2-1 之3元9.解(1)由直线的两，点式方程，得边AC所 ×(-2)=-1,解1 若使当一3x <3时，直线上的点都在x轴上方， 在直线的方根为》。即-2y 得n=-2. 十8=0. .n+n=-10.] 需满足{f-3)≥0， x-0 f(3)≥0， 9.解.直线y=一√3x十1的斜率k=1 边AB所在直线的方程为二 6-4 =—2-0' 226 即x十y-4=0. ②当直线1在两坐标轴上的裁距不为0！因为所求直线过点（一3,1），所以一6一3 (2)由题意，得点D的坐标为（一4,2），由， 时，可设直线1的方程为品十=1 十n=0,解得n=9,故所求直线的一殷式 直线的两，点式方程，得中线BD所在直线 -m 方程为2x一3y十9=0. 的方粒为号-2气二即2-y十 (n≠0)，即x一y=n, 10.解把直线1的方程化成斜裁式，得y= 又1过点P(3,2), (1-a)x+a+2, 10=0. ∴.3-2=m,解得n=1, (1)因为直线【不过第二象限，故该直线 10,解①直线1的方粒为号昌 ,.1的方程为x一y一1=0. 的斜率大于等于零，且直线在y轴上的 综上所述，直线1的方程是2x一3y=0或 截距小于等于零。 化简，得x十y一5=0. (2)由题意知直线1的斜率存在且不为 (2)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直 即{二0之0：解得a≤-2. 1a+20,1 零.设直线1的方程为y一1=k(x一4)，1 所以a的取值范围为（一0∞，一2] 则直线1在y轴上的裁距为1一4k,在x! 线1的方程为亡十岩=1. (2)因为直线1不过第三象限，故该直线 轴上的藏亚为4一。， 直线1过点P3,2),5+方1 的斜率小于等于零，且直线在y轴上的 a 截距大于等于零，即二g0解得a≥ 故1-4=2(4-方）得=子成= 由a>0,b>0得1= 3十 2 1a十2≥0， a b 1.所以a的取值范图为[1，十∞). -2, 所以直线I的方程为x一4y=0或2x十y: 2√×云，国此b>24(当且仅当 :能力提升练 a 1.AD[对于A,由直线方程知其恒过定点 -9=0. (1,0),故A正确：对于B,当n=0时，直 能力提升练 方，即a=6,b=4时取等号） 线斜率不存在，故B错误；对于C,m=√3 1.ABD[当x1=x2或y1=y2时，直线方程 不能写成)出=一西，故A错误：当 从而Sa4m=合ab≥12. 时有y-(z一1D,即an0=5,则倾斜 3 3 VVItI 故△AB)面积的最小值是12，此时直线L: 角为0=30°，故C错误：对于D,当n=2 直线过原，点时，在x轴和y轴上的裁距相 等，但斜率不一定为一1，故B错误；设直 的方程为看十￥=1，即2z+3y-12=0. 时，直线1：x=2y十1与x,y轴交点分别 线在y轴上的截距为b,则直线方程为y 课时分层检测（十三） 为1,0)，（0，-立) 1）,所以直线1与两坐 x十b.令y=0,得直线在x轴上的截距为 基础达标练 x=一b,于是b+(一b)=0,故C正确：若 直线与坐标轴国成的三角形是等腰直角：1.C[由藏距式得直线方程为3十寸 标轴国成的三角形面积为子，故D正确。 故选A、D. 三角形，则直线的斜率为士1，故D错误.门· 1,整理得4.x一3v+12=0. 2.D[线段AB的方程为专+Y =1(0≤x{2.C[由题意可设所求直线方程为x+2y 2[年，] [直线2.rcos a-y-3=0的 十c=0(c≠2).因为(5,0)在该直线上，所 斜率k=2cosa, ≤3)，于是y=41-号)(0≤x≤3)，从 以5十2×0十c=0,得c=一5，故该直线方 程为x+2y一5=0.] 周为a∈[吾，吾】所以分≤osa<复， 而=4(1-)-（一）》 3.C[将1与l2的方程化为斜裁式得：y ax十b,y=bx十a,根据斜率和截距的符号 因此k=2·cosa∈[1，√5].设直线的倾斜 可得远C. 角为0，则有tan0∈[1，√3.又0∈0，x), 3,里然当x=号∈[0,3]时，y取最大值4D由题意，将点(-2,0)，(0,3》代入直 为3；当x=0或3时，xy取最小值0.故： 所以0e[平，]门 线方程，得 选D. -2a十6=0，解得：3.±1 13b+6=0, 「如图所 3.一1一√5[点A(-4,√3)关于x轴的 6=2故选D.] (a=3, 示，直线1：x +3y-5=0 对称，点为A'(-4,一√3)，则直线AB:y= 号+号与x轴交于点（一1,0，所以光 3 .A[由题意得X2n1+m)解得m 分别交x轴、y D m≠-2， 轴于A,B两 3 -1.故选A.] 点，直线l2: \() 角是60，得折射角是30，且光线经过6.045°[由题得-m士 线与x轴交点的横坐标为一1；易知入射： m=0. 3k.x-y+1=0 -2 过定，点C(0,1). (一1,0)，得出折射光线所在直线方程为 2 y=一√3x一√3，所以纵截距为一√3.] 若m=一1，则直线的斜率k=一兰21， 由，点C在线段OB上知I。⊥L1或l,与x 轴交于D,点，且∠BCD+∠BAD=180°， 4.解，直线1与两坐标轴国成一个等腰直 所以直线的倾斜角为45.] ①由L1⊥l2知，1×3k十3X(-1)-0,解 角三角形， [由题意知直线的斜率为tan4 正直线1在两坐标轴上的截距相等裁互为7一了 得k=1. ②由∠BCD+∠BAD=180°，得∠BAD 相反数且不为0， 2a2-4a =∠CD. 若L在两坐标轴上的截距相等，且设 为a(a≠0)， 1,∴.a2-4≠0，y= 设直线L1的倾斜角为α1，l,的倾斜角为 -(a-4) a2,则a1=180°-∠BAD,ae=90° 则直线方程为工十义=1，即x十y一a 5a2 a -(a.2ai-la =1,∴.3a2-4a ∠0CD,.a1=180°-∠BAD=180° -(a2-4) =0. ∠0℃D=180°-(a2-90)→a1=270°-a 7a·a=18,即a2=36,a=士6， -4=0,∴.a= 2或a=2(舍去.] →tana1=tan(270°-a)=tan(90°-ae） .直线方程为x十y士6=0. 8.(1,1)x=1[直线1的方程可化为m(x1 sin(90°-ae2- c08a2= cos(90°-a) sin ax tan a2 >tan a 若1在两坐标轴上的截距互为相反数，不： -1)+(y-1)=0, ·tana=1, 妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的· 令{二1=0得x1 戴距为一a(a≠0)， Qy-1=0, y=1. :-子×3k=1→k=-1.综上所述，k的 故直线1过定，点(1,1). 故直线方程为工+义=1，即x-y-a! 值为士1.] 当倾斜角为受时，直线垂直于x轴，所以4解（①）证明将直线么的方程化为m(口 =0. 其方程为x=1. -2y-3)+2.x+y+4=0, -a·a=18,即a2三36，a=19,解(1)由题意知直线1的方程为y 解方程组 x一2y一3=0，解得 8(x-2),即3x+2y-12=0. 2x+y+4=0, 士6，.直线方程为x一y士6=0. 综上所述，直线I的方程为x十y士6=0或： x=一故直线1恒过定点M一1， -y士6=0. (2)设所求直线的方程为3x十2y十m一0 y=-2, 5.解(1)①当直线1在两坐标轴上的裁距！ (m≠一12)，因为所求直线过点（一3,1）， 所以一9十2十m=0,解得n=7,故所求直！ 2 2 均为0时，直线1的方程为y=了1，即2x 线的一殷式方程为3x十2y十7=0. (3)设所求直线的方程为2x一3y十n=0, (2)由题意可知，直线，的斜率存在且不 -3y=0: 为零， 227班级 姓名 得分 课时分层检测（十二） 直线的两点式方程 :8.若点P(3,m)在过点A(2,一1)，B(一3,4)的 …0 基础达标练0… 直线上，则m= 1.过两点（一2,1）和(1,4)的直线方程为 :9.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4), ( ) B(-2,6),C(-8,0). A.y=x+3 B.y=-x+1 (1)求边AC和AB所在直线的方程； C.y=x+2 D.y=-x-2 (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程. 2.(多选)下列命题中不正确的是 ( A.经过点Po(xo,yo)的直线都可以用方程 y一y0=k(x-x0)表示 B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程 y=k,x十b表示 C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2, y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1) =(y2一y1)(x-x1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程。十名 =1表示 3.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上 :10.已知直线1过点P(4,1). 的截距为 A.2 B.-3 (1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的 C.-27 D.27 方程； (2)若直线1在y轴上的截距是在x轴上的 4.两条直线2一y=1与工-义=1的图形可 m n 截距的2倍，求直线1的方程. 能是 卡 5.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等 腰直角三角形的直线方程可以是 ( ) A.x+y-3=0 B.x十y+3=0 C.x-y-1=0 D.x-y+1=0 6.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方 程是 7.直线y=子x一2与两坐标轴围成的三角形 的面积是 133 班级 姓名 得分 :5.已知直线l过点P(3,2). 能力提升练 (1)若直线1在两坐标轴上的截距互为相反 1.(多选)下列命题不正确的是 ( 数，求直线1的方程； A.过任意两点A(x1y1),B(x2y2)的直线 (2)若直线1与x轴，y轴的正半轴分别交于 方程可以写成)一义1=x一1 A,B两点，O为坐标原点，求△ABO面积的 “y2-y1x2-x1 最小值及此时直线1的方程. B.直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线 斜率为一1 C.若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴 上的截距之和为0 D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直： 角三角形，则直线的斜率为1 2.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在 线段AB上运动，则xy A.无最小值，且无最大值 B.无最小值，但有最大值 C.有最小值，但无最大值 D.有最小值，且有最大值 3.设光线1从点A(一4,3)出发，经过x轴反 射后经过点B(0,号)则兆线1与x轴交点 的横坐标为 ,若该入射光线1经 x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折 射光线所在直线的纵截距为 4.若直线1与两坐标轴围成一个等腰直角三角： 形，且此三角形的面积为18，求直线1的 方程. 134