2.2.1 直线的点斜式方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线方程概念（平行、垂直、截距等）|选择、填空为主，直接应用核心概念，如平行于x轴的直线方程、垂直直线斜率关系，强化抽象能力| |综合运用|直线位置关系、斜率范围、面积问题|结合图像分析与几何情境，如判断两直线图像、线段相交求斜率范围，发展推理能力| |拓展提高|欧拉线、恒过定点及参数范围|联系数学史与实际应用，如欧拉定理应用、直线恒过定点证明，培养模型意识|

2.2.1　直线的点斜式方程 一、基础巩固 1.已知一直线经过点A(3,-2),且与x轴平行,则该直线的方程为(　　) A.x=3 B.x=-2 C.y=3 D.y=-2 2.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 3.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.与直线y=x平行,且过点(-4,3)的直线的方程为(　　) A.y-3=-(x+4) B.y+3=(x-4) C.y-3=(x+4) D.y+3=-(x-4) 5.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为(　　) A.-1 B.1 C.-5 D.5 6.(多选)倾斜角为120°且在y轴上的截距绝对值为2的直线的方程为(　　) A.y=-x+2 B.y=-x-2 C.y=x+2 D.y=x-2 7.(多选)已知直线l:y=x-1,则(　　) A.直线l过点(,-2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 8.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为　　　　;它与y轴的交点为　　　　.  9.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的方程是　　　　.  10.已知直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为　　　　.  11.写出下列直线的斜截式方程: (1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2; (2)直线过点A(3,1)且在y轴上的截距是-1. 二、综合运用 12.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是(　　) 13.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是　　　　.  14.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程. 三、拓展提高 15.数学家欧拉在1765年提出定理,三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,3),AB=AC,则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　.  16.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. 2.2.1　直线的点斜式方程 一、基础巩固 1.已知一直线经过点A(3,-2),且与x轴平行,则该直线的方程为(　　) A.x=3 B.x=-2 C.y=3 D.y=-2 答案　D 解析　∵直线与x轴平行, ∴其斜率为0, ∴直线的方程为y=-2. 2.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 答案　B 解析　由y+=(x-1),得y=x-9, ∴l在y轴上的截距为-9. 3.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　B 解析　由题意可知a·(a+2)=-1, 解得a=-1. 4.与直线y=x平行,且过点(-4,3)的直线的方程为(　　) A.y-3=-(x+4) B.y+3=(x-4) C.y-3=(x+4) D.y+3=-(x-4) 答案　C 解析　由y=x的斜率k=, 从而所求直线的斜率也为. 又所求直线过点(-4,3), 故所求直线的方程为y-3=[x-(-4)], 即y-3=(x+4). 5.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为(　　) A.-1 B.1 C.-5 D.5 答案　A 解析　因为直线l的方向向量为(1,-2), 所以直线l的斜率k=-2, 又直线l过点(-3,4), 所以直线l的方程为y-4=-2(x+3), 令y=0,得x=-1, 所以l在x轴上的截距为-1. 6.(多选)倾斜角为120°且在y轴上的截距绝对值为2的直线的方程为(　　) A.y=-x+2 B.y=-x-2 C.y=x+2 D.y=x-2 答案　AB 解析　由倾斜角为α=120°得k=tan α=tan 120°=-,又纵截距为±2, 故y=-x±2,选AB. 7.(多选)已知直线l:y=x-1,则(　　) A.直线l过点(,-2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 答案　BC 解析　对于A,将(,-2)代入y=x-1,可知不满足方程,故A不正确; 对于B,由y=x-1,知直线l的斜率为,故B正确; 对于C,设直线l的倾斜角为α,则tan α=,可得α=60°,故C正确; 对于D,由y=x-1,令x=0,可得直线l在y轴上的截距为-1,故D不正确. 8.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为　　　　;它与y轴的交点为　　　　.  答案　y=-x+4　(0,4) 解析　设所求直线斜率为k,则2k=-1, 即k=-,又在y轴上的截距为4, 则直线为y=-x+4,与y轴交点为(0,4). 9.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的方程是　　　　.  答案　y=x-6或y=-x-6 解析　与y轴相交成30°角的直线的斜率为: k=tan 60°=,或k=tan 120°=-, ∴在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是:y=x-6或y=-x-6. 10.已知直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为　　　　.  答案　y-4=-(x-3) 解析　直线y=x+1的斜率k=1, 所以倾斜角为45°. 由题意知,直线l的倾斜角为135°, 所以直线l的斜率k'=tan 135°=-1, 又点P(3,4)在直线l上, 所以直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3). 11.写出下列直线的斜截式方程: (1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2; (2)直线过点A(3,1)且在y轴上的截距是-1. 解　(1)斜率k=tan 45°=1,可得斜截式方程为y=x+2. (2)由题意知直线过点(3,1),(0,-1), ∴斜率k==, 可得斜截式方程为y=x-1. 二、综合运用 12.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是(　　) 答案　ABD 解析　①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距为a>0,A,B,C,D都不成立; ②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,所以A,B,C,D都不成立; ③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角,直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0,只有C可能成立. 13.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由已知得,直线l恒过定点P(2,1),如图所示. 若l与线段AB相交, 则kPA≤k≤kPB, 因为kPA==-2, kPB==, ∴-2≤k≤. 14.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程. 解　当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时, 设直线l的方程为y-2=k(x-2), 令y=0,得x=, 由三角形的面积为2,得××2=2, 解得k=. 可得直线l的方程为y-2=(x-2), 即y=x+1. 综上可知,直线l的方程为x=2或y=x+1. 三、拓展提高 15.数学家欧拉在1765年提出定理,三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,3),AB=AC,则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　.  答案　y=-x+ 解析　因为AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上, 设线段BC的垂直平分线的斜率为k, 则k·kBC=-1, 因为kBC==3,所以k=-, 又因为BC的中点坐标为, 所以△ABC的欧拉线方程为 y-=-, 化成斜截式为y=-x+. 16.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. (1)证明　由y=kx+2k+1, 得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1). (2)解　设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图所示), 若使当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方, 需满足即 解得-≤k≤1. 所以,实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $