课时分层检测(14) 两条直线的交点坐标-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

设直线12的方程为y十2=kx十1， !5.ABC[A.若方程组无解，则两条直线无； 一5=0，解得k=一7或一2（舍去）.即三条 交点，两直线平行，正确：B.若方程组只有 直线交于一点时k=一7.若11与L,平行 令x=0,可得y=k-2,令y=0,可得x= 一解，说明两条直线只有一个交，点，则两· 或重合，则1×（一2）一k×1=0,k=一2. 2 直线相交，正确：C.若方程组有无数多解， 若11与13平行或重合，则1×[一(k十1)] -1, 说明两条直线有无数多个交点，则两直线 -1×1=0,k=一2.若12与1平行或重 k-20, 重合，正确；D显然错误.故选A、B、C.门 合，则k×[一(k十1)]一1×（一2）=0，k= 由已知可得 2 -1<0,解得k<0, 6.士6[在2x+3y一k=0中，令x=0,得！ 一2或1.综上可知，当三条直线可图成三 y将(0，）代入x-y+12=0, 角形时，k≠一7且k≠一2且k≠1.] 所以三角形面积为S- (2-)( 3.0[由条件设两直线的交点为(1，-f) 解得k=土6.] (t≠0)， ≥7-1 [由{x十3y=10·解得{x=42 则子 1 1 y=-2, 又1 {2x-y=10, sin a+sin B sin a+cos 点(4，一2)在直线ax十2y十8=0上，所以1 1 4a+2×(-2)+8=0,解得a=-1.] =4,当且8.(-1,0) t cosa十sin3cosa十cos3 [当直线AB和直线x十y十1= 1 仅当k=一2时，等号成立，此时直线12的 0互相垂直时，线段AB的距离最短， 所以sina sin cos a+cos 即直线AB的方程的斜率为k=1,所以直 方程为y十2= 2x+1）,即2x+y+4 线AB的方程为y=x十1. cos a+sin B'sin a+cos B' 即(sina+cosa十sin3+cos =0. 联立{红士士二0解得{红二。1， {x-y+1=0,1 1y=0, 1 5.解(1)由已知得kAB=1, 即B(-1,0).] (sin a+sin B)(cos a+cos B) 直线AB的方程为y-4=x一3，即x一：9.解(1)当a=0时，直线11：y十1=0，l2:! 1 y+1=0, 2.x-y+3=0,联立y+1=0, =0, 由{二10。解得{=)A的坐 12x-y+3=0, 解得 (cos a++sin B)(sin a+cos B) x+3y-7=0, y=2, x=一 若(sina十sin)(cosa+cos3)=(cosa+ 标为(1,2) 2故直线4与2的交点坐标为 sin B)(sin a-+-cos B), {y=- (sin a-cos a)(sin B-cos )=0. (2)设E(xw),则C(2x-3,2y-4), (-2,-1). 则 (2-3)+(2y-4)-3=0, 当sina一cosa=0时，两直线重合（不合题 (2)图为1∥12， 1十3y-7=0, 解 所以∫a(a-1)-2-0, 意)， 当sin3-cos3一0时，两直线平行（不合题 舞 3一(a-1)(a+1)≠0. 意) 即{a-2》(a+1)=0解得a=-1. 故sina+cosa十sin3+cos3=0.] :直线1在x轴、y轴上的截距相等， 4一a≠0， ·当直线1经过原点时，设直线1的方程10.解设A(%),由中点公式，有B(一西，4 (号【由8—+ 为y一kx, 2-), 1 A在L1上，B在12上， x=2a+3 2a+30, 把点E(4,1)代入，得1=4k,解得k= 4 22. 得 71 由 7 此时直线1的方程为x一4y=0: -2 7 2∠0， (7 当直线L不经过原点时，设直线1的方程 1-2 1 解得工0二一4，kAP二0十4一4， 3 为工十义=1， 1yo=2, 得>1-<<2.] a 故所求直线1的方程为y=一 1 把点E(4,1)代入，得4+1=1，解得a x+1, (a<2. !5.解(1)由BH所在的直线的方程为x a a 即x十4y-4=0. 1 =5, :能力提升练 2y-5=0,知k期=2，由题意知BH山 此时直线1的方程为x十y-5=0, AC,得kAc=一2. 二直线1的方程为一4y-0或十y-51C [解方程组 x+2y-60,得 1x-y-3=0, 所以AC所在直线方程为一2(.x一5)=y =0. 1,即2x+y11=0, 课时分层检测（十四） 工二4即直线1，l2的交点坐标为(4， y=1 又CM所在的直线的方程为2x-y-5 基础达标练 1):直线11：x十2y一6=0与x轴、y轴的 =0, 交点坐标分别为(6,0)，(0,3)；直线12：x 1.Bg方权担得{ 由 一y一3=0与x轴、y轴的交点坐标分别 ，郎得即c y-3, 2.B[:直线3x+ny-1=0与4x十3y-n 为(3,0)，(0，一3).如图所示， 3) (2)设B(a,b),由CM是AB边上的中线， =0的交点为(2，一1)..将点(2，-1)代 入3.x+my-1=0得3×2+m×(-1)-1 x+2y-6=03 =0,即m=5,将点(2，-1)代入4.x+3y xy-3=0 得M, .代入2x-y-5=0, n=0得4×2十3×(-1)-n=0,即n=5,1 1 (4,1) 得2×5十a_1 2 -5=0,即2a-b-1 2 .m+n=10.] -10 123456元 0,① 3.A[lc:受+号=1，即3x+2-6=0 又BH所在的直线的方程为x一2y一5 可得所求四边形的面积为2X6X3 =0, 1x=a, 由{3x+2-6=0得 则a-2b-5=0,② 6-3a x=a, v=2, 2 联立①②，解得二'即B-1,-3. 1b=-3, 9 因为S△AB=2’ {2.ABD[若三条直线交于一点，则k≠一2，} 解方程组 (x+y-1-0, 由两点式得直线BC的方程为3 得 -3-3- 1k.x-2y十3=0， -1-4,即6x-5y-9=0. x一4 得a=√3或a=一3（舍去）.] k+21 4.C[直线1的方程可化为n(x十2y十1) 3+k 即4与4的交点为！6.证明由题意知a≠1， x-3y=0,由{+2210，解得 y一k+21 解方程组 +1=0，得 1x+y-a=0, 1-x-3y=0, 3+k a+1 ,-3直线1恒过定点(-3,1).故 k+2'k+2 即两条直线的交，点坐标为 y=1, 代入山的方程得一2一（十1） 3十k a2+1 选C. k+2 228 (日)显然一0，故交 :线段AB的中点到原点的距离为。 故PA2十PB2的最小值为5，此时 点不可能在x轴上. 令20，期1-40甲a>1,6当 √(a-）+(- 平，解得4证明如因以B花 坐标原点，直线AC @>1时，0，故交点不可能在第8解当直线1的斜率存在时，设直线1的 为x轴，建立平面直 角坐标系， 象限。 方程为y十1=k(x一1)， 设△ABD和△BCEA 7十k 龄上将运，文点（告）不可能 解方程组2xy一6=0，得 k+2 的边长分别为a,c,则A(一a,0),C(c,0), 1y=kx一k-1, 4k-2 在第一象限及工轴上， k十21 (号(÷) 课时分层检测（十五） 基础达标练 即() 则E√【分-(-a小+（号。-） 1.D[AC=4E,CB-2区，故AC CB =2.] 由B√+（号+可 =Wa+ae十c2, CD 2.BCD[√2+2x+5=√(x+1)2+4 =5,解得k= 3 -√(--+(a- 4 =√/(.x+1)+(0±2)2 ∴.直线1的方程为y十1= 3 -a2+ac+c -(x一1)，即1 所以AE=CD. =/(x+1)2+(-1-1)2, 可看作点(x,0)与点（一1，一2）的距离，可 3.x+4y十1=0. 5.解1)由{二2y十1=0得顶点A(-1, 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为！ y=0, 看作点(x,0)与点（一1,2）的距离，可看作！ 点(x,一1)与点（一1,1）的距离，故远项A· x=1,此时，与1的交点为(1,4)，也满足 0) 题意， 2-0 不正确. 则直线AB的斜率kAs1二（一=1， 3.C「由中点坐标公式可得，BC边的中点 综上所述，直线【的方程为3.x十4y十1=0 因为AB⊥AC,所以直线AC的斜率为 或x=1. D(号，6). :能力提升练 所以AC所在直线的方程为y=一x一1. 由两点间的距离公式得 :1.B[fx)=W(x+5)+4+√(x+3+9= 因为BC边上的高AM所在直线的方程为 AD-4-受P+1-6-5y5] W[x-(-5)]2+(0-2)2+ x-2y+1=0, 所以直线BC的斜率为一2， √x-(一3)]十(0-3)2表示平面上1 4.5√10[B(-3,5)关于x轴的对称点为 所以BC所在直线的方程为y=一2x十4. M(x,0)到点A(-5,2)与B(一3,3)的距 B'(一3，一5)，AB交x轴于P点，所以1 离之和的最小值（如图） PA+PB=AB (2)迪{-2，得顶点C的坐标为 即MA十MB的最小 (5,-6). =√(2+3)2+(10+5)产-5√10， 值.又点A关于x轴的 对称点A'(-5,一2)， 则AB=√(-1-1)+(0-2)2-22， 即光线从B到A经过的路程为510.] A AC=√/(-1-5)2十[0-(-6)]2=6√2， 5.z[点A(5,2a-1),B(a十1，a-4),由 A'B|=29,∴.MA +MB=|MA'+|MB≥A'B|= 因为AB⊥AC,所以△ABC的面积为 两点间距离公式得到|AB|= √29.故选B.] AB·AC=号×2EX6E-12, √(4一a)+(a+3)=√2a-2a+25,2.A[设C(m,n),由重心坐标公式得 课时分层检测（十六） 根据二次函数的性质得到最小值在对称 轴处取得，又对称轴为a=立，故实数a的 △AC的重心为（专，”告） 基础达标练 1.A[直线y=2x可化为2x一y=0,由点 代入欧拉线方程，得m2-时4+2=0， 到直线的距离公式得2X2二5 1 值是] 3 3 /22+(-1)√5 6.5[由于△ABM的面积等于△ABC面积 整理，得m-1十4=0.① 的子，故BM=子BC, AB的中点为1,2).ke=着号=-2， y AB的垂直平分线的方程为y一22.AC[当直线1的斜率不存在时，直线1 的方程为工=3满足条件 6 直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y 日求A 即x-2y十3=0. -3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0. 由{二2y30·解得{x二，1， 由题意可得6一2牛3二3=2，解得k 1x-y+2=0, y=1. /k2+1 -10-86-202468x .△ABC的外心为(-1,1). 2 -子，所以直线1的方程为3x+4y-21= 则(m十1)2+(1-1)2=32+12=10. C 整理，得n2十n2十2n一2n=8.② 0 6 上，可得直线l的方程为x=3或3x十 联立①②，得n=一4，n=0或n=0, 4y-21=0.] n=4. 设M(,),由Bi=B武. 当n=0,n=4时，B,C重合，舍去， 3.D,[因为3x十2y-3=0和6.x十my+1=0 互相平行，所以3：2=6：n,所以n=4.直 ∴顶点C的坐标是（一4,0）.故选A] 得(x+2y-40)=(-4，-8)=(-1 线6x十4y十1=0可以转化为3x十2y叶2 13.5 [设P(x,y)(x∈R, -2), () =0,由两条平行直线间的距离公式可得 解得x=-3,v=2,即M(一3,2)， y∈R), 1 所以|AM|=√4+3=5.] 则PA=/(x-1)+(y-1) -(-3) 7 7.解由题易知a≠0，直线ax十2y一1=' W/32+22 源 |PB=/(x-2)2+(y+2)2 0中， 4,D[依题意知，所求，点的轨迹为直线，且 ∴.PA2+PB2=(x-1)2+(y-1)2+1 ◆y-0有=则A(合0令 与已知直线3x一4y-1-0平行，设所求 (x-2)2+(y十2)2-2.x2-6x+2y2+2y 直线方程为3.x一4y十C=0(C≠一1)，根 0,有=合，则0，受）截B的中点 +10=(-2)+()+5 据两条平行直线间的距离公式，得 C+1=C牛1=2，则C=-11或C 当x=号y--号时，PA+PB月 √/3+4 5 为（云）小 =9,故所求点的轨迹方程为3x一4y一11 的值最小 '; =0或3x一4v十9=0.故远D.] 229班级 姓名 得分 课时分层检测（十四） 两条直线的交点坐标 0 基础达标练0… :9.已知直线l1:ax+y十a+1=0与l2:2x十 (a-1)y+3=0. 1.两条直线1：2x-y-1=0与l2:x+3y-11 (1)当a=0时，求直线l1与l2的交点坐标； =0的交点坐标为 ( (2)若l1∥l2,求a的值 A.(3,2) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(-3,-2) 2.直线3.x十my-1=0与4x+3y-n=0的交 点为(2，一1)，则m十n的值为 A.12 B.10 C.-8 D.-6 3.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3), C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积 相等的两部分，那么实数a的值等于( A.3 R1+号 c1+9 D.?- 2 4.不论m为何实数，直线1：(m一1)x十(2m 3)y+m=0恒过定点 ( A.(-3,-1) B.(-2,-1) :10.已知直线1过定点P(0,1),且与直线l1:x C.(-3,1) D.(-2,1) -3y+10=0,l2:2x+y-8=0分别交于 5.(多选)两条直线A1x十B1y十C1=0与A2x A,B两点，若线段AB的中点为P,求直线 十B2y+C2=0的交点坐标就是方程组： 1的方程. A:z+By+C-0, 的实数解，下列说法正 A2x+B2y+C2=0, 确的为 ( A.若方程组无解，则两直线平行 B.若方程组只有一解，则两直线相交 C.若方程组有无数多解，则两直线重合 D.方程解的个数与两直线的位置关系无关 6.若直线2x十3y-k=0和x-ky十12=0的 交点在y轴上，那么的值为 7.三条直线a.x+2y十8=0,4x+3y=10,2x- y=10相交于一点，则实数a的值为 8.已知定点A(0,1),点B在直线x十y十1=0 上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是： 137 班级 姓名 得分 ;6.已知a为实数，直线l1:ax+y+1=0与直线 …0 能力提升练 0 L2:x十y一a=0相交于一点.求证：交点不可 1.已知直线l1:x十2y-6=0,l2:x-y-3=0, 能在第一象限及x轴上. 则1，l2,x轴及y轴围成的四边形的面积为 A.8 B.6 c D.3 2.若三条直线l1:x十y-1=0,l2:k.x-2y十3= 0,l3:x一(k十1)y一5=0可围成三角形，则 ) A.k≠-7 B.k≠-2 C.k≠-1 D.k≠1 3.已知a,3∈R,若直线 sina+sinB y sin a+cos B =1与直线 cosa+sinβ =1的交点在直线y=一x上， cos a+cos B 则sina十cosa十sinB+cosβ= ! 4.已知直线5.x十4y=2a+1与直线2x+3y=a 的交点位于第四象限，则a的取值范围是！ 5.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线 CM所在直线方程为2x一y-5=0,AC边上 的高线BH所在的直线方程为x-2y-5 =0. (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程. 138