2.3.1 两条直线的交点坐标同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习按“基础巩固-更上层楼-探究发现”分层，题量10:3:1，梯度从单一知识点应用到综合问题解决，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|交点坐标、平行垂直条件|选择填空为主，直接应用概念，如交点代入求参数| |更上层楼|综合应用、含参问题|多选题（不能围成三角形）、证明过定点，培养分类讨论| |探究发现|几何情境应用|三角形中线求直线方程，体现数学建模与应用意识|

2.3.1　两条直线的交点坐标课时作业(二十) 1．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12　　　　　　　　　 B．10 C．－8 D．－6 答案　B 2．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－1 答案　D 3．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．10 答案　A 解析　由2m－20＝0，得m＝10. 由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上， 得10＋4p－2＝0. ∴p＝－2. 又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上， 则解得n＝－12. 4．已知直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x＋ny＋5＝0，l3：mx＋3y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．10 C．－2 D．2 答案　C 解析　因为l1∥l2且l1⊥l3，所以n－4＝0，且m＋6＝0， 解得n＝4，m＝－6，所以m＋n＝－6＋4＝－2.故选C. 5．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0 答案　C 6．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 答案　A 解析　由l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0，可得交点坐标为(1，3)，代入直线l1：ax＋2y＋6＝0，可得a＋6＋6＝0，所以a＝－12. 7．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 8．已知A(0，1)，点B在x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为________． 答案　 解析　设B(x，y)，当AB垂直于x＋y＝0时线段最短，易知此时x≠0， ∴∴ 9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程． 解析　由方程组 解得 所以交点坐标为. 又因为直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋＝－×， 即27x＋54y＋37＝0. 10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求a的值； (2)当l1⊥l2时，求a的值． 解析　(1)方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， l1∥l2⇔解得a＝－1. 综上可知，a＝－1. 方法二：由已知得a(a－1)－1×2＝0，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2. 检验：当a＝－1时，l1∥l2；当a＝2时，l1与l2重合，∴a＝－1. (2)方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直； 当a≠1且a≠0时， l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， 由－·＝－1⇒a＝. 方法二：由已知得a＋2(a－1)＝0⇒a＝. 11．【多选题】已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能围成三角形，则实数m的取值可能为(　　) A. B．－ C．－ D．－ 答案　ABD 解析　∵三条直线不能围成三角形，∴l1∥l3或l2∥l3或l1，l2，l3交于一点．①当l1∥l3时，m＝；②当l2∥l3时，m＝－；③当l1，l2，l3交于一点时，由得所以交点坐标为，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故选ABD. 12．已知直线l1：xsin α＋y－1＝0，直线l2：x－3ycos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α＝(　　) A. B．± C．－ D. 答案　D 解析　因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝.故选D. 13．已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． 证明　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0. 因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为，　 即直线恒过第一象限内的点， 所以无论a为何值，直线总经过第一象限． 14．已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解析　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得 解得 即B(6，4)． 同理可求得C点的坐标为(5，0)． 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1　两条直线的交点坐标课时作业(二十) 1．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12　　　　　　　　　 B．10 C．－8 D．－6 2．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－1 3．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．10 4．已知直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x＋ny＋5＝0，l3：mx＋3y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．10 C．－2 D．2 5．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0 6．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 7．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A. B. C. D. 8．已知A(0，1)，点B在x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为________． 9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程． 10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求a的值； (2)当l1⊥l2时，求a的值． 11．【多选题】已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能围成三角形，则实数m的取值可能为(　　) A. B．－ C．－ D．－ 12．已知直线l1：xsin α＋y－1＝0，直线l2：x－3ycos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α＝(　　) A. B．± C．－ D. 13．已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． 14．已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $