课时分层检测(16) 点到直线的距离公式两条平行直线间的距离-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（十六）点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 !7.已知点P在直线3x十y-5=0上，且点P到 40 基础达标练0 直线x一y一1=0的距离为√2，则点P的坐 1.点(2,5)到直线y=2x的距离为 标为 A.⑤ B.25 8.点A(1,1)到直线xcos0+ysin0-2=0的距 5 C.35 D.√5 5 离的最大值是 2.(多选)直线1过点B(3,3),若A(1,2)到直 :9.已知点B(1,4),C(6,2),点A在直线x-3y 线1的距离为2，则直线1的方程可以为 +3=0上，并且使△ABC的面积等于21，求 ( 点A的坐标. A.3.x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0 C.x=3 D.y=3 3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0 互相平行，则它们之间的距离是 A.4 B.2I3 13 C.53 D.213 26 26 4.到直线3.x一4y一1=0的距离为2的点的轨 迹方程是 A.3.x-4y-11=0 B.3x-4y+9=0 C.3x-4y+11=0或3.x-4y-9=0 D.3.x-4y-11=0或3x-4y+9=0 5.已知点P(1+t,1+3t)到直线1：y=2x-1 的距离为则点P的坐标为 A.(0,-2) B.(2,4) C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1) 6.若点(2，k)到直线5.x-12y+6=0的距离是 4,则k的值是 141 班级 姓名 得分 10.已知直线1过点A(0,1),l2过点B(5,0),3.已知x+y-3=0,则√(x-2)2+(y十1)2的 如果11∥12，且l1与12的距离为5，求11，l2 最小值为 的方程。 4.已知入射光线在直线11：2x一y=3上，经过 x轴反射到直线12上，再经过y轴反射到直 线13上.若点P是直线l1上某一点，则点P 到直线3的距离为 A.6 B.3 C. n治 5.己知直线l:x一2y十8=0和两点A(2,0),B (-2,-4) (1)在直线L上求一点P,使|PA|+|PB 最小； (2)在直线L上求一点P,使|PB|-|PAI 最大 0 能力提升练0… 1.(多选)已知在△ABC中，A(3,2),B(一1， 5),点C在直线3.x-y+3=0上.若△ABC 的面积为10，则点C的坐标可以为( A.(-1,0) B(38) C.(1,6) D(-3-2) 2.（多选)两条平行直线11，l2分别过点P(-1, 3),Q(2,一1)，它们分别绕P,Q旋转，但始 终保持平行，则11,12之间的距离可能取 值为 A.1 B.3 C.5 D.7 142(日)显然一0，故交 :线段AB的中点到原点的距离为。 故PA2十PB2的最小值为5，此时 点不可能在x轴上. 令20，期1-40甲a>1,6当 √(a-）+(- 平，解得4证明如因以B花 坐标原点，直线AC @>1时，0，故交点不可能在第8解当直线1的斜率存在时，设直线1的 为x轴，建立平面直 角坐标系， 象限。 方程为y十1=k(x一1)， 设△ABD和△BCEA 7十k 龄上将运，文点（告）不可能 解方程组2xy一6=0，得 k+2 的边长分别为a,c,则A(一a,0),C(c,0), 1y=kx一k-1, 4k-2 在第一象限及工轴上， k十21 (号(÷) 课时分层检测（十五） 基础达标练 即() 则E√【分-(-a小+（号。-） 1.D[AC=4E,CB-2区，故AC CB =2.] 由B√+（号+可 =Wa+ae十c2, CD 2.BCD[√2+2x+5=√(x+1)2+4 =5,解得k= 3 -√(--+(a- 4 =√/(.x+1)+(0±2)2 ∴.直线1的方程为y十1= 3 -a2+ac+c -(x一1)，即1 所以AE=CD. =/(x+1)2+(-1-1)2, 可看作点(x,0)与点（一1，一2）的距离，可 3.x+4y十1=0. 5.解1)由{二2y十1=0得顶点A(-1, 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为！ y=0, 看作点(x,0)与点（一1,2）的距离，可看作！ 点(x,一1)与点（一1,1）的距离，故远项A· x=1,此时，与1的交点为(1,4)，也满足 0) 题意， 2-0 不正确. 则直线AB的斜率kAs1二（一=1， 3.C「由中点坐标公式可得，BC边的中点 综上所述，直线【的方程为3.x十4y十1=0 因为AB⊥AC,所以直线AC的斜率为 或x=1. D(号，6). :能力提升练 所以AC所在直线的方程为y=一x一1. 由两点间的距离公式得 :1.B[fx)=W(x+5)+4+√(x+3+9= 因为BC边上的高AM所在直线的方程为 AD-4-受P+1-6-5y5] W[x-(-5)]2+(0-2)2+ x-2y+1=0, 所以直线BC的斜率为一2， √x-(一3)]十(0-3)2表示平面上1 4.5√10[B(-3,5)关于x轴的对称点为 所以BC所在直线的方程为y=一2x十4. M(x,0)到点A(-5,2)与B(一3,3)的距 B'(一3，一5)，AB交x轴于P点，所以1 离之和的最小值（如图） PA+PB=AB (2)迪{-2，得顶点C的坐标为 即MA十MB的最小 (5,-6). =√(2+3)2+(10+5)产-5√10， 值.又点A关于x轴的 对称点A'(-5,一2)， 则AB=√(-1-1)+(0-2)2-22， 即光线从B到A经过的路程为510.] A AC=√/(-1-5)2十[0-(-6)]2=6√2， 5.z[点A(5,2a-1),B(a十1，a-4),由 A'B|=29,∴.MA +MB=|MA'+|MB≥A'B|= 因为AB⊥AC,所以△ABC的面积为 两点间距离公式得到|AB|= √29.故选B.] AB·AC=号×2EX6E-12, √(4一a)+(a+3)=√2a-2a+25,2.A[设C(m,n),由重心坐标公式得 课时分层检测（十六） 根据二次函数的性质得到最小值在对称 轴处取得，又对称轴为a=立，故实数a的 △AC的重心为（专，”告） 基础达标练 1.A[直线y=2x可化为2x一y=0,由点 代入欧拉线方程，得m2-时4+2=0， 到直线的距离公式得2X2二5 1 值是] 3 3 /22+(-1)√5 6.5[由于△ABM的面积等于△ABC面积 整理，得m-1十4=0.① 的子，故BM=子BC, AB的中点为1,2).ke=着号=-2， y AB的垂直平分线的方程为y一22.AC[当直线1的斜率不存在时，直线1 的方程为工=3满足条件 6 直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y 日求A 即x-2y十3=0. -3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0. 由{二2y30·解得{x二，1， 由题意可得6一2牛3二3=2，解得k 1x-y+2=0, y=1. /k2+1 -10-86-202468x .△ABC的外心为(-1,1). 2 -子，所以直线1的方程为3x+4y-21= 则(m十1)2+(1-1)2=32+12=10. C 整理，得n2十n2十2n一2n=8.② 0 6 上，可得直线l的方程为x=3或3x十 联立①②，得n=一4，n=0或n=0, 4y-21=0.] n=4. 设M(,),由Bi=B武. 当n=0,n=4时，B,C重合，舍去， 3.D,[因为3x十2y-3=0和6.x十my+1=0 互相平行，所以3：2=6：n,所以n=4.直 ∴顶点C的坐标是（一4,0）.故选A] 得(x+2y-40)=(-4，-8)=(-1 线6x十4y十1=0可以转化为3x十2y叶2 13.5 [设P(x,y)(x∈R, -2), () =0,由两条平行直线间的距离公式可得 解得x=-3,v=2,即M(一3,2)， y∈R), 1 所以|AM|=√4+3=5.] 则PA=/(x-1)+(y-1) -(-3) 7 7.解由题易知a≠0，直线ax十2y一1=' W/32+22 源 |PB=/(x-2)2+(y+2)2 0中， 4,D[依题意知，所求，点的轨迹为直线，且 ∴.PA2+PB2=(x-1)2+(y-1)2+1 ◆y-0有=则A(合0令 与已知直线3x一4y-1-0平行，设所求 (x-2)2+(y十2)2-2.x2-6x+2y2+2y 直线方程为3.x一4y十C=0(C≠一1)，根 0,有=合，则0，受）截B的中点 +10=(-2)+()+5 据两条平行直线间的距离公式，得 C+1=C牛1=2，则C=-11或C 当x=号y--号时，PA+PB月 √/3+4 5 为（云）小 =9,故所求点的轨迹方程为3x一4y一11 的值最小 '; =0或3x一4v十9=0.故远D.] 229 5,C[直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=!3.√2[设P(x,y,A(2,-1),则点P在直！8,2x-3y十1=0[由题意反射光线过圆心 0,依题意得21+)-1+30-1= 线x十y-3=0上，且√(x-2)2+(y+1)2 (1,1),又点（一2,1）与圆心连线与x轴平 /2+(-1)9 =PA,PA的最小值为点A(2,一1)到1 行，所以入射光线与x轴的交点的横坐标 号，整理得=1，所以1或一1.当 直线x十v一3=0的距离d= 为二2+1 2+(-1)-3=2.] 2 乞，即入射光线与工轴交点 1时，点P的坐标为(2,4)：当t=一1时， √/12+12 点P的坐标为(0，一2)，故选C.] 14.C [如图所示，结合 为( 6.-3或号[：5X2驰6 =4, 图形可知，直线l1∥ √52+12 1,则直线L上一点P 所以反射光钱所在的直线方程为号 16-12=52,6=-3或k=号】 到直线3的距离即为 x-1,即2x-3y+1=0.] 11与13之间的距离， 7.(1,2)或(2，-1)[设点P的坐标为(a,51 123花 -1 由题意知l1与2关 3-2- -3a),由题意得a-5-3a）-1=2, 于x轴对称，故2的 2 !9.解(1)由题意设圆心为C(a,a),半径 √/12十(-1)2 方程为y=一2x十3， 为r, 解得a=1或a=2,所以，点P的坐标为(1,1 l2与1关于y轴对称，故1的方程为y= 则圆的标准方程为(.x一a)十（y一a) 2)或(2，一1). 2x十3.由两平行线间的距离公式，得11与 = 8.2十√2「依题意得，点(1,1)到直线的 距离 、1间的距离d=3一《一3）=65，即点{ 由题意得 (3-a)+1-a=解 /1+2 {(5-a)2+(3-a)2=2, d=cos 0+sin 0-2 =cos 0++sin 0-2 Vcos20-sin20 P到直线1，的距离为65.故选C] 得4-3， {r-2, (+)-2 5.解(1)设A关于直线1的对称点为！ 所以圆C的标准方程为(x一3)2十(y 1一0 3)2=4. n-2 -2, 当m(+)-1时，d- A'(m,n),则 (2)由(1)知PC=√/(3-2)2+(3-4) m2-2.n0+8=0, =√2r,所以点P(2,4)在圆C内. 2. 2 9.解由点A在直线x一3y十3=0上 解得{m。2故A'(-2,8)。 !10.解(1)当AB为直径时，过，点A,B的圆 的半径最小，从而周长最小，即AB中点 则可设点A(3y-3,y). n=8, 直线BC由两点式可得后号- 因为P为直线I上的一，点，则PA十PB =PA'+PB≥AB, 0,1D为圆心，半径r=号AB-V而 即2.x+5y-22=0, 当且仅当B,P,A三，点共线时，PA+PB 则圆的方程为x2+(y一1)2=10. BC=/(6-1)2+(2-4)2=√29. 取得最小值，为AB,点P即是直线A'B! (2)AB的斜率为k=一3，则AB的垂直 则点A到BC的距离为d 与直线1的交点， 2×(3y-3)+5y-22|11y-28 {2y十8=0，得{3,2故所求的 则x2, 平分线的方程是y-1=了，即x一3y叶 y=3, /22+5 V29 点P的坐标为（一2,3）. 3=0.由{-3yv十8=0得二3：即圆 12x-y-4=0, y=2, 六三角形西积S=号BCd=合XV丽 (2)A,B两点在直线1的同侧，P是直线1} 心坐标是C(3,2), 上的一，点，则|PB一PAAB, ×11y-28 _70或y= =21,∴y=1i 1 当且仅当A,B,P三点共线时，PB r-AC=√(3-1)2+(2+2)产-25. √29 11 PA取得最大值为AB, ∴.圆的方程是(x-3)2十(y一2)2=20. 点P即是直线AB与直线l的交，点， 能力提升练 ∴，点A的坐标为 )(-票， 75 又直线AB的方程为y=x一2， 1.BCD[对于A远项， 14 则y-x-2, 如图所示，存在偶函数 11· 所叶8=0，得{12， y=10, 可以将圆O的周长和 故所求的点P的坐标为(12,10) 面积同时等分成两个 10.解①若直线L,L,的斜率存在，设直线 课时分层检测（十七） 部分，故A错误；对于 11,l,的斜率均为k,测11的斜裁式方程为 :基础达标练 B选项，两曲线的对称 y=kx十1，即kx-y十1=0，l2的点斜式方 程为y=k(x一5)，即kx一y一5k=0, 1,C[由圆的标准方程(x一1)2十(y十3)21 中心均为点(0,1)，且 因为直线11过，点A(0,1),所以，点A到直 =1,得圆心坐标为(1，一√).] f(x)=sinx十1能把圆O的周长和面积 2.D[将O(一3,4)，r=5代入圆的标准方 同时等分成两个部分，故B正确：对于C 线l2的距离d= -1-5k =5, 程可得.] 所以256+10k+1=25k+25,解得6：3D.7用3=4的圆心为，点（0. √/k2+(-1)2 选项，因为f(-x)-e-1=1-e e+1 e2+1 3),又因为直线1与直线x十y十1=0垂 一f(x),所以函数f(x)为奇函数，函数图 、12 直，所以直线【的斜率k=1.由，点斜式，得 象的对称中心为原点，故存在圆x2十y2= 直线l的方程为y一3=x一0，化简得x一y 所以l1的方程为12x-5y十5=0，l2的： +3=0. 1使得f()=二是圆0的一个太极函 方程为12.x-5v一60=0. e+1 ②若11l2的斜率不存在，则11的方程为： 4,ACD[由圆M:(x-4)+(y+3)2=5 数，故C正确；对于D选项，直线(n十1)x x=0,l的方程为x=5,它们之间的距离 故圆心为(4，一3)，半径为5，则A、C正 -(2m十1)y-1=0可变形为m(x一2y) 确：令x=0,得y=0或y=一6，弦长为6,1 为5，满足条件， 故D正确.故远A、C、D.门 +(x-y-1)=0,令{二2y0。解得 综上所述，满足条件的直线方程有两组：5.A[由(2m十1)x十(m十1)y十2m=0,得 x-y-1=0, 41:12.x-5y+5=0,l2:12.x-5y-60-0 (2x+y十2)m+(x十y)=0,由 或11：x=0,l2:x=5. x=2所以直线恒过圆0的圈心(2,1)， 2x十y十2=0，得工二。2，即直线过定 y=1, 能力提升练 xy=0, y=2, 所以直线可以平分圆O的周长与面积，故 1,AB[由AB=5,△ABC的面积为10，： 点(-2,2)，则所求圆的方程为(x十2)2+ D正确， 得，点C到直线AB的距离为4，设C(x,3x: (y-2)2=16.故选A.] 2.C[如图，设点Q与 十3)，利用点到直线的距离公式可求得6，x2+(y-1)=1[因为圆心与点(1,0)； 点O关于直线x十y x=一1或x= 5.故点C坐标为(-1,0) 关于直线y=x对称，所以圆心坐标为(0， 一4=0对称， 1),所以圆的标准方程为x2十(y-1)2 连接AQ,则AQ一1 或（号8 =1. 即为将军行走的最短 17.(x一1)2+y2-18[圆C的半径R=6,1 路程，设Q(x,y), 2.ABC[当两直线L,l。与直线PQ垂直时， 两平行直线4，l2间的最大距离为PQ= 设所求圆的半径为则张=合“r2- √(-1-2)2+[3-(-1)了=5，所以141， 18,又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为1 义=1， 1,之间距离的取值范围是(0,5].] (x-1)2+y2=18.] ( 230