25.2.2 公式法（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

25.2.2 第1课时 一元二 A分点训练 。夯实基础 知识点一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程x2一5x+2=0的根的判别式 的值是 A.33 B.23 C.17 D.√17 2.（河南中考)一元二次方程x2一2x=0的根 的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.(上海中考)若一元二次方程2x2十x十m=0 没有实数根，则m的取值范围是 4.（教材P17习题T4变式)利用判别式判断下 列一元二次方程的根的情况： (1)x2-3√2x+4=0; (2)5x2+5x=4x2-10; (3)x-9=x(x十7). 公式法 方程的根的判别式 B综合运用 0提升能力 5.(内江中考)若关于x的一元二次方程(a一 1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值 范围是 ( A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 【变式题】弱化条件：一元二次方程有实数 根→>方程有实数根 (易错题)若关于x的方程x2一4x十4=0 有实数根，则k的取值范围是 () A.k<1且k≠0 B.k<1 C.k≤1且k≠0D.k≤1 6.函数y=x+b的图象如图所示， 则关于x的一元二次方程x2十 bx十k一1=0的根的情况是 y=kx+b 7.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+ (2a+1)x+2=0. (1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (2)若此方程的根的判别式的值为9，求a 的值. 第二十五章一元二次方程7 第2课时 用公式 A分点训练 0夯实基础 知识点①一元二次方程的求根公式 1.用公式法解一元二次方程4x2十x=7时，首 先要确定a,b,c的值，则下列说法正确的是 A.a=4,b=-1,c=7 B.a=4,b=1,c=-7 C.a=4,b=-1,c=-7 D.a=4,b=1,c=7 2.已知关于x的一元二次方程x2+bx十c=0 满足b2一4c>0,则方程的根是 Ax-生你-EB.x=-生B-4E 2 Cx-1生g-4cD.x--1±v=g 2 2 3.若x=2生4X3X-D是某个一元二次方 2×3 程的根，则这个一元二次方程可以是() A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0 知识点2用公式法解一元二次方程 4.新趋势知识生成)用公式法解方程：2x2一 3x-2=0. 解：.a=2,b= .∴.△=b2-4ac=( )2一4X >0. .方程有两个 的实数根. ∴.x=-b士V6-4ac 2a 即x1= ,2= 数学九年级上册人教版 法解一元二次方程 5.用公式法解下列方程： (1)2x2+7x=0; (2)3x2-5x+1=0; (3)9x2+2=-7x; (4)x2-2√2x+2=0. B综合运用 。提升能力 6.一元二次方程x2一2x一c=0能用公式法求 解的前提是 ( A.c=1 B.c≥1 C.c≥-1 D.c≤-1 7.已知a是一元二次方程2x2-2x-1=0的 较大的实数根，那么a的值应在（) A.3和4之间 B.2和3之间 C.1和2之间 D.0和1之间 8.直观想象数形结合)（易错题）如图，点A在数轴 的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，且点A 对应的数是2x一1，点B对应的数是x2十x.已 知AB=5,则x的值是 0 B 9.用公式法解下列方程： (1)x(x-2)-3x2=-1; (2)(x-1)(1+2x)=2. C创新拓展 ⊙发展素养 10.直观想象数形结合)古希腊数学家丢番图在 《算术》中就提到了一元二次方程的问题， 不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根 公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里 得的《几何原本》中，形如x2十a.x=b2(a> 0,b>0)的方程的图解法如下： 如图，以号和b为两直角边长作Rt△ABC, 再在斜边上截取BD=号，则AD的长就是 所求方程的解 (1)求AD的长；（用含字母a,b的代数式表示） (2)请利用公式法说明该图解法的正确性， 并说说这种解法的遗憾之处. 第二十五章一元二次方程 9参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.A2.x2+6x-2=016-23.a≠3【变式题】-24.B5.36.07.A 8.C9.A10.22 11.解：(1)设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(14一x)cm.根据题 意，得号x(14-x)=24.化成一般形式为2-14红十48=0.(2)设这个群里有x名好 友.根据题意，得x(x一1)=132.化成一般形式为x2一x-132=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.x1=1,x2=一12.D【变式题】C 3.解：(1)整理，得x2=8.根据平方根的意义，得x=士2√2，即1=2√2，x2=一2√2. (2)整理，得r=号根据平方根的意义，得x=土号，即4=号=一号.(3)整理， 得x2=100.根据平方根的意义，得x=士10，即x1=10,x2=一10. 4.D5.D 6.解：(1)整理，得x2=1.根据平方根的意义，得x=士1，即x1=1,x2=一1.(2)根据平 方根的意义，得2x十1=士5，即2x+1=5,或2x十1=-5，解得x1=2,x2=-3.(3)整 理，得(x十1)2=4.根据平方根的意义，得x+1=士2，即x十1=2，或x+1=一2，解得 x1=1,x2=-3. 7.C8.89.一3305【变式题】x1=2,x2=-2 10.解：(1)整理，得(x一3)2=7.根据平方根的意义，得x一3=士√7，即x一3=√7，或x -3=-√7，解得x=3十√7，x2=3-√7.(2)根据平方根的意义，得2x十3=3x十2，或 2x十3=-3x-2,解得x1=1,x2=-1. 11.解：把x=2代入方程(x十1)2=k2+3,得(2十1)2=k2+3,k2=6,解得k=士√6. .原方程是(x十1)2=9，解得x1=一4，x2=2..方程的另一个根是x=一4. 12.解：(1)52-2-8(2)原方程变为[(x-1)-4][(x-1)+4]=6,∴.(x-1)2 一4=6..(x一1)2=22.根据平方根的意义，得x一1=士√22，解得x1=1十√22，x2 =1-√22. 第2课时用配方法解一元二次方程 1.A2.(111(2)3号3.A4.B 5.解：(1)移项，得x2-2x=2.配方，得x2-2x十12=2+12，即(x一1)2=3.由此可得x -1=±5，解得=1+，=1-.(2)配方，得x+7z+(经)'=-是+ (仔)》广，即(+子)”=9.由此可得x计子=士3，解得=一分a=一号 6.C 7.解：(1)移项、二次项系数化为1，得x2-4x=6.配方，得x2-4x十22=6十22，即(x 2)2=10.由此可得x-2=±√0，解得1=2十√0，x2=2-√0.(2)移项、二次项 系数化为1，得2-2x=号，配方，得x2-2x+1=号+1，即（红-1）=了，由此可得 x-1=士四，解得=1+，=1-.(3)移项、二次项系数化为1，得2 号x=多配方，得2-号x+(号)°=是+（号），即(x-号)°-8由此可得x 号=土台，解得五=1=一是 8.D9.A10.x1=206,x2=-204 11.解：(1)移项，得x2十2√2x=-1.配方，得(x十√2)2=1.由此可得x十√2=士1，解得 x1=-√2+1，x2=-√2-1.(2)整理，得3x2+2x=-1.二次项系数化为1，得x2十 号=一子配方，得（十3）广=一合”-号<0原方程无实数根 12.解：1)=54=号(22(3)二次项系数化为1，得-9x=-1.配方， 得(x一)}'-尝开平方，得x一号=士号=5=言经检酸南=5 5 号都是原方程的解。(1)中猜想结论正确. 专题特训配方法的常见运用 1.C 2.解：(1)11(2)3-x2+2x=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.,(x-1)2≥0，.-(x -1)2≤0..-(x-1)2+4≤4..3-x2十2x的最大值为4. 3.解：5x2-6x十4-(x2-2x+2)=4x2-4x+2=(2x-1)2+1.(2x-1)2≥0，∴.(2x -1)2+1>0..5x2-6.x+4>x2-2x+2. 4.解：(1)x2-4x+y2+2y+5=0,∴.(x-2)2+(y+1)2=0..x-2=0,y+1=0,解 得x=2,y=-1.(2)a2+b2=12a+8b-52,∴.(a-6)2+(b-4)2=0.a-6=0,b- 4=0,解得a=6,b=4..△ABC是等腰三角形，∴.c=4或6. 5.解：原式=x2-4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x- y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.C2.A3.m>8 4.解：(1)a=1,b=-3V2,c=4,.△=b-4ac=(-3W2)2-4×1X4=2>0.∴.方程 有两个不相等的实数根.(2)方程化为x2+5x十10=0.：a=1,b=5,c=10,∴△=b 4ac=52-4X1×10=-15<0..方程没有实数根.(3)方程化为x2+6x十9=0.a= 1,b=6,c=9,∴.△=b2一4ac=62一4×1×9=0.，∴.方程有两个相等的实数根. 5.C【变式题】D6.有两个不相等的实数根 7.(1)证明：由题意，得△=(2a+1)2-4×2(a-1)=4a2+4a+1-8a+8=(2a-1)2+ 8.,(2a-1)2≥0，∴.△=(2a一1)2十8>0..此方程一定有两个不相等的实数根. (2)解：由题意，得△=(2a-1)2十8=9，.(2a-1)2=1,解得a1=0,a2=1.,该方程为 一元二次方程，.a-1≠0，即a≠1.a=0. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.B2.B3.D 4-8-2-32(一2》25不相等二别洁医？名 2X2 5.解：(1)·a=2,b=7,c=0,.△=b2-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个不相 等的实数根六一止匹-装-7，即A-0,=一子.（②=3， 2a 2×2 b=-5,c=1,.△=62-4ac=(-5)-4×3×1=13>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.工=b吐4@c=二（一》生压-5±压，即=5+，，= 2a 2×3 6 2 5-压.(3)方程化为9x2+7x+2=0.”a=9,b=7,c=2,△=-4ac=72-4X9 6 ×2=-23<0.∴.原方程无实数根.(4)a=1,b=一2√2，c=2,.△=b2-4ac= （一2②-4X1X2=0六方程有两个相等的实数根，小通==一名--区 6.c7.c8.12 9.解：(1)方程化为2x2+2x-1=0.a=2,b=2,c=-1,∴.△=b2-4ac=22-4×2× （一1)=12>0.∴方程有两个不相等的实数根.x=二b士Y-4ac=一2±区 2a 2×2 -2±23，即=-1+3，x4=-125.(2)方程化为2x-x-3=0.:a=2,6= 4 2 2 -1,c=-3,∴.△=6-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0.∴.方程有两个不相等的实 数根-生公@c-二《一议装压1与，即-是=-1 2a 2X2 10第：(1)：∠ACB=90,BC=号，AC=6,AB=VBC+AC=√+8= Y@亚.：BD=号，∴AD=AB-BD=Y中-2.(2)方程可化为x十aE-公 2 2 =0,小4=a2-4×1X(-8)=a2+4h>0.x=二a±a+4 2 ,即x= -a+√a+46 ,4=二a一@+4近：AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不 2 2 能表示方程的负根， 25.2.3因式分解法 1.D【变式题】C2.A 3.解：(1)左边因式分解，得x(x十4)=0..x=0,或x十4=0.∴.x1=0,x2=-4.(2)移 项，得x(x-7)+8(x-7)=0.左边因式分解，得(x-7)(x十8)=0..x-7=0,或x十8 =0..x1=7,x2=-8.(3)左边因式分解，得(x-1+2)(x-1-2)=0,即(x十1)(x- 3)=0.∴.x+1=0,或x-3=0..x1=-1,x2=3. 4.A 5.解：(1)移项，得2x2=8.二次项系数化为1，得x2=4.x1=2,2=-2.(2)配方，得 y2-2y+12=80+12,即(y-1)2=81.y-1=±9.y1=10,y=-8.(3)a=1,b =-5,c=2,△=b2-4ac=(一5)2-4×1×2=17>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.“r=生你4@c-二（一，生应=5±)厘，即=5+y,= 2×1 2 2 5二应.(4)移项，得(x十5)一2(x十5)=0.左边因式分解，得(x+5)(z十5-2)=0. ∴.x十5=0，或x+3=0..x1=-5,x2=-3. 6.B7.18.12 9.解：1)-（2)a=子=1(3)①整理，得(x+1D(x-1D-4(x-1D=0.左边因 式分解，得(x-1)(x十1一4)=0..x-1=0,或x-3=0,解得x1=1,x2=3.②整理， 得3(x-5)2+(x+5)(x-5)=0.左边因式分解，得(x-5)(3x一15十x十5)=0.∴.x一 5=0,或4x-10=0,解得=5，=号 10.解：(1)①②(2)解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，m一1 =0,解得m=1;当相同的根是x=2时，4十2+m-1=0,解得m=-5.综上所述，m的 值是1或-5.(3)，关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)同时满足a一b+c= 0和9a十3b十c=0,∴该方程的两个根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的 3