精品解析：山西省长治市沁县部分学校 2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. μ子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．数据“秒”用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 3. 如图，在中，对角线相交于点，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是菱形 4. 为丰富校园文化生活，某校举办“青春逐梦，不负韶华”主题演讲比赛．评委从内容立意、临场发挥、语言表达三个方面（满分均为100分）为选手打分，并依次按的占比计算最终成绩．若小秦三个方面的得分分别为内容立意85分、临场发挥90分、语言表达92分，则她的最终成绩为（ ） A. 90分 B. 90.5分 C. 91分 D. 92分 5. 若，，三点在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某校5个班级在募捐活动中的捐书数量（单位：本）为：30，60，60，80，80．若捐书最少的班级又多捐了30本，分析这5个班的捐书数据，不受影响的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在上，且，连结，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 在一场女排决赛中，工作人员对甲、乙两队参赛队员的拦网高度（单位：cm）进行统计，并绘制出如图所示的箱线图．根据箱线图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 甲队队员拦网高度的整体水平更高 B. 乙队队员拦网高度的平均数更大 C. 乙队队员拦网高度的方差更小 D. 甲队队员拦网高度的中位数更小 9. 小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）． A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 5m 10. 如图，在正方形中，，分别是边上的点，连结，，，且，点是的中点，连结．若，则的长为（ ）． A. B. 3 C. D. 2 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 某小组8名同学每周的课外阅读时长（单位：h）如下：12，9，10，11，6，7，8，9，则这组数据的上四分位数为________h． 13. 我国古代数学著作《九章算术》“均输”一章中记载了“工匠织布”问题：今有二匠织素，甲织一百尺之时，乙织八十尺．甲每日比乙多织五尺，问乙日织几何？其大意：两名工匠织布，甲织100尺布的时间与乙织80尺布的时间相等，甲每天比乙多织5尺．问乙每天织布多少尺？设乙每天织布x尺，则可列方程为________． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 15. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，连接，，，，交于点G，且．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成作答 （1）计算：． （2）小王同学化简的过程如下，请认真阅读并完成相应的任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 任务： ①上述化简过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________． ②请你写出正确的化简过程． 17. 如图，在中，是对角线上的两点，且求证:四边形是平行四边形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 19. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，主题为“统筹发展和安全，护航‘十五五’新征程”．为了增强学生的国家安全意识，某校组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现从七、八两个年级的参赛学生中各随机抽取10名学生，对他们的竞赛成绩（单位：分，满分为100分，成绩均为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为4组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：67，86，75，91，79，69，78，85，75，95． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据：84，82，80，80． 【分析数据】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 80 78.5 b 75.2 八年级 80 a 80 65.2 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的国家安全法知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）． （3）按照比赛规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，请估计这两个年级参加竞赛的学生中成绩达到优秀的学生共有多少名． 20. 如图，在矩形中，，，过对角线的中点作的垂线，分别交于点，交于点，连结，． （1）求证：四边形是菱形． （2）求的长． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 等角四边形 【概念理解】只有一组对角相等的四边形叫作等角四边形．例如，如图1，在四边形中，，，所以四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【问题解决】如图2，在四边形中，，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，求证：四边形是等角四边形． 证明：平分，平分， ，． …… 任务： （1）若四边形是等角四边形，，，则_____________°． （2）将【问题解决】的证明过程补充完整． （3）如图3，在中，，，请在右侧找一点D，连接，，使四边形是等角四边形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． 22. 随着人工智能科技的飞速发展，各类服务型机器人逐步走进商用场景．某科技公司成功研发出甲、乙两款人形商用服务机器人，经调研发现每台甲型机器人的制造成本比每台乙型机器人的制造成本高1万元，用120万元生产甲型机器人的数量是用70万元生产乙型机器人数量的1.5倍． （1）分别求每台甲型机器人和乙型机器人的制造成本． （2）该科技公司计划生产甲、乙两款机器人共30台，且甲型机器人的数量不少于乙型机器人数量的一半．设生产甲型机器人m台，生产这批机器人的总费用为w万元． ①求w与m之间的函数关系式． ②m为何值时，生产这批机器人的总费用最低？最低总费用是多少？ 23. 综合与探究 【问题背景】将正方形纸片对折后展平，折痕为，在边上取一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【问题解决】 （1）如图，若点恰好落在上，连接，试判断的形状，并说明理由． （2）延长交于点，连接．如图，若，，求的长． 【拓展延伸】 （3）当，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义时分母不为，据此列不等式求解即可得到正确结果． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 2. μ子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．数据“秒”用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于的数，形式为，其中，为正整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 3. 如图，在中，对角线相交于点，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是菱形 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：若，说明平行四边形有一个内角是直角，根据判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形．故A错误． 选项B：若，说明平行四边形对角线互相垂直，根据判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形．故B错误． 选项C：若，说明平行四边形对角线相等，根据判定：对角线相等的平行四边形是矩形．故C正确． 选项D：若，只是一组邻边与一条对角线相等，不满足菱形“一组邻边相等”或“对角线垂直”的判定条件，无法推出是菱形．故D错误． 4. 为丰富校园文化生活，某校举办“青春逐梦，不负韶华”主题演讲比赛．评委从内容立意、临场发挥、语言表达三个方面（满分均为100分）为选手打分，并依次按的占比计算最终成绩．若小秦三个方面的得分分别为内容立意85分、临场发挥90分、语言表达92分，则她的最终成绩为（ ） A. 90分 B. 90.5分 C. 91分 D. 92分 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的三项得分和权重比，代入加权平均数公式计算即可得到最终成绩． 【详解】解：∵最终成绩按照的占比计算， ∴总权重为， ∴最终成绩为（分）， ∴小秦的最终成绩为90分． 5. 若，，三点在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再将点代入，求出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， 解得． 6. 某校5个班级在募捐活动中的捐书数量（单位：本）为：30，60，60，80，80．若捐书最少的班级又多捐了30本，分析这5个班的捐书数据，不受影响的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，掌握相关知识是解题的关键；根据捐款最少的员工又多捐了 30 元，则从小到大的顺序改变，众数不变，据此即可求解． 【详解】解：捐款最少的班级又多捐了 30 元，数据为：， A、众数由60，80，变成了60，故选项不符合题意； B、平均数增加了元，故选项不符合题意； C、中位数不变，还是60 元，故选项符合题意； D、方差发生了改变，故选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在上，且，连结，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形性质求出对角线长度，再取中点构造三角形中位线，利用中位线定理求出长度．菱形对角线互相垂直平分，结合已知算出总长，再取中点，利用中位线平行且等于的一半求解． 【详解】解：由，得． 四边形是菱形， 对角线互相垂直平分：，，． 在中，由勾股定理：， 已知，， 是线段的中点． 又是的中点， 是的中位线， ． 8. 在一场女排决赛中，工作人员对甲、乙两队参赛队员的拦网高度（单位：cm）进行统计，并绘制出如图所示的箱线图．根据箱线图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 甲队队员拦网高度的整体水平更高 B. 乙队队员拦网高度的平均数更大 C. 乙队队员拦网高度的方差更小 D. 甲队队员拦网高度的中位数更小 【答案】A 【解析】 【分析】结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答 ． 【详解】解：从图中可以看出， 甲队的中位数，四分位数整体都在乙队上方，大部分数据都高于乙队，整体水平更高，故A符合题意； 箱线图只能直观看出中位数，无法直接确定平均数大小，无法判定，故B不符合题意； 乙队的箱线图上下跨度（极差）明显比甲队长，数据波动更大，方差更大，故C不符合题意； 甲箱体中间横线（中位数）位置高于乙队，甲中位数更大，故D不符合题意． 9. 小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）． A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 5m 【答案】B 【解析】 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 10. 如图，在正方形中，，分别是边上的点，连结，，，且，点是的中点，连结．若，则的长为（ ）． A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由，得是直角三角形，为斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出，再通过勾股定理求解，即可求解． 【详解】解：， ，为直角三角形， 是中点，， ， ， 正方形中，，， 在中： ， ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】观察两个分式分母与互为相反数，先统一分母，再利用同分母分式加减法法则计算，最后约分得到最简结果． 【详解】解：． 12. 某小组8名同学每周的课外阅读时长（单位：h）如下：12，9，10，11，6，7，8，9，则这组数据的上四分位数为________h． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据上四分位数的计算规则确定位置，最后计算得到结果． 【详解】解：将个数据从小到大排序，得：， 第一种方法： 上四分位数为第百分位数，计算位置得 ∵为整数， 因此第百分位数为第项和第项数据的平均数，代入数据得． 第二种方法： 这组数据的中位数是， 即第二四分位数为 第二四分位数9右侧数据为 ∴第三四分位数为 即第百分位数为． 13. 我国古代数学著作《九章算术》“均输”一章中记载了“工匠织布”问题：今有二匠织素，甲织一百尺之时，乙织八十尺．甲每日比乙多织五尺，问乙日织几何？其大意：两名工匠织布，甲织100尺布的时间与乙织80尺布的时间相等，甲每天比乙多织5尺．问乙每天织布多少尺？设乙每天织布x尺，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设乙每天织布尺，先表示出甲每天织布的尺数，再根据甲织100尺布与乙织80尺布的时间相等的等量关系，结合时间等于工作量除以工作效率，即可列出方程． 【详解】解：设乙每天织布尺， 由题意得甲每天织布尺， 则甲织尺布的时间为，乙织尺布的时间为， ∴． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 15. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，连接，，，，交于点G，且．若，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，交于点O，连接，设与的交点是M，H，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可； 【详解】解：连接，交于点O，连接，设与的交点是M，H， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， 解得，（舍去）， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成作答 （1）计算：． （2）小王同学化简的过程如下，请认真阅读并完成相应的任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 任务： ①上述化简过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________． ②请你写出正确的化简过程． 【答案】（1） （2）①三；括号前是“”号，去括号后，括号内的第二项没有变号； ② ． 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）①根据计算过程分析即可得出结果；②根据分式的混合运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①上述化简过程从第三步开始出现错误，错误的原因是括号前是“”号，去括号后，括号内的第二项没有变号； ②略． 17. 如图，在中，是对角线上的两点，且求证:四边形是平行四边形． 【答案】 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先由平行四边形ABCD的性质得再证得进而证得BE=DF，BE∥DF即可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先利用点坐标求解反比例函数解析式，进而求出点坐标，再通过、两点确定一次函数表达式． （2）先求解出直线与轴的交点，设出轴上点的坐标，运用分割法，以为公共底，将拆分为、，结合、两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出的面积，列方程即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，解得， 故反比例函数的表达式为． 点在反比例函数图象上，且纵坐标为， 将代入，解得， 故点的坐标为． 、两点经过一次函数图象，将两点坐标代入， 得到，解得， 故一次函数的表达式为． 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：令一次函数中的，得，则点的坐标为， 设点的坐标为，则线段的长度为， ， ． ， ，即， 解得或， 的坐标为或． 答：的坐标为或． 19. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，主题为“统筹发展和安全，护航‘十五五’新征程”．为了增强学生的国家安全意识，某校组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现从七、八两个年级的参赛学生中各随机抽取10名学生，对他们的竞赛成绩（单位：分，满分为100分，成绩均为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为4组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：67，86，75，91，79，69，78，85，75，95． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据：84，82，80，80． 【分析数据】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 80 78.5 b 75.2 八年级 80 a 80 65.2 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的国家安全法知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）． （3）按照比赛规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，请估计这两个年级参加竞赛的学生中成绩达到优秀的学生共有多少名． 【答案】（1）80；75；20 （2）八年级． 理由如下：答案不唯一，例如，①七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，八年级学生竞赛成绩的中位数80分高于七年级学生竞赛成绩的中位数78.5，所以八年级学生的国家安全法知识竞赛成绩更好． ②七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，八年级学生竞赛成绩的众数80分高于七年级学生竞赛成绩的众数75，所以八年级学生的国家安全法知识竞赛成绩更好． （3）80名 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用分别乘以两个年级参加竞赛的学生中成绩达到优秀的学生所占的比例，再相加即可得出结果． 【小问1详解】 解：八年级10名学生的竞赛成绩在A组的人数为（人）， 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的人数为（人）， 八年级10名学生的竞赛成绩在C组的人数为人， ∵，， ∴八年级10名学生的竞赛成绩的中位数为第个、第个的平均数，即， 八年级10名学生的竞赛成绩在D组的人数为（人）， 故， ∴； 七年级10名学生的竞赛成绩75出现的次数最多，故众数； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（名） 故这两个年级参加竞赛的学生中成绩达到优秀的学生大约共有80名． 20. 如图，在矩形中，，，过对角线的中点作的垂线，分别交于点，交于点，连结，． （1）求证：四边形是菱形． （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点为的中点， ∴． ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用矩形性质证，得到对角线互相平分，判定平行四边形；再结合，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”完成证明． （2）设，利用菱形四边相等得，在中用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 解得， ∴． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 等角四边形 【概念理解】只有一组对角相等的四边形叫作等角四边形．例如，如图1，在四边形中，，，所以四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【问题解决】如图2，在四边形中，，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，求证：四边形是等角四边形． 证明：平分，平分， ，． …… 任务： （1）若四边形是等角四边形，，，则_____________°． （2）将【问题解决】的证明过程补充完整． （3）如图3，在中，，，请在右侧找一点D，连接，，使四边形是等角四边形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． 【答案】（1）100 （2）证明补充如下：， ，． ，． ，即． ， 四边形是等角四边形． （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）由等角四边形的定义可得，再结合四边形内角和为计算即可得出结果； （2）先证明出，再结合，即可得证； （3）作和的平分线，交于点，结合三角形内角和定理得出即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是等角四边形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：作和的平分线，交于点， ∵，， ∴ ∵，， ∴，，,， ∴ ∴，， ∴四边形是等角四边形． 22. 随着人工智能科技的飞速发展，各类服务型机器人逐步走进商用场景．某科技公司成功研发出甲、乙两款人形商用服务机器人，经调研发现每台甲型机器人的制造成本比每台乙型机器人的制造成本高1万元，用120万元生产甲型机器人的数量是用70万元生产乙型机器人数量的1.5倍． （1）分别求每台甲型机器人和乙型机器人的制造成本． （2）该科技公司计划生产甲、乙两款机器人共30台，且甲型机器人的数量不少于乙型机器人数量的一半．设生产甲型机器人m台，生产这批机器人的总费用为w万元． ①求w与m之间的函数关系式． ②m为何值时，生产这批机器人的总费用最低？最低总费用是多少？ 【答案】（1）每台甲型机器人的制造成本为8万元，每台乙型机器人的制造成本为7万元 （2）当时，生产这批机器人的总费用最低，最低总费用是220万元 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人单台成本为未知数，根据“甲型单台成本比乙型高1万元”表示乙型成本；再根据120万生产甲型数量万生产乙型数量列分式方程求解，最后检验分式方程根的有效性． （2）①甲型台，则乙型台；总费用甲型总造价+乙型总造价，代入单台成本化简得到一次函数． ②先根据“甲型数量不少于乙型一半”列不等式，求出取值范围；再根据一次函数中，随增大而增大，因此取最小值时总费用最低． 【小问1详解】 解：设每台甲型机器人的制造成本为x万元，则每台乙型机器人的制造成本为万元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：每台甲型机器人的制造成本为8万元，每台乙型机器人的制造成本为7万元． 【小问2详解】 解：①若生产甲型机器人m台，则生产乙型机器人台． ． ②根据题意，得． 解得． 由①得， ， w随着m的增大而增大． ，且m取整数， m的最小值为10． 当时，w最小，为． 答：当时，生产这批机器人的总费用最低，最低总费用是220万元． 23. 综合与探究 【问题背景】将正方形纸片对折后展平，折痕为，在边上取一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【问题解决】 （1）如图，若点恰好落在上，连接，试判断的形状，并说明理由． （2）延长交于点，连接．如图，若，，求的长． 【拓展延伸】 （3）当，时，请直接写出的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ，， ∵将正方形纸片对折后展平，折痕为， ∴分别为边的中点，， ，， 又， ， ， 由折叠的性质，得， ， 是等边三角形； （2） （3）或 【解析】 【分析】证明，得到，由折叠的性质得，即得到，即可求证； 过点作于点，先证明，得到，即得到，即得，再根据勾股定理可得，，进而根据线段的和差关系即可求解； 分点在线段上和点在线段上，分别画出图形，利用正方形和折叠的性质、勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质，得，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，根据勾股定理，得， ∴， 在中，，，根据勾股定理，得， ∴； 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由知，， ∴， 又由折叠的性质，得， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可得； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $