精品解析：山西省长治市潞州区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年八年级期末学情调研数学 （考试时间120分钟，满分120分） 【注意事项】 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年5月25日，在中国上海召开的2026国际电路与系统研讨会上，我国华为科技公司董事、半导体业务部总裁何庭波公布“韬定律”．这是中国企业在全球半导体领域首次提出的引领产业发展的新原则．基于该定律，预计到2031年，华为高端芯片晶体管密度将达到1.4纳米制程的同等水平．纳米等于米．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为．请写出体育场的坐标（ ） A. B. C. D. 4. 2026年5月2日，国家统计局公布《2025年全国人口抽样调查主要数据公报》，推算出全国总人口为140545万人（截至2025年11月1日零时）．在本次调查中，某社区对辖区内10户家庭的常住人口数量进行了抽样调查，结果如下（单位：人）：2，3，2，4，3，2，5，3，2，4．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2人，3人 B. 3人，2人 C. 2人，2.5人 D. 3人，3人 5. 如图，在平行四边形中，的平分线与相交于点．若，，则平行四边形的周长是（ ） A. 20 B. 40 C. 28 D. 32 6. 如图为一次函数y＝kx+b的图象，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 8. 如图，在菱形中，，相交于点，于点，连接．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在平行四边形的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形请从①；②；③；④这4个选项中选择哪个作为条件，使结论不成立．（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 我们知道物体的质量公式（其中表示质量，表示密度，表示体积）．小佳同学在做测量液体密度的实验中，测得液体和烧杯的总质量与液体体积之间的关系如图所示，则下列错误的是（ ） A. 总质量m随着液体体积的增大而增大 B. 空烧杯的质量为 C. 当液体和烧杯的总质量为时，液体的体积为 D. 当液体的体积为时，液体的质量为 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个在第一象限的坐标_______． 12. 临近暑假，正是旅游旺季，为了更好地整合宣传长治文旅资源、服务广大游客，长治文旅部门对本地三大特色美食壶关羊汤、潞城甩饼、上党腊驴肉进行综合评分，评分由“口味（权重）、品相（权重）、口碑（权重）”三部分组成．已知三款美食各项得分如下表，则综合得分最高的是__________ 美食 口味 品相 口碑 壶关羊汤 潞城甩饼 上党腊驴肉 13. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 14. 如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点，，，得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此四边形也被称为瓦里尼翁四边形．已知原四边形的对角线，瓦里尼翁平行四边形是_________．（填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”） 15. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算和化简求值 （1）； （2），其中． 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 18. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 19. 长治市博物馆位于山西省长治市潞州区太行西街号，占地面积平方米，建筑面积平方米，是一座地方综合性历史博物馆．某班级组织同学们乘坐大巴车前往长治市博物馆开展“研学之旅”．总路程约，大巴车从学校出发，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚从学校自驾小汽车出发，并以大巴车倍的速度走同样的路线赶往长治市博物馆，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度． 20. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高和脚长之间是_________函数关系（填序号）． ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，估计这个人的身高． 21. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． （1）【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． （2）【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 22. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，求点的坐标； （3）在坐标平面内，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 23. 综合与探究 实践操作 如图1，在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点，与交于点． 问题解决 （1）请在图2中证明四边形是正方形． （2）请在图4中求证：． （3）请在图4中猜想与的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级期末学情调研数学 （考试时间120分钟，满分120分） 【注意事项】 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为零的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴对于分式，有， ∴， 故选：C． 2. 2026年5月25日，在中国上海召开的2026国际电路与系统研讨会上，我国华为科技公司董事、半导体业务部总裁何庭波公布“韬定律”．这是中国企业在全球半导体领域首次提出的引领产业发展的新原则．基于该定律，预计到2031年，华为高端芯片晶体管密度将达到1.4纳米制程的同等水平．纳米等于米．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为，其中要求，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）． ∴ ． 3. 如图，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为．请写出体育场的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据火车站的坐标为，文化馆的坐标为，可得医院坐标为，进而以医院为原点建立平面直角坐标系，即可求解． 【详解】解：∵火车站的坐标为，文化馆的坐标为， ∴医院坐标为， ∴如图所示，以医院为原点建立平面直角坐标系， ∴体育场的坐标． 4. 2026年5月2日，国家统计局公布《2025年全国人口抽样调查主要数据公报》，推算出全国总人口为140545万人（截至2025年11月1日零时）．在本次调查中，某社区对辖区内10户家庭的常住人口数量进行了抽样调查，结果如下（单位：人）：2，3，2，4，3，2，5，3，2，4．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2人，3人 B. 3人，2人 C. 2人，2.5人 D. 3人，3人 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，按照定义先对数据排序，再分别计算众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：将这组数据从小到大排序得：， ∵在这组数据中出现次数最多，共出现次 ∴这组数据的众数是人； ∵这组数据共有个，数据个数为偶数，中位数为排序后第个和第个数据的平均数，且第个和第个数据都是， ∴中位数为（人）， 因此这组数据的众数是人，中位数是人． 5. 如图，在平行四边形中，的平分线与相交于点．若，，则平行四边形的周长是（ ） A. 20 B. 40 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 【详解】解：根据题意，得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴； ∴； 故平行四边形的周长是； 6. 如图为一次函数y＝kx+b的图象，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数y=kx+b的图象可知k＜0，b＞0，然后根据一次函数是性质即可判断． 【详解】解：由一次函数y=kx+b的图象可知k＜0，b＞0， 所以一次函数y=bx+k的图象应该经过一、三、四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 7. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 8. 如图，在菱形中，，相交于点，于点，连接．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，求出，进而求出结论． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， 在中，是的中点， ， ． 9. 如图，点，在平行四边形的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形请从①；②；③；④这4个选项中选择哪个作为条件，使结论不成立．（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而， 分别对四个选项进行分析，看能否利用全等三角形判定定理证明或利用平行四边形判定定理得出结论，注意“边边角”不能判定三角形全等． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，  ， 对于，若， 在和中，  ，  ，  ，，  ，  ，  四边形是平行四边形，故成立； 对于，若，  ，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ，  四边形是平行四边形，故成立； 对于，若，  ， 同理可证，  四边形是平行四边形，故④成立； 对于，若， 在和中，满足，，， 这是“边边角”关系，无法判定，  无法得出四边形是平行四边形，故不成立． 10. 我们知道物体的质量公式（其中表示质量，表示密度，表示体积）．小佳同学在做测量液体密度的实验中，测得液体和烧杯的总质量与液体体积之间的关系如图所示，则下列错误的是（ ） A. 总质量m随着液体体积的增大而增大 B. 空烧杯的质量为 C. 当液体和烧杯的总质量为时，液体的体积为 D. 当液体的体积为时，液体的质量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可判断A，C，再求解函数解析式进一步判断B，D. 【详解】解：由图象可得：总质量m随着液体体积的增大而增大， ∴A正确； 设，将，分别代入， 得， 解得， 故． 当时，， ∴B正确； 由图象可得：当液体和烧杯的总质量为时，液体的体积为； ∴C正确； 当时，， ∴液体的质量为， ∴D错误. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个在第一象限的坐标_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据第一象限点的纵横坐标都大于0解答． 【详解】解：∵第一象限点的纵横坐标都大于0， ∴在第一象限内的坐标可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查直角坐标系的应用，熟练掌握直角坐标系中各个象限点的坐标特征是解题关键．　 12. 临近暑假，正是旅游旺季，为了更好地整合宣传长治文旅资源、服务广大游客，长治文旅部门对本地三大特色美食壶关羊汤、潞城甩饼、上党腊驴肉进行综合评分，评分由“口味（权重）、品相（权重）、口碑（权重）”三部分组成．已知三款美食各项得分如下表，则综合得分最高的是__________ 美食 口味 品相 口碑 壶关羊汤 潞城甩饼 上党腊驴肉 【答案】上党腊驴肉 【解析】 【分析】根据给定的各项权重，分别计算三款美食的综合得分，比较得分大小即可得到综合得分最高的美食． 【详解】解：壶关羊汤的综合得分为：， 潞城甩饼的综合得分为：， 上党腊驴肉的综合得分为：， ， 上党腊驴肉的综合得分最高， 故答案为：上党腊驴肉． 13. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 14. 如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点，，，得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此四边形也被称为瓦里尼翁四边形．已知原四边形的对角线，瓦里尼翁平行四边形是_________．（填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”） 【答案】菱形 【解析】 【分析】利用三角形中位线的性质结合，证明即可得到结论. 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. 15. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，先证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，利用等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算和化简求值 （1）； （2），其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 将代入得． 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1） 直线l如图所示， （2） 补全图形，如图， 证明：由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】（1）128，136 （2）A （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）先将乙组数据从小到大排序，再计算出下四分位数和中位数即可； （2）根据箱线图和甲乙两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将乙组的成绩从小到大排列为125，128，128，133，134，138，138，146，148，149， 所以，， 故答案为：128，136； 【小问2详解】 解：从表中可知，甲组的四分位数是， 而图中左边的箱线图（标记为A）的箱子下边缘在132、中位数在 136、上边缘在 144，并且其整体范围从约 115 到 162，与甲组数据对应， 因此A代表甲组的成绩． 【小问3详解】 解：甲组测试的成绩的方差更大， 理由如下：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，所以甲组测试的成绩的方差更大．（合理即可）． 19. 长治市博物馆位于山西省长治市潞州区太行西街号，占地面积平方米，建筑面积平方米，是一座地方综合性历史博物馆．某班级组织同学们乘坐大巴车前往长治市博物馆开展“研学之旅”．总路程约，大巴车从学校出发，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚从学校自驾小汽车出发，并以大巴车倍的速度走同样的路线赶往长治市博物馆，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度． 【答案】大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为 【解析】 【分析】设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，然后根据时间路程速度列出方程求解即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为． 20. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高和脚长之间是_________函数关系（填序号）． ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，估计这个人的身高． 【答案】（1） （2）① （3） （4）估计这个人的身高为 【解析】 【分析】本题考查画函数图象步骤中的描点，一次函数的图象，求一次函数的解析式，已知函数自变量的值求函数值． （1）根据表中数据描点即可； （2）由图知坐标系中点呈直线分布，所以身高和脚长之间是一次函数关系； （3）用待定系数法求一次函数解析式即可； （4）将代入即可． 【小问1详解】 解：略，见答案； 【小问2详解】 解：因为坐标系中点呈直线分布，所以身高和脚长之间是一次函数关系； 【小问3详解】 解：设一次函数的解析式为， 把和代入，得， 解得， 这个函数的解析式； 【小问4详解】 解：当时，， 估计这个人的身高为． 21. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． （1）【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． （2）【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 【答案】（1）是， （2） 解：正确，理由如下， ∵四边形是垂美四边形，，交于点， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴； （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查四边形的综合，理解垂美四边形的定义，掌握全等三角形的判定和性质，垂直的判定和性质，勾股定理的综合运用的知识是解题的关键． （1）如图所示，连接，交于点，根据全等三角形的判定和性质可证，再证明，由此即可求解； （2）根据勾股定理即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可证，四边形是垂美四边形，再根据（2）中的结论可得，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是，理由如下， 如图所示，连接，交于点， 在，中，，，， ∴， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，设交于点，交于点， ∵，，， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴，即四边形是垂美四边形， 由（2）可得，， ∵在中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中，， 在中，， ∴变形得，， ∴， 的值为． 22. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，求点的坐标； （3）在坐标平面内，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）或 （3）存在，点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求直线解析式即可； （2）由题意可得，求点坐标即可； （3）设，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论：①当为平行四边形对角线时，，；②当为平行四边形对角线时，，；③当为平行四边形对角线时，，． 【小问1详解】 解：点的横坐标为1，且点在正比例函数图象上， ∴当时，， ， 将点，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：， ∴当时，， ， ， ∵， ， ， ， ， 或； 【小问3详解】 解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 设，由（1）（2）可知：，， ①当为平行四边形对角线时，， ， ； ②当为平行四边形对角线时，则， ， ； ③当为平行四边形对角线时，则， ， ； 综上所述：点坐标为或或． 23. 综合与探究 实践操作 如图1，在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，延长，与交于点，与交于点． 问题解决 （1）请在图2中证明四边形是正方形． （2）请在图4中求证：． （3）请在图4中猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $