精品解析：安徽省宣城市宁国市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期质量监测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，直线，被直线所截，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的取值范围是（ ） A. 取任意实数 B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道驿站送信的题目，意思是把一封信送往900里的城市，用慢马比规定时间晚一天到，用快马比规定时间提前3天到．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，和分别是和的角平分线，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 二、填空题（本大题共4小题，小题每小题4分，14小题5分，共17分） 11. 分解因式：________． 12. 2019年至2022年，新冠病毒肆虐全球，造成很多人受感染甚至死亡．其中新冠病毒颗粒大小约为60至140纳米（1纳米米），纳米用科学记数法表示为_________米． 13. 如图，直线和相交于点，，已知，_________． 14. ，， （1）_________， （2）_________． 三、（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 17. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来． 18. 如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． （1）请在图中画出一个面积为5的格点正方形． （2）在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19. 如图，已知，点A在上 （1）作，垂足是D，过B作交于E．用三角尺在图中画出和． （2）A到直线的最短距离是线段________的长度，理由是：________． （3）与垂直吗？请说明理由． 20. 有20名同学准备了6600元一起去看比赛，所有人都必须进场，购票时发现门票有两种：A类票600元/张，B类票120元/张． （1）求A类票最多能买多少张； （2）若规定A类票数量不少于B类票数量的一半，有哪些购票方案； （3）在（2）的条件下哪一种购票方案最省钱． 六、（本题满分11分） 21. 综合与实践 【阅读材料】 著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______． 如图2，模仿图1，可得等式______． 【进一步探究】 （2）如图3，可得等式______． 【直接应用】 （3）当时，，求和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期质量监测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都属于有理数，根据概念逐一判断即可。 【详解】解：A、，2是整数，属于有理数，故A不符合要求， B、是无限不循环小数，属于无理数，仍是无限不循环小数，是无理数，故B符合要求， C、是有限小数，属于有理数，故C不符合要求， D、是分数，属于有理数，故D不符合要求． 2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以有平移得到， 故选：C． 3. 已知，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项定义、同底数幂的乘法、乘方、除法法则逐项分析解答． 【详解】解：A. 不能合并，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、乘方、除法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4. 下列说法，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：∵有意义， ∴， 又∵任何非零数的平方都是正数， ∴． ∵，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ∴，A正确． 选项B：当时，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，当时，分式无意义，因此B错误． 选项C：举反例，若，，满足，但，因此C错误． 选项D：举反例，若，，满足，但，因此D错误． 5. 如图，直线，被直线所截，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得出  与  互为对顶角，由平行线的性质得到，再由，从而结合已知条件求解． 【详解】解：∵与互为对顶角， ， ， ，则 又， ∴ 解得， ． 6. 下列式子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根与立方根的定义判断每个式子的正误即可得到答案． 【详解】解：A、∵表示的算术平方根，∴，A错误； B、，B正确； C、，C正确； D、，D正确.． 7. 若，则的取值范围是（ ） A. 取任意实数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用二次根式的性质将原式转化为绝对值和的形式，再根据绝对值的化简规则在a的不同取值范围内讨论，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵根据二次根式性质，， ∴原等式可化为． 分三种情况讨论： ① 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立； ②当时，，， ∴，等式恒成立，故此取值范围满足条件； ③ 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立． 综上，的取值范围是，故选D． 8. 《九章算术》中有一道驿站送信的题目，意思是把一封信送往900里的城市，用慢马比规定时间晚一天到，用快马比规定时间提前3天到．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据规定时间分别表示出慢马、快马走完全程的时间，再结合“速度=路程÷时间”得到两者速度，最后根据快马速度是慢马速度的2倍的等量关系列方程。 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所用时间为天，快马所用时间为天， 根据题意得：． 9. 如图，，和分别是和的角平分线，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，过点作，由平行线的性质可得，，结合角平分线可得，因此． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 10. 如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得出，，再由完全平方公式得出，然后，代入相关数据，由，得出即可得出答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，小题每小题4分，14小题5分，共17分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 2019年至2022年，新冠病毒肆虐全球，造成很多人受感染甚至死亡．其中新冠病毒颗粒大小约为60至140纳米（1纳米米），纳米用科学记数法表示为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】先将140纳米换算为以米为单位的数值，再根据科学记数法表示绝对值小于1的正数的规则进行表示即可． 【详解】解：由题意得： 纳米 米 米， ∴ 纳米 米 米 米． 13. 如图，直线和相交于点，，已知，_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. ，， （1）_________， （2）_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）观察题中规律，即可得到答案； （2）观察题中规律，将规律逆运用可以把式子化简计算，即可求解． 【详解】（1）观察题中式子可知，； （2）观察题中式子可知， ． 三、（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式． 四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 17. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为， 数轴略． 18. 如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． （1）请在图中画出一个面积为5的格点正方形． （2）在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）画出边长为的正方形即可； （2）画出所有面积为5的正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：画出所有面积为5的正方形，如图， 共有4个面积为5的格点正方形． 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19. 如图，已知，点A在上 （1）作，垂足是D，过B作交于E．用三角尺在图中画出和． （2）A到直线的最短距离是线段________的长度，理由是：________． （3）与垂直吗？请说明理由． 【答案】（1） （2），垂线段最短 （3）垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）根据平行线的性质作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：A到直线的最短距离是线段的长度，理由是：垂线段最短； 【小问3详解】 略． 20. 有20名同学准备了6600元一起去看比赛，所有人都必须进场，购票时发现门票有两种：A类票600元/张，B类票120元/张． （1）求A类票最多能买多少张； （2）若规定A类票数量不少于B类票数量的一半，有哪些购票方案； （3）在（2）的条件下哪一种购票方案最省钱． 【答案】（1） A类票最多能买张 （2） 共有两种购票方案：方案一：购买A类票张，购买B类票张；方案二：购买A类票张，购买B类票张 （3） 选择购票方案一：购买A类票张，购买B类票张最省钱 【解析】 【分析】(1)设购买A类票x张，则购买B类票张，根据题意列出关于x的不等式组，再解出不等式组的解集，由为整数即可得出答案； (2)根据“规定A类票数量不少于B类票数量的一半”得出不等式，并解得不等式的解集，结合(1)中已知的x的取值范围，再由为整数即可得出购票方案； (3)在（2）的条件下分别计算两种方案的购票总费用，再进行大小比较即可得出最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设购买A类票x张，则购买B类票张， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴取最大值为8，即A类票最多能买8张； 【小问2详解】 解：设购买A类票x张，则购买B类票张， 根据题意，得，解得， 由(1)知， ∴， ∵为整数， ∴可以取的值为7，8， ∴共有两种购票方案： 方案一：购买A类票7张，购买B类票13张； 方案二：购买A类票8张，购买B类票12张； 【小问3详解】 解：方案一：购买A类票7张，购买B类票13张，共需要：(元)； 方案二：购买A类票8张，购买B类票12张，共需要：(元)； ∵， ∴选择方案一：购买A类票7张，购买B类票13张最省钱． 六、（本题满分11分） 21. 综合与实践 【阅读材料】 著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______． 如图2，模仿图1，可得等式______． 【进一步探究】 （2）如图3，可得等式______． 【直接应用】 （3）当时，，求和的值． 【答案】（1）； （2） （3）20；80 【解析】 【分析】（1）结合图形和正方形面积求解； （2）结合图形和正方形面积求解； （3）把和代入（2）中式子可求出，再把整理为，再代入和，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵ 把和代入得： ， ∴， ∵和， ∴原式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $