2.3.2 两点间的距离公式 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕两点间距离公式，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从公式直接应用到综合推理的梯度进阶，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|距离公式直接应用|选择1-3直接计算三角形边长、中点距离，填空5-6结合坐标轴点坐标，强化公式记忆| |能力提升|公式与参数、最值结合|选择4含参数距离最小值，填空7-9涉及直线交点距离最值、对称点应用，发展推理能力| |综合应用|跨知识综合证明|解答11用坐标法证明垂直，体现模型观念，衔接平面几何与代数方法|

2.3.2 两点间的距离公式 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.以点A（－3，0），B（3，－2），C（－1，2）为顶点的三角形是（ 　） A.等腰三角形　 B.等边三角形 　C.直角三角形 D.钝角三角形 2.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则｜AB｜的值为（ 　） A.6 B. C.2 D. 3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），D为BC边的中点，则线段AD的长是（ 　） A.2 B.3 C. D. 4.已知A（5，2a－1），B（a＋1，a－4），当｜AB｜取最小值时，实数a的值是（ 　） A.－ B.－ C. D. 二、填空题 5.在x轴上找一点Q，使点Q与点A（5，12）间的距离为13，则点Q的坐标为　 　. 6.设点A在x轴上，点B在y轴上，且线段AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝ . 7.直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 . 8.设点P（3，4），Q在y轴上，R在直线y＝x－1上，则△PQR周长的最小值为 . 9.在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M（－2，－4），N（4，6）的距离相等，则点P的坐标为 . 三、解答题 10.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 11.已知四边形ABCD中，AB2＋CD2＝BC2＋AD2，用坐标法证明：AC⊥BD. 解析版 一、选择题 1.以点A（－3，0），B（3，－2），C（－1，2）为顶点的三角形是（　C　） A.等腰三角形　 B.等边三角形 　C.直角三角形 D.钝角三角形 解析：∵｜AB｜＝＝2， ｜BC｜＝＝4，｜AC｜＝＝2， ∴｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2， ∴△ABC为直角三角形. 2.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则｜AB｜的值为（　B　） A.6 B. C.2 D. 解析：由题知kAB＝1，则＝1，故b－a＝1， 所以｜AB｜＝＝. 3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），D为BC边的中点，则线段AD的长是（　C　） A.2 B.3 C. D. 解析：易知D（，6），故｜AD｜＝＝＝. 4.已知A（5，2a－1），B（a＋1，a－4），当｜AB｜取最小值时，实数a的值是（　C　） A.－ B.－ C. D. 解析：｜AB｜＝＝＝＝， 故当a＝时，｜AB｜最小. 二、填空题 5.在x轴上找一点Q，使点Q与点A（5，12）间的距离为13，则点Q的坐标为　（10，0）或（0，0）　. 6.设点A在x轴上，点B在y轴上，且线段AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝　2　. 解析：设A（a，0），B（0，b），由中点坐标公式，得解得 ∴｜AB｜＝＝2. 7.直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是　2　. 解析：因为l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q， 所以＝＝＝， 若最大，则最小，即1＋m2最小， 而1＋m2≥1，当且仅当m＝0时等号成立，此时＝2， 所以的最大值是2. 8.设点P（3，4），Q在y轴上，R在直线y＝x－1上，则△PQR周长的最小值为　2　. 解析：设点P（3，4）关于直线y＝x－1的对称点为A（m，n），则 解得故A（5，2）. 又点P（3，4）关于y轴的对称点为B（－3，4）， 则｜PQ｜＝｜BQ｜，｜RA｜＝｜PR｜， 所以△PQR的周长为｜PQ｜＋｜QR｜＋｜RP｜＝｜BQ｜＋｜QR｜＋｜RA｜≥｜AB｜＝＝2，当且仅当B，Q，R，A四点共线时，△PQR的周长取最小值2. 9.在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M（－2，－4），N（4，6）的距离相等，则点P的坐标为　（－，）　. 解析：设点P的坐标是（a，a＋4）， 由题意可知，｜PM｜＝｜PN｜， 即＝ ， 解得a＝－，故点P的坐标是（－，）. 三、解答题 10.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 解：由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A（，0）；令x＝0，有y＝，则B（0，），故线段AB的中点为（，）. ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝， 解得a＝±2. 11.已知四边形ABCD中，AB2＋CD2＝BC2＋AD2，用坐标法证明：AC⊥BD. 证明：如图，以AC所在的直线为x轴，过点B作垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系，设顶点分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（x，y）.∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2， ∴a2＋b2＋（x－c）2＋y2＝b2＋c2＋（x－a）2＋y2，∴（a－c）x＝0， ∵a≠c，即a－c≠0， ∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD. 页 学科网（北京）股份有限公司 $