专题01 二次根式化简求值（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以题型为纲构建二次根式化简求值训练体系，通过5大题型系统覆盖核心方法，实现从概念理解到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非负性与性质|6题|利用二次根式非负性及基本性质转化条件|从概念本质出发，建立代数形式与几何意义的联系| |数轴数形结合|6题|结合数轴判断符号去绝对值化简|体现数形结合思想，强化几何直观与符号意识| |整体代入法|6题|通过代数式变形实现整体代换|培养运算能力，建立局部与整体的推理联系| |分母有理化|6题|归纳有理化因式规律及裂项技巧|从具体运算到方法迁移，发展数学表达能力| |配方法化简|6题|构造完全平方式化简双重根式|深化配方思想，提升数学思维的严谨性|

专题01 二次根式化简求值 题型一：二次根式非负性与基本性质化简求值 题型二：数轴数形结合型二次根式化简 题型三：整体代入法化简求值 题型四：分母有理化与分式型二次根式求值 题型五：配方法化简双重二次根式 题型一：二次根式非负性与基本性质化简求值 1．已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，以下判断中正确的是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状即可. 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， 该三角形是直角三角形， 又∵， ∴该三角形是等腰直角三角形. 2．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】平方数与算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此求出和的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ， ∴. 3．已知，，满足，则以，，为边的三角形的形状为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质可得，可得，再根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以，，为边的三角形的形状为直角三角形． 4．若实数a，b满足，则_____． 【答案】/0.5 【详解】解：由可变形为， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和绝对值的化简，利用二次根式被开方数的非负性确定的取值范围，化简绝对值后整理等式，再变形得到所求代数式的值，运用整体代入的思想求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，即， ， ， 将其代入原等式得：， 整理得， 两边平方得：， 移项得：， 故答案为． 6．已知，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 题型二：数轴数形结合型二次根式化简 1．已知实数a,b,c在数轴上如图，化简的值 【答案】2c-a. 【详解】试题分析： 由图可知：，从而可得：，然后根据“绝对值的意义”化简即可. 试题解析： ∵从数轴可知：， ∴， ∴ = = =. 点睛：解这类时，首先要从数轴上获取所涉及的数的大小和正、负信息；若绝对值符号里（或被开方数中）涉及到异号两数和的还要从数轴上获取两数绝对值的大小关系；然后根据所获取的信息确定好绝对值符号里各个式子的符号，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号化简. 2．如图，数轴上与，对应的点分别是A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求：    (1)x的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）先根据已知条件可以求出线段的长度，然后根据对称的性质即可求出x，最后即可求出题目的结果； （2）将x的值代入利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）∵，点B，C关于点A对称， ； （2） ． 【点睛】此题主要考查了利用数轴表示实数的方法，二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的混合运算法则 3．按要求完成作答： (1)已知：，，求代数式； (2)实数，，在数轴上位置如图，化简式子． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再根据完全平方公式变形，最后整体代入求值即可； （2）根据数轴得出，，，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． （2）解：由数轴可知，，，， 原式 ． 4．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可得解； （2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示， 点所表示的数为； （2）解：， ， ， 即， ，， ， ， ， ； （法二：， ， ， ， ， ， ）； （3）解：由题可知， ，， ，， ， 的平方根为． 5．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①___________；； ②___________， 探究：对于任意负有理数___________． 综上，对于任意有理数___________． (2)应用（）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应的点的位置如图所示． 化简：． 【答案】(1) ① ② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算，实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键此题重点培养学生的归纳应用能力． ()①根据平方根计算的值； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出； ()先利用()式的探究结果化简二次根式，再根据字母在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果 【详解】（1）解：依题意①； 故答案为：； 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，， 故答案为：； （2）观察数轴可知：，，， ． 6．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题： ①；；；；可得出对于非负有理数a，_________； ②；；；可得出对于负有理数a，_________； 综上：对于任意有理数a，________； (2)应用（1）中所得结论解决问题． 点M，N在数轴上的位置如图所示，点M表示的数为m，点N表示的数为n． ①化简； ②若N点表示的数为，在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．求的平方根． 【答案】(1)①a；②； (2)①；② 【分析】（1）根据①②的计算结果即可探究出的一般规律； （2）①由数轴可知，，，再根据的一般规律和绝对值的定义化简即可； ②根据题意利用相反数的定义分别求出的值，再代入计算求解即可． 【详解】（1）①a；②； （2）①由题可知：，，， ∴原式 ； ②由题意得：， ，，，， ∴ ， ∴的平方根为． 题型三：整体代入法化简求值 1．当，时，的值是______． 【答案】 【分析】本题先将所求分式通分变形，再计算出和的值，整体代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴将，代入得原式． 2．已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可； （2）将变形为，然后求出，和的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 3．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，，再结合因式分解可得答案； （2）先求解，结合完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ． （2）解：， ， ． 4．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 5．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减乘除运算法则分别计算，乘法可以利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式将所求代数式变形为，再代值计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ； （2）解：，， ． 6．计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2），， ，， ． 题型四：分母有理化与分式型二次根式求值 1．阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 2．像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：________； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）将每一个式子进行分母有理化，然后求和计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得的有理化因式为； （2）解： ． 3．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把变形为，然后把代入计算即可； （2）①把分子分母都乘以化简即可； ②先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：①； ② ． 4．学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值．她是这样解答的： 解：∵ ，， 请你根据小慧的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题的化简解答即可． （2）仿照例题的化简解答即可． （3）先化简，得出，再利用代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， 故 ． 5．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 【答案】(1)； (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式的运用． （1）利用平方差公式对分母进行有理化，将分母中的根号去掉； （2）先对进行分母有理化，再通过变形求出的值，进而得到的值，最后代入式子求值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ，即， ， ． 6．阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； ；… (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知个等式的，即可求解； （2）观察已知个等式的，即可求解； （3）式子化为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型五：配方法化简双重二次根式 1．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 2．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 4．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 5．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 6．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式化简求值 题型一：二次根式非负性与基本性质化简求值 题型二：数轴数形结合型二次根式化简 题型三：整体代入法化简求值 题型四：分母有理化与分式型二次根式求值 题型五：配方法化简双重二次根式 题型一：二次根式非负性与基本性质化简求值 1．已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，以下判断中正确的是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 3．已知，，满足，则以，，为边的三角形的形状为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．若实数a，b满足，则_____． 5．已知，则的值为______． 6．已知，则______． 题型二：数轴数形结合型二次根式化简 1．已知实数在数轴上如图，化简的值 2．如图，数轴上与，对应的点分别是A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求：    (1)x的值； (2)的值． 3．按要求完成作答： (1)已知：，，求代数式； (2)实数，，在数轴上位置如图，化简式子． 4．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 5．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①___________；； ②___________， 探究：对于任意负有理数___________． 综上，对于任意有理数___________． (2)应用（）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应的点的位置如图所示． 化简：． 6．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题： ①；；；；可得出对于非负有理数a，_________； ②；；；可得出对于负有理数a，_________； 综上：对于任意有理数a，________； (2)应用（1）中所得结论解决问题． 点M，N在数轴上的位置如图所示，点M表示的数为m，点N表示的数为n． ①化简； ②若N点表示的数为，在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．求的平方根． 题型三：整体代入法化简求值 1．当，时，的值是______． 2．已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 3．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 4．已知，则的值为_________． 5．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 6．计算： (1)； (2)已知，，求的值． 题型四：分母有理化与分式型二次根式求值 1．阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 2．像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：________； (2)化简：． 3．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 4．学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值．她是这样解答的： 解：∵ ，， 请你根据小慧的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 5．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 6．阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； ；… (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 题型五：配方法化简双重二次根式 1．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 2．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 3．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 4．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 5．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 6．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $