20.1 认识二次根式6大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“20.1认识二次根式”为核心，通过A组巩固基础、B组能力进阶、C组思维拔高及拓展链接中考的分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二次根式定义、有意义条件、性质、化简、求值、参数|基础题型为主，结合月考/期中真题，强化抽象能力与运算能力| |B组|多知识点综合应用、数轴与化简结合、阅读理解题|设置跨情境问题，如海伦-秦九韶公式应用，培养推理意识| |C组|规律探究、复杂化简与计算|通过观察归纳（如第10个式子），发展创新意识| |拓展|中考真题直接应用|链接河南、浙江等中考题，强化应用意识与应试能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 20.1认识二次根式 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01二次根式的定义 题型02二次根式有意义的条件 题型03二次根式的性质 题型04化简二次根式 题型05求二次根式的值 题型06求二次根式中的参数 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01二次根式的定义 1.C 2.B. 3.D 4.①④ 题型02二次根式有意义的条件 5.C 6.x>-17.m≥1 3 8x≥- 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03二次根式的性质 1 9. 10.1 11.11或13 12.a-b, 题型04化简二次根式 13.3a-2b1ab」 14.A. 15.A. 16.5-1. 题型05求二次根式的值 17.解：(1)-2V2+-1224-8+27 =2V2+1-292+3 =4; (2)i, ②×3+①得，16x=32,解得x=2, 将x=2代入②，3×2-2y=3,解得y=1.5, 则方程组的解乙 18.C 19.C. 20.解：2sin45°-9V8+π-1)°+2-1 2x2 -2V2+1+2-1 =/2-2V2+1+2-1 =0 题型06求二次根式中的参数 21.2. 22.3. 23.3. 24.9或7或1 B组 能力进阶 1.-1. 2.7. 3.7 4.x>3且x≠5 5.B. 6.2026 7.C 8.C. 9.D 214 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.解：(1) |x2-1≥0 1-0x2=1,x=±1： x-4≥0 “4-X20:X=4,y=0+0-3=-3. .x+y120264+-3到2025=12026=1 x+y2026的立方根，即1的立方根，为3=1. C组 思维拔高 1.3. 2.4053. 3.解：由5-x≥0，得x≤5， 所以x-6<0. 所以(V5-x)2+(x-6)2=5-x+6-x=11-2x 4.解：当2a-1≥0，即a≥2时，原式=2a-1+(2a-1)=4a-2 当2a-1<0,即a<时，原式=1-2a+(1-2a)=2-4a 11 拓展 链接中考 1.0(答案不唯一，x≤5即可) 2.A. 3.解：.M是最大的“双11数”，“双11数”的千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之 和也为11， .最大的“双11数”千位数字和百位数字都为9，十位数字和个位数字都为2， ÷KM=M-M-9922-2299=77: 99 99 设M的千位数字和百位数字分别为a,b, .M是“双11数”， ∴.M的十位数字和个位数字分别为11-a,11-b, ∴.M=1000a+100b+1011-a+11-b=990a+99b+121, 314 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.M的逆序数M=100011-a+10011-b+10a+b=-990a-99b+12100, .KM1=M-M_990a+99b+121--990a-99b+12100 99 99 =20a+2b-121, :.KM+111_20a+2b-121+1L_20a+2b-10=2a-1+2a+2b-1 9 91 9 :KM+亚为整数， 9 KM+111 9 是完全平方数， .2a+2b-1是9的倍数， 由题意得，1≤a≤9,1≤11-a≤9,1≤b≤9,1≤11-b≤9， ∴2≤a≤9,2≤b≤9 ∴.7≤2a+2b-1≤35， ∴.2a+2b-1最大值为27，即2a+2b-1=27, ∴.a+b=14. KM+111-20-1+27=2a+2为完全平方数， 9 :在6≤2a+2≤20范围内的最大完全平方数为16， ∴.2a+2=16, 解得a=7, 此时b=7, M的最大值为7744： 故答案为：77,7744」 414 分层作业 20.1认识二次根式 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 二次根式的定义 题型02 二次根式有意义的条件 题型03 二次根式的性质 题型04 化简二次根式 题型05 求二次根式的值 题型06 求二次根式中的参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 二次根式的定义 1．（2026遂宁月考）在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式；解题关键是判断被开方数是否恒为非负数. 【详解】 A.当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B.被开方数-10＜0，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C.因为，故，一定是二次根式，故此选项符合题意； D.当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C. 2．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、当时，它不是二次根式，故本选项不符合题意， B、一定是二次根式，故此选项符合题意； C、当时，该式子不是二次根式，故本选项不符合题意； D、，该式子无意义，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．下列判断正确的是（ ） A. 带根号的式子一定是二次根式 B. 二次根式的值必定是无理数 C. 式子是二次根式 D. 式子一定是二次根式 【答案】D 【分析】本题考查二次根式概念的辨析；关键：紧扣被开方数0 【详解】解： 带根号但被开方数若为负数，则不是二次根式，比如就不是二次根式，故此选项不符合题意； 有可能为有理数，比如，就为有理数，故此选项不符合题意； -5＜0，则式子无意义，故此选项不符合题意； m²+3恒为非负数，一定是二次根式，故此选项符合题意. 故选：D 4.给出下列式子：; ④.其中一定是二次根式的是 . (填序号) 【答案】①④ 【分析】本题考查二次根式概念的辨析；根据二次根式的概念逐一判断。 【详解】解： ①是，含有二次根号，且被开方数2是非负数； ②不是，虽然含有二次根号，但被开方数是负数； ③虽然含有二次根号，但被开方数 可能为负数； ④含有二次根号，且被开方数大于0. 题型02 二次根式有意义的条件 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， ∴． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式+分母不为0；关键：被开方数＞0. 【详解】解：若式子有意义，则，即 故填： 7.（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 【答案】 【分析】考查二次根式的意义+分母≠0；关键：被开方数0，分母≠0 【详解】根据题意知：，解得： 故填： 8. 式子中x的取值范围是___． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意可得：， 移项得 ， 系数化为得 ． 题型03 二次根式的性质 9．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出的值，进而求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 10.若，为实数，且，则的值为____________ 【答案】1 【分析】本题考查非负数的和为0；平方、算术平方根的非负性；关键：几个非负数的和为0，则这几个数都为0 【详解】解：∵，，且 ∴，且 即：， ∴=（-4+5）²=1²=1 故填：1 11．若，则以、为边长的等腰三角形的周长为________ 【答案】11或13 【分析】本题主要考查平方及二次根式的非负性，等腰三角形的周长；关键：先求出，，再分类讨论 【详解】解：，且，故，. 腰为3时，3+3+5=11；腰为5时，3+5+5=13.均满足三角形的三边关系. 故填：11或13 12. （25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 【答案】 【分析】结合，化简，即可作答． 【详解】解：∵，， ， 题型04 化简二次根式 13．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简__________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 14．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了先根据数轴判断的符号和大小，再根据二次根式的性质进行化简 解：从数轴可知：，所以， 原式 故选：A． 15．若化简的结果为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值，二次根式的化简；关键：配方成为完全平方，分段讨论 【详解】解： 分段讨论： ①时，，此时不满足要求； ②时，，当时，原式=-3； ③时， 故选：A． 16.化简的结果为____． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型05 求二次根式的值 17.（1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查含乘方的实数混合运算和解二元一次方程组， （1）根据运算法则先计算绝对值、乘方、化简二次根式和开立方，再进行加减运算即可； （2）利用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得，，解得， 将代入，，解得， 则方程组的解． 18.（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 19.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 20. 计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算，根据0指数次幂，绝对值，二次根式的性质及特殊的三角函数值解答即可. 【详解】解： 题型06 求二次根式中的参数 21.（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：是整数，为正整数， 是完全平方数， 取， 解得．© 22.代数式的值为0时，的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 23.已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可． 【详解】解：，且开方的结果是正整数， 为某数的平方， 又，是满足题意最小的被开方数， 的最小值为． 故答案为：． 24.已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 B组 能力进阶 1. （2025下·江苏泰州·八年级校考阶段检测）已知，满足，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得，得出，进而求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 2.若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】，则，实心原点向左 3. 若，则的值是______ ． 【答案】7 【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案． 【详解】， ， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 4. 若代数式有意义，则的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】，故且 5. 函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴． 故选：B． 6. 若满足，则的值为_______ 【答案】2026 【分析】由二次根式有意义的条件知：，即， 此时去掉绝对值，原等式变形得：，即 ∴，∴ 7. 我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦—秦九韶公式可通过三角形三边求面积：，其中，，，为三角形的三边长．已知等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据题干给出的海伦—秦九韶公式，代入三角形三边长计算即可得到面积，也可结合等腰三角形性质和勾股定理求解． 【详解】解：等腰三角形三边长为 , , ， ， ， 即该等腰三角形的面积为12． 8．代数式的值为常数2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分，，三种情况讨论即可． 【详解】解： 当时，原式， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 当时，原式， 当时，原式， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的取值范围是． 故选：C． 9.按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 10.（2026福建泉州高新区期末）阅读下列材料： 式子有意义，则；式子有意义，则，若式子有意义，求的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组得. 请你运用上述的数学方法解决下列问题： （1）式子有意义，求的取值范围. （2）已知，求的立方根. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 解：（1）∵，∴，∴； ∵，∴，， ∴= ∴的立方根，即1的立方根，为． C组 思维拔高 1．若，则 ； 【答案】3 【解析】本题考查了三种常见的非负数，依据非负数的性质求解。 解：由题意可知 ， 解得 . 所以 . 故填：3． 2． 【答案】4053 【解析】本题主要考查的是二次根式的非负性及化简问题。 解：由题意知 ，且 ，联立解得 . 从而知， 所以. 故填：4053． 3．计算：()2+ 【答案】 【解析】本题容易错解为()2+. 解：由， 得， 所以. 所以()2+ 4．化简： 【答案】 【解析】本题主要考查了分类讨论思想。 解：当，即时，原式 当，即时，原式 5.（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二次根式的性质，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 拓展 链接中考 1．（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： 【答案】0（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；关键： 【详解】解：由题意知：，即，任些一个，如0、1、、……均可. 故填：0（答案不唯一，即可） 2．（2024下·浙江·九年级自主招生）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则代数式，的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查偶次方根有意义的条件，代数式求值． 根据六次方根的被开方数是非负数和求x、y、z是两两不等的实数，求得，代入求得，再把，代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∵x、y、z是两两不等的实数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. （2026下·重庆巴南·八年级统考期末）一个四位数，若千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为，则称为“双数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双数”则________；若是“双数”，且为整数，则满足条件的的最大值为________． 【答案】 【分析】根据“双数”的定义，先确定最大的“双数”，再代入计算，再设四位数的千位数字为，百位数字为，根据定义表示出，和，结合条件求的最大值． 【详解】解： 是最大的“双数”，“双数”的千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为， 最大的“双数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为， ； 设的千位数字和百位数字分别为，， 是“双数”， 的十位数字和个位数字分别为，， ， 的逆序数， ， ， 为整数， 是完全平方数， 是的倍数， 由题意得，，，，， ，， ， 最大值为，即， ，为完全平方数， ∵在范围内的最大完全平方数为， ， 解得， 此时， 的最大值为； 故答案为：，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 20.1认识二次根式 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 二次根式的定义 题型02 二次根式有意义的条件 题型03 二次根式的性质 题型04 化简二次根式 题型05 求二次根式的值 题型06 求二次根式中的参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 二次根式的定义 1．（2026遂宁月考）在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列判断正确的是（ ） A. 带根号的式子一定是二次根式 B. 二次根式的值必定是无理数 C. 式子是二次根式 D. 式子一定是二次根式 4.给出下列式子：; ④.其中一定是二次根式的是 . (填序号) 题型02 二次根式有意义的条件 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 7.（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 8. 式子中x的取值范围是___． 题型03 二次根式的性质 9．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 10.若，为实数，且，则的值为____________ 11．若，则以、为边长的等腰三角形的周长为________ 12. （25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 题型04 化简二次根式 13．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简________________． 14．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( ). A. B. C. D. 15．若化简的结果为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16.化简的结果为____． 题型05 求二次根式的值 17.（1）计算：； （2）解方程组． 18.（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 20. 计算：． 题型06 求二次根式中的参数 21.（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 22.代数式的值为0时，的值为____________． 23.已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为______． 24.已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． B组 能力进阶 1. （2025下·江苏泰州·八年级校考阶段检测）已知，满足，则的值为______． 2.若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值是______ ． 4. 若代数式有意义，则的取值范围是___________ 5. 函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 若满足，则的值为_______ 7. 我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦—秦九韶公式可通过三角形三边求面积：，其中，，，为三角形的三边长．已知等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．15 8．代数式的值为常数2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9.按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 10.（2026福建泉州高新区期末）阅读下列材料： 式子有意义，则；式子有意义，则，若式子有意义，求的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组得. 请你运用上述的数学方法解决下列问题： （1）式子有意义，求的取值范围. （2）已知，求的立方根. C组 思维拔高 1．若，则 ； 2． 3．计算：()2+ 4．化简： 5.（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 拓展 链接中考 1．（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： 2．（2024下·浙江·九年级自主招生）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则代数式，的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．不存在 3. （2026下·重庆巴南·八年级统考期末）一个四位数，若千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为，则称为“双数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双数”则________；若是“双数”，且为整数，则满足条件的的最大值为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $