20.1.2 二次根式的性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

9.若实数a、b满足(a+b-2)2+√b-2a十3=0， 求2b一a+1的值 【能力提升】 10若写有意义，则上的取值范围为 11.已知a,b,c是三角形的三边长，化简 √(a-b-c)-|b-a十c的结果是 【创新探究】 12.若a满足关系式√3x+5y-a-2+ √2x+3y-a=Wx+y-89·√89-x-y, 试求a的值. 第20章二次根式 第2课时二次根式的性质 基 础 导 二次根式的性质 (1)(Wa)2= (a≥0)，即一个非负数的 算术平方根的平方等于它本身. (2)a= (a≥0) (a<0) 个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝 对值. 典 例 探 究 知识点① 利用(Wa)2=a(a≥0)计算 【例1】 计算： 3 ;(2)(-2√7)2； (3)(23)2-(3√2)2. 规律与方法：利用(Wa)2=a(a≥0)的性质 可计算形如(mb)2的式子，而逆用性质可把一个 非负数变成一个数的平方， 【变式训练1】当x 时，（√x-3)2= 知识点②公式√a2=|a的应用 【例2】计算：1，√(-，(2)V10, (3)√3.14-)7；(4)√9x2(x≤0)； (5)√(a-3)2(a≥3)； 4x2 (6W1-2z+x(0<x<1). 措南针·课堂优化·化年纸上醉·数学(HS) 规律与方法：用√=|a计算，先把被开方数 变成平方的形式，再把原式变为底数的绝对值，由底 数的符号化简绝对值. 【变式训练2】 (1)当x 时， √(x-3)2=3-x. (2)W(-√2)2= (3)若a<0,化简|a-3|-√a2= 【变式训练3】 先化简，再求值：a 十 V2+记-2，其中a=号 知识点③√a=|a与(wa)2=a(a≥0)的合用 【例3】化简：（√2x-1)2-√1-4x+4x2. 规律与方法：利用√a=|a化简但又未给 判断条件的问题，常从题目本身的结构上去挖掘 隐含条件 【变式训练4】化简√1-6x十9x-(√2x-1) 得 A.-5x B.2-5x C.x D.-x 知识点④√a2=|a与数轴的综合运用 【例4】 数a,b,c在数轴上的位置如图 所示： 化简a2+|a+b+√(c-a)-|b-cl. 规律与方法：若题目中没有给出字母的取值 范围，应利用数轴确定字母的符号，再根据二次 根式的性质进行解答， 【变式训练5】实数a,b在数轴上对应点 的位置如图所示，化简|a+√(a一b)的结果是 () 0方 A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b 课 演练 【基础过关】 1.如果√(3a-2)z=2-3a,那么 () Aa<号 Ba≤号 C.a>号 D.a≥ 2 3 2.若a<1,化简√(a-1)-1等于 () A.a-2 B.2-a C.a D.-a 3.下列等式成立的是 ( A.√33=3 B.√/(-3)2=-3 C.(W3)2=3 D.(-√3)2=-3 4.(安徽中考)下列计算正确的是 ) A.a3+a3=a6 B.a6÷a3=a C.（-a)2=a2 D.√a2=a 5.(遂宁中考)实数a、b在数轴上的位置如图所示， 化简1a+1-√仍-1)+√(a-b= 6.计算：-√（-0.01)2= √(3-π)2= 7.计算： (-10/3)2=,(-aW2)2= - 8.计算：(-23)2+V(-3)2×(-2-3 9.计算： (1)√42-(-2√3)2+√（-3)2+√(-5)z; (2)W(W3+2)2+√(W3-2)2+√(-6). 10.先化简，再求值：a-1+@2a+中，其中a a-1 =2-√3. 【能力提升】 11.若n为整数，且√n2+9n+30是自然数，则 第20章二次根式 12.设△ABC的三边长为a,b,c,试化简 √(a+b+c)2+√(a-b-c)2+√(b-a-c)2 -√(c-b-a)2. 【创新探究】 13.阅读材料：把根式√x±2进行化简，若能 找到两个数m,n,使m2+n2=x且mn= √y,则把x士2√y变成m2+n2士2mn=(m士 n)2开方，从而使得√x±2v化简. 例如：化简v√3+2√2 解：.3+22=1+2+2√2=12+（√2）2+2 ×1×√2=(1+√2)2， .W3+2√2=W(1+√2)2=1+√2. 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)W7+4W3; (2)W5-2√6.指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 第20章二次根式 2=号a-<0原式=+日-a=9 第2课时二次根式的除法 基础导学 20.1认识二次根式 【例3】原式=2x-1-|1-2.x=2x-1-(2x-1)=0. 【变式训练4】C【例4】-3a【变式训练5】A a 1.b >≥0，b>02.算术平方根的商√= 第1课时二次根式的概念 课后演练 基础导学 把二次根式被开方数中的分母化去3.分母 1.B2.D3.C4.C5.26.-0.01x-3 典例探究 3.(1)a(2Wa 7.3002a2 典例探究 号8179.10(2)1010.-5 【例1】(1)原式=2；(2)原式=26. 【例1】(1)、(3)、(4)、(6)、(7)是二次根式，而(8)、(9)只有当11.n=一14或-7或-2或512.4c 【变式训练1】(1)3(2)180(3)-2(4)6√15 x≤0和b=0时才是二次根式.【变式训练1】C 13.(1)√7+4W5=2十√5(2)√5-2W6=√3-√2 【例2】 x-2=1 9 【变式训练2】a≤3 【2】z<3:(21<<4:(3z>是： 20.2二次根式的乘除 【3】(号；(28)器 第1课时二次根式的乘法 (4)无实数x使√-x-1有意义. 【变式训练3】（①）号5.(2)E.(3)是a 基础导学 【变式训练2】D 1.√ab被开方数相乘，根指数不变a≥0b≥0√abc 【例3】x=16【变式训练3】二 【例4)】最简二次根式为(2)Vm+m;(6) 4 【例4】7【变式训练4】15 2.va. 【变式训练4】B 课后演练 典例探究 【5】(号压 2)-号压32a 1.D2.B3.B4.A5.x≥-16.x>37.1<c<5 【例1】(1)3；(2)30；(3)30；(4)-20aba;(5)x2+xy; 课后演练 81Dz≤是 (2)-1≤x≤1 (62+6. 【变式训练1】2W万【变式训练2】2 :1.D2.B3.D4.-15.3756.9√6cm 【例2】B【变式训练3】C (3)x=0W-合<x≤} 1.号 (2)-8x 8.(1)3aV6a(2)27 【例3】10/2；(2)2ab√2；(3)10a2c√2ac;(4)63. 9.375 10.16m/s11.6 9.2b-a+1=010.x>≥0且x≠611.012.a=91 【变式训练4】a√-b【例4】3√2>23 第2课时二次根式的性质 课后演练 2√（传）=√景. 基础导学 1.D2.B3.A4.C5.(1)26(2)26.-√14 验证V(信)-√Xx6=V县， (1)a (2)al a-a -√-x7.458.(1)2(2)-12√2(3)-45 n+1 典例探究 9.(1)90W2(2)4√35(3)-5ab√2b 2W(H+)=+√ 【例1】(1)号，(2)28，(3)-6.【变式训练】≥3号 10.(1)53>3W5(2)3-65<3-5√611.B12.6 验证√（十）-√牙 n+2-n-1 (n+1)(n+2) 【例2】(1)5，(2)0；3)元-3.14，(4-3x(5)a-3 1以.这个直角三角形的面积是雪或写 /n十1 Vn(n+D(n+2xix(n+2) 【变式训练2】(1)≤3(2)√2(3)3 14Va十。之=a√a为征意自然数且a≥2， 第3课时 二次根式的有理化 【空武训练】原式-}+√(a--+a,验证+。品-√-√=V√ 基础导学 1.二次根式3.分母 33 :典例探究 【例1】(1)22 (29巨31 【变式训练1】( -2(2a 【例2】(1)一 ，(@而，86a+: ④=m-,()5-1,(61+5. 【变式训练2】A 【例3】(1)4十√3；(2)√95. 【变式训练3】原式=分，解得a=-1,6一3，原式=一 3 课后演练 1.B2.A3.B4.B5.(1)>(2)<63+17.2 8学 (2)5469.(1W5-2(2W2-1 10.311.812.3+2213.(1)Wm-√/n-1(2)9 20.3二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 基础导学 1.最简二次根式被开方数 2.最简二次根式同类二次根式根号前系数根号 被开方数 典例探究 【例1】C【例2】D【变式训练1】B【变式训练2】B 【9B】15/万23v反89+9E 【变式训练3) y2+9 【变式训练4】()了5-25(2Wa+36-号√a 课后演练 1.B2.D3.D4.B5.(1)0(2)2W36.47.4 8①-25(2)6-E9c10.10 34