20.1 第1课时 二次根式的概念&第2课时 二次根式的性质-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

第20章 二次根式 20.1 认识二次根式 第1课时 二次根式的概念 01基础达标 02能力提升 知识点一二次根式的定义 7若武了司 在实数范围内有意义，则x的取 1.下列代数式中，一定是二次根式的是 值范围是 A.√a B.a2-1 A.x≥1且x≠2 B.x≤1 C.√a+1 D.a C.x>1且x≠2 D.x<1 2.下列判断正确的是 8.二次根式√2+x中，x的取值范围在数轴上表 A.带根号的式子一定是二次根式 示正确的是 B.式子√m十1一定是二次根式 -2.0 A B C.式子a-1一定是二次根式 -2 0 0 D.二次根式的值必定是无理数 3.若√一x是二次根式，则x的值可以为 9.使式子十V3一3有意义的整数x有 Vx+1 (写出1个即可) 个 知识点二二次根式有意义的条件 10.若一个长方形的面积为10cm2,它的长与宽 4.若二次根式√x十3在实数范围内有意义，则x 的比为5：1，则它的长为 cm,宽为 的取值范围是 cm. ( A.x≥-3 B.x≥3 03 思维拓展 C.x≤-3 D.x>-3 11.在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次 5.要使式子√x一3有意义，则x可取的一个数是 根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不 等式相结合的一些运算.请解答： 【变式】要使二次根式√2-3x有意义，则x的 (1)若a,b为实数，且6=a-1十1-&2+a a+1 最大值是 √=a十3，则ab十c的值为 6.当x为何值时，下列二次根式有意义： (2)已知a、b为一个等腰三角形的两边之长， (1)√-x2;(2)√x-1+√x; 且a和b满足b2十√a-1+4=4b,求该三角 形的周长。 第2课时二次根式的性质 01基础达标 (3)(5√2)2； (4)-(2√6)2. 知识点一活用公式√a=|a化简 1.下列计算正确的是 A.√22=2 B.√/(-2)2=-2 C.√22=士2 D.√(-2)z=士2 O易错点运用公式√a2=a时易错 2.已知二次根式√x2的值为4，那么x的值是 7.化简√(W2一3)2的结果正确的是 ( A.4 B.16 A.√2-3 B.-√2-3 C.-4 D.4或-4 C.√2+3 D.3-√2 3.计算： 02能力提升 (1)√49； (2)√(-5)2； 8.若√a=3,√b=2,且ab<0,则a一b的值是 () A.-7 B.-5 C.-1 D.1 9.若实数a满足a十√a2-4a+4=2,则a的取 (3)√104； (4)√/（π-3.14）2 值范围是 () A.a=0 B.a=2 C.a=0或a=2 D.a≤2 10.若2,5，m为一个三角形三边的长，则√(m一3)2 十√(m-7)等于 () 知识点二活用公式(Wa)2=a(a>0)计算 A.2m-10 B.10-2m 4.计算（√3）2的值是 C.10 D.4 A.3 B.±3 C.3 D.9 11.在实数范围内分解因式： 5.比较大小： (1)x2-2= (1)3 √10；(2)2√3 3V2; (2)a4-9= (3)-2√11 -3√5. 12.计算： 6.计算： 1厘+(-2)-√)； (1)(√0.8)2； 2(-月， (2)(√/5-x)2+√x2-6x+9(3≤x≤5). 03思维拓展 15.【新考法·阅读理解·解题方法型】阅读下面 的解题过程，体会如何发现隐含条件，并解答 下面的问题， 化简：（√1-3x)2-|1一x. 13.实数a,b在数轴上的位置如图所示，试化简 解：隐含条件1-3x≥0，解得x≤号， b+√/(a-b)2-a+b. ∴.1-x>0 b 1 0 ∴.原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x =-2x. 【启发应用】 (1)按照上面的解法，√/(2一m)2十√m一3 √m隐含的条件是 (2)试求满足√(2-m)2十√m-3=√m2的 实数m的值， 14.求代数式a+√1一2a+a的值，其中a= 【拓展延伸】 1011,如图是小亮和小芳的解答过程： (3)已知实数a,b满足√(1一a)2十b十3=9 (1) 的解法是错误的，错误的原因在 -√/(a+4)2-|b-1,求a2十b2的最大值 于未能正确地运用二次根式的性质： (2)求代数式a+2√a2-6a+9的值，其中a =-2022. 解：原式=a+1-a =a+a-1=2021 解：原式=a+(1-a) 小芳 =a+1-a=1 小亮温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第20章二次根式 =2028. 20.1认识二次根式 15.(1)m≥3 第1课时 二次根式的概念 (2)由(1)得，m≥3，原等式化 1.D2.B3.一1（答案不唯一） 为m-2十√m-3=m,整理， 4.A 得√m-3=2,解得m=7. 5.4(答案不唯一）【变式】号 (3)由条件可知a-1|+|a+ 6.(1)由-x2≥0，得x2≤0，即x= 4+b+3+b-1=9, 0.∴.当x=0时，√-x有意义； .|a-1+a+4|≥5，当且 仅当一4≤a≤1时取等号， (2)由x-1≥0，x≥0，得x≥1. 1b+3+b-1≥4，当且仅当 当x≥1时，√x-1十√x有 -3≤b≤1时取等号， 意义； ∴.a-1|+|a+4=5,-4≤ 7.A8.D9.210.5√2√2 a≤1，且|b+3+b-1|=4, 1.14或号 3≤b≤1，∴.当a=-4,b= -3时，a2十b2取最大值为（一 (2).b2+√a-1+4=4b, 4)2+(-3)2=25. .√/a-1+(b-2)2=0. 20.2二次根式的乘除 ∴.a=1,b=2. 20.2.1二次根式的乘法 若a为腰，1十1=2，不符合三 20.2.2积的算术平方根 角形三边关系；若b为腰，则1.C2.D3.B 三边长为2,2,1.故该三角形 4.(1)35;(2)6;(3)8;(4)4x. 的周长为5. 5.B6.A7.D 第2课时 二次根式的性质 8.(1)30;(2)3xy2√xy; 1.A2.D 3.(1)7;(2)5:(3)10-2: (3)36√2；(4)a√2b. (4)π-3.14. 9.A10.C11.B12.C13.D 4.C 2;(21. 14(1)-9 5.(1)<(2)<(3)> 6.a08:(2),(350, 15.(12+27)2-12-27=12+ 27+2√/12×√/27-12-27=2 (4)-24. √12×√27=2×2√5×3√3 7.D8.A9.D10.D =36(cm). 11.(1)(x+√2)(x-√2)； 答：剩余部分（阴影部分）的面 (2)(a2+3)(a+√3)(a-√3) 积为36cm2. 12.a号(22. 13.3b 1①V4+ =5√6 14.(1)小亮： (2).a=-2022, (2)n 1 n+2 =(n+1) Vn-+2 ∴.a+2√a2-6a+9 1 /(n+1)2 =a十2√/(a-3)2 (3)n n+2-Vn+2 =a+2la-3 1 =a-2(a-3) (m十1)√n+2 =a-2a+6 20.2.3 二次根式的除法 =-a+6 1.A2.C =2022+6 3.(1)22;(2)W6;(3)2√a. 37 4.D5.C 7)×2×721-4+6=10. 6.(25( 2 方法技巧专题二次根式的 7.D 性质及运算 -20= 8.化简不对，正确过程√5 1.-32.x= 5 3.10 20_20_5·W4 =4=2. 4.(1)73;(2)8√2：(3)15： W555 (4)5+√5；(5)9-6√5；(6)2； 9.B10.C11.C (7)14;(8)-√3. 12.(1)-4ab;(2)1;(3)12a2b. 5.-2. 13.原式化简得v元.当x=4时，原 式=√4=2（答案不唯一，注意 6原式-曲题意得+2≠ 0,x2-1≠0，即x≠-2，x≠士1， x的取值大于2). 当x=√2十1时，原式= 14.(1)原式= 2(W5+√3) (5-√5)(W5+V3) 1 √2+1-1 2 =√5+3； 7.(1)-a;(2)土2. (2)原式=2W3-1+5- 8.4.9.-23 5+√7-√/5…+√2023 章末考点整合与素养提升 √2021)= 2(V2023-10) 1.B2.B3B4B5x≤ 6.D √/2023-1 2 7.(1)- 82:(23-28: 20.3二次根式的加减 1.B2.D3.B4.B5.C (3)19√2 6.A7.B【变式C 8.624 &a102,259,g6v. 9.D10.C11.C12.B13.A 14.B15.616.-317.6√2 9.(1)6+10√6；(2)11√3-√2； 18.- 19.√2 32-3,01z. 20.(1)原式=2√2÷√2-5√2-3 10.D11.A12.C √2=2-8√2， 13.3√3-314.3 (2)原式存在最大值. 15.(1)3√3-√2；(2)30： ,▣与√18可以合并，“☐” (3)-√2. 是正整数，√18=3√2，.“□” 表示的数的最小值为2， 16.(1)2√7-2(2)-33-√7 .原式有最大值，最大值=√⑧÷ (3)1 3+√7 3-√7(3-√7)(3+7) (e×√合)-E-⑧=2 =3+7 -√2-3√/2=2-4V2. 2 第21章一元二次方程 .2<7<3,∴.5<3+√7<6， 21.1认识一元二次方程 2.5<3+7 1.D2.≠±2；-23.-2 2 <3,a=2,b 4.(1)5.x2-3x=0 3+7-2-72-1, 二次项系数是5，一次项系数是 2 2 一3，常数项是0； ∴.a2+(1+√7)ab=22+(1+ (2)6x2-9x-8=0; 38 二次项系数是6，一次项系数是8.D9.B 一9，常数项是一8； (3)2x2-7x-2=0; 10.21=0,=2y3 3 二次项系数、一次项系数及常11.212.一10 数项分别为：2，一7，一2. 13.(1)x1=4,x2=-4; 5.D【变式】A;-1 11 6.0x2-3x+2=00x2-3x (2)x1=0,x2=- 51 +2=0 14.x的值为-√6或4. 7.D8.C9.B 15.第三边的长为5或√7. 10.x2+(x-6.8)2=102 16.A 11.(1)根据题意得(100一4x)x 第2课时用直接开平方法和 =400,化为一般形式为一4x 因式分解法解较复杂的 +100x-400=0; 一元二次方程 (2)x(x-1)=756,化成一般1.D2.D 形式为：x2一x-756=0. 3.(1)x1=3,x2=-5; 2油题意，利十。 (2)x1=4,x2=0. 4.B5.x1=1,x2=5 解得k=1: 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)由题意，得k2一1≠0， 7.(1)x1=1,x2=2; 解得≠士1，该方程的二次项 系数为2一1，一次项系数为 2= 3x2=-5; 一(k+1),常数项为一2. (3)x1=3,x2=9. 13.(1)4;(2)48. 8.B9.D10.A11.1 14.(1)311 12.(1)01=-1,x2=2; (2).m是方程2x2-7x十2 (2)0=2,x2=. 0的根，.2m2-7m十2=0，方 程两边同时除以2m,得m一 13.(1)-3√2x; (2)x1=4,x2=-2. m2’ 微课堂 1.(1)x1=5,x2=-1. (2)x1=-3,x2=1. m+-(m+ 2-2= 2.1或2 21.2.2配方法 (3}-2--梨 1.C2.C (3)C 3.12:(2)3:3)93:(④2品 21.2一元二次方程的解法 4.C 21.2.1直接开平方法 5.(1)x1=1+√5，x2=1-√5： 和因式分解法 第1课时用直接开平方法 (2).x,=-1+13 6 和因式分解法解简单的 一元二次方程 x2= -1-√13 1.B2.n≥03.D4.A5.C 6 6.C7.C8.B9.二10.-2 6.(1)=2 ，2—；2)3 11.（1)x1=x2=4;(2)此方程无 实数根；(3)x1=1+√13，x2 7.(1)x1= 22=一 2 =1-/13 (2)x1=0,x2=-2 12.△ABC是直角三角形. (3)x1=2,x2=-2. 13.(1)∠C=90,BC=2,AC 39