2026-2027学年初高衔接高一上学期必修一4.1 指数幂的运算

第四章 指数与指数函数 4.1 指数幂的运算 一、学习目标 1. 掌握根式与分数指数幂互化； 2. 熟练运用指数四则运算法则； 3. 掌握负指数、分数指数化简技巧。 二、知识点精讲 1. 根式的定义 a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. 2.根式性质 n为奇数： a的n次方根表示为，且有=a,a∈R n为偶数：a的n次方根表示为±,且有=|a|,a∈R 例：=-2，=|-2|=2 3.分数指数幂公式 a＝，a＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．= 例：===3；==== 4.运算公式 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 三、例题解析 例1.化简或求值： ； ．   例2.用分数指数幂表示下列各式式中字母均是正数． ；；． 例3.计算或化简下列各式： ； ． 例4.求值：； 若，求． 例5.求值： ； 已知，且，求． 四、课堂练习 1.已知，则表示成分数指数幂的形式为(    ) A. B. C. D. 2.已知，则化为(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 4.若，，则(    ) A. B. C. D. 5.求值： 已知，求的值． 五、易错点总结 1. 符号处理易错，负数的偶次幂为正、奇次幂为负，极易混淆； 2. 运算法则混用、底数不统一，同底数幂乘除才可以指数相加减，底数不同不能直接合并； 3. 零指数、负整数指数遗漏限制条件a0=1要a≠0，0的0次幂无意义。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下面四个等式运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 2.化简(    ) A. B. C. D. 3.已知，，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位，大约每经过年一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了个“半衰期”提示： A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 已知，则 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知，，且，求： ． 8.化简与计算式中字母均为正数 ． 学科网（北京）股份有限公司 $第四章指数与指数函数 4.1指数幂的运算 一、学习目标 1.掌握根式与分数指数幂互化： 2.熟练运用指数四则运算法则； 3.掌握负指数、分数指数化简技巧。 二、知识点精讲 1.根式的定义 a的n次方根的定义：一般地，如果x=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>l,且 nEN'. 2根式性质 n为奇数：a的n次方根表示为，且有-aaER n为偶数：a的n次方根表示为±，且有a-a,aeR 例：（-2)3-2.（-2)-2=2 3.分数指数幂公式 a,。(其中a>0,m,nEN,且n>1.a1 外版这.分语3g盟 4.运算公式 ①aa=a(a>0,r,s∈R). ②a5=a(a>0,r,s∈R). ③(aby-abr(a>0,b>0,r∈R). 三、例题解析 例1.化简或求值： 144县2-g-1+0-3 1121 15 (2j2a2b(ab)÷ab 解(14+2-3-1°+-3 3 =2)+[3-1-3 3 =23+3-4 2 =-19 8 22a63(a6j(o6司 11 21 (3ab6 =6ab3 例2.用分数指数幂表示下列各式式中字母均是正数). 言2e8e洁 解1片 -2 (3)a 1 例3.计算或化简下列各式： (1)(2×3)5-4 163-2×8025-(-2.015 49 (2)a'bab -a>0,b>0 3 解u原六2g-422t1=23-4'-2×2-1 4×1 =4×27-4× -24“-1=108-7-2-1=98 4 a bab 11 54 (2原式 1. 4 1×4x41- 27=ab1. a"b? a4"b2"b3a3 a3b3 a 例41055-2- (2若a+01-3求a+a3 a2+a2+1 保go52是 -w252 55245*2司 -4+10-5.5+2-4 9 5-49 =10-5V5-10 =-5V5: (2)由a+a1=3得a+a1=ad2+a2+2=9' 故a2+a2=7, 又a2+a3=a+a-d2-1+a2=3×(7-1)=18 故a3+a3= 18_9 a2+a2+17+14 例5.求值： (2)已知0<x<1,且x+1=3,求是x2 1号-20--p94n25 -否-14 1 2号+4 6 2_9+8 =316 =389 48 (2)由思意：0<x<1 2-x<0 所以：(X2-x=x+x1-2 X+x1=3 (x2-x=1 1 -1 故得：X-x-1 四、课堂练习 1.已知X0,则9？表示成分数指数幂的形式为(） A.X1 B.-2 C D.2 、 解：因为x>0,所以一 x ,6 故选B. 1a3aa化为) 2.已知a>0,则3，月 Ag品 c D.d 解原式0-00--品 故选：B 3.已知集合1，a,}=(0,d2,a+b,则02024+b04的值为() A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 解：根据题意，对于a,,1,有a≠1，a≠0： 又1，aa b=0,a2,a+b} 则2=0， a 故b=0: 代入集合中，可得al,0}={a2,a,0 必有a2=1, 又a≠1，则a=-1: 则a2024+b2024=1. 故选B 4.若10=3,10'=4，则103x-2y=() A 27 B.1 C.-1 D. 9 0 解：若10*=3,10'=4， 则103x-2y=(10*}=3227, (10)242-16 故选A. 31*1-名r+8×拒-y 6 2已知。+n克=2求a2的值 a+a1-1 131 1式+22--2 (2)(a2+a22=a+2+a1=4' .a+a1=2 (a+a1)2=a+2+a2=4 ∴a2+a2=2’ 所以a2+a2+2=2+2=4 a+a1-12-1 五、易错点总结 1.符号处理易错，负数的偶次幂为正、奇次幂为负，极易混淆： 2.运算法则混用、底数不统一，同底数幂乘除才可以指数相加减，底数不同不 能直接合并： 3.零指数、负整数指数遗漏限制条件a'=1要a≠0,0的0次幂无意义。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.在下面四个等式运算中，正确的是() A.3a2=1 "3d B.a+d=Va C.2=24 D.-8F=-8 2化简V4-2V3-V4+23-(） A.213 B.-2V3 C.2 D.-2 3.已知2”=4,2”=8，则2m"的值为() A.4 B.8 C.16 D.32 4.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织 的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的 放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物 组织内的碳14至少经过了0个“半衰期”（提示：=0.00195） A.10 B.9 C.11 D.8 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列计算正确的是() A3+00i古 B.(a32=a5a>0 C.2024π-424=4-元 D.Ja asa=a(a-0) 6.下列计算正确的是() A-3=-3 .(aib:-3aby(obj=-0ala-0,b-0) 11 c.丽=3 D.已知x+x2=2,则x+x1=2 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知x+y=12,y=9,且x<y,求： (1)x2+y2; 2x-: (3)x-y. 8.化简与计算（式中字母均为正数： (20064名八-21 1解：对于A,3a2=3 ,故A错误； 对于B:0:-0故B正确： 对于C,2=2,故C错误： 对于D-8=-8=8故D错误. 故选B. 2解：V4-23-V4+23 =V3-12-V3+12 =3-1-(3+1)=-2' 故选：D 3.解：因为2"m=4,2”=8,所以2m+”=2m×2”=4×8=32. 故选D. 4.解：设生物组织内原有的碳14含量为x,需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14， 1 1 1 2”1000七，即 则X· <0.001, 由参考数据可知， =0.00195>0.001, 39 20=00195×3-0.00975<0.01, 1 2 所以n=10, 故选A. 5解：对于A、31+V0.01=}+0.1=+=13 3 3030:故A错误， 对于B(aP=aa>0故B错误： 对于C、22-40=4-元故C正确： 对于D石aa=a.oo-o号片-ala>0放D正确 故选CD 6解：对于A选项，听-3=3应=3≠-3故A错误： 对TB项6-3b-号o 30。是-98 对于C选项， 5-gg-万成c玉 对于D选项，因为x2+x2=2所以x+x=x2+x2+2=4 所以X+X1=±2，故D错误. 故选BC. 7解1)：(x2+y2=x+y+2vy=18' 又+y0X2+y=32 (2y=x+y-26 :xy:-y-6 (3x-y=x2-y2=(+y2-y=32x-61=-6v3 81tx,-器， 2原武-04-1+-2-04-1+分-号1+器 1616