3.2 指数幂的运算性质新授课2026-2027学年高一上学期

该高中数学课件聚焦实数指数幂的运算性质，通过复习整数指数幂运算性质导入，结合“同底数幂相除”等思考问题，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是分层设计（基础自测、题型探究、课堂检测），融入数学抽象与数学运算素养，如例3条件求值培养整体代换思想，例5换元法提升逻辑推理。学生能巩固运算技能，教师可高效开展教学。

§2　指数幂的运算性质 【素养目标】 1．结合整数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质．(数学抽象) 2．能利用指数幂的运算性质进行计算、化简、证明．(数学运算) 【学法解读】 本节的重点是指数幂的运算性质，难点是掌握与幂有关的运算方法与技巧． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　知识点　实数指数幂的运算性质(a＞0，b＞0，α，β∈R) (1)aαaβ＝______； (2)(aα)β＝______； (3)(ab)α＝________． aα＋β　 aαβ　 aαbα　 知识点 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 利用指数幂的运算性质求值计算  例 1 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　关于利用指数幂的运算性质计算 (1)若式子中含有带分数，则先化成假分数，再利用指数幂的运算性质计算． (2)若式子中含有根式，则先将根式化为指数式，再利用指数幂的运算性质计算． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 利用实数指数幂的运算性质化简  例 2 B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　关于指数式的化简问题 (1)化简的一般顺序是先乘方，再乘除，最后算加减． (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 指数幂运算的综合应用  [分析]　利用完全平方公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)． 例 3 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） (2)解决此类问题的一般步骤是 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 例 4 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 [分析]　看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子． 例 5 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决． 2．换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．设x∈R且x≠0，若x＋x－1＝3，则x8＋x－8的个位数字是 (　　) A．2　 B．5 C．6　 D．7 [解析]　x＋x－1＝3⇒x2＋x－2＝7⇒x4＋x－4＝47⇒x8＋x－8＝472－2，故选D． D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） a3　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 思考：同底数幂相除aα÷aβ，同次的指数幂相除分别等于什么？ 提示：(1)aα÷aβ＝aα－β； (2)＝． 1．化简[(－)2] －的结果是 (　　) A．－　 B． C．　 D．－ [解析]　[(－)2] －＝3－＝＝＝． 2．下列说法正确的个数是 (　　) (1)无理数指数幂有的不是实数； (2)指数幂ax(a＞0)中的x只能是有理数； (3)(3)＝9． A．0　 B．1 C．2　 D．3 [解析]　(1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确； (2)指数幂ax(a＞0)中的x是任意实数，不正确； (3)(3)＝3×＝32＝9，正确，故选B． 3．aa＝________． 4．27＋16－－－＝_____． a　 [解析]　原式＝(33)＋(42) －－22－＝32＋4－1－4－＝3． 　　　　计算：(1)2－2×； (2)(×)2； (3)－－(π－3)0＋； (4)3×． [解析]　(1)2－2×＝×＝×＝×＝×＝． (2)原式＝(2×3)2＝29×32＝4 608． (3)原式＝－－1＋2＝2． (4)原式＝(3×2)3＝36×22＝2 916． 【对点练习】❶　计算下列各式的值： ＋0.1－2＋－3π0＋． [解析]　原式＝＋102＋－3＋ ＝＋100＋－3＋＝100． 　　　　(1)化简·(a＞0)的结果是 (　　) A．　 B． C．　 D． (2)＝______．(式中的字母均是正实数) 　 [解析]　(1)·(a＞0)＝a·a＝a＋＝a＝． (2)原式＝＝ ＝＝a－－＝a－1＝． 【对点练习】❷　化简：2x(－3xy－)÷(－6x－y－)． [解析]　2x(－3xy－)÷(－6x6x－y－) ＝[2×(－3)÷(－6)]x＋＋y－＋ ＝x2y． 　　　　已知a＋a－＝3，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)． [解析]　(1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7． (2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49， ∴a2＋a－2＝47． (3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，所以有＝＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8． [归纳提升]　(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过a＋a－＝3解出a的值代入求值，则非常复杂． 【对点练习】❸　已知x－y＝6，xy＝16，求的值． [解析]　∵＝＝， 又x－y＝6，xy＝16， ∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100． ∴x＋y＝10或x＋y＝－10． 当x＋y＝10时，原式值为＝3， 当x＋y＝－10时，原式值为＝－． 因忽略幂底数的范围而导致错误 　　　　化简(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝____________． [错解]　(1－a)[(a－1)－2·(－a)]＝(1－a)(a－1)－1·(－a)＝－(－a)． (－a)　 [错因分析]　忽略了题中有(－a)，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[(a－1)－2] ≠(a－1)－1．实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件． [正解]　由(－a) 知－a≥0，故a－1＜0． ∴(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝(1－a)(1－a)－1·(－a)＝(－a)． 用换元法处理指数幂中的化简与证明问题 　　　　已知pa3＝qb3＝rc3，且＋＋＝1．求证：(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r． [证明]　令pa3＝qb3＝rc3＝k， 则pa2＝，qb2＝，rc2＝；p＝，q＝，r＝． ∴所证等式左边＝ ＝＝k， 所证等式右边＝＋＋ ＝k＝k． ∴(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r． 1．计算(2)－的结果是 (　　) A．　 B．－ C．2　 D． [解析]　(2)－＝2－1＝，故选D． 2．·＝ (　　) A．a　 B．a C．a D．a [解析]　原式＝a·a＝a＋＝a，故选A． [解析]　原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×＝． 4．计算(a·b－)6·b2＝______． [解析]　(a·b－)6·b2＝a3·b－2·b2＝a3． 5．－(1－0.5－2)÷的值为______． 　 $