精品解析：山东省济南市市中区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2026年七年级期末学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 剪纸是中国民间传统艺术，观察下列四幅“马年”主题的剪纸作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 芯片制造工艺精度极高，某芯片元件的宽度约为0.0000000075 m，数据0.0000000075用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：数据0.0000000075用科学记数法表示为． 3. 若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到勾股定理的逆定理与三角形内角和定理，根据相关定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A. ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； B. 设，，，其中， ，， ，不能判定是直角三角形，符合题意； C. ， ， 又， ，即，是直角三角形，不符合题意； D. 设，，， 由三角形内角和得，解得， ，是直角三角形，不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，分别运用积的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，合并同类项的法则判断各选项即可． 【详解】解：A选项：根据积的乘方与幂的乘方法则，∵，∴A运算正确，符合题意； B选项：根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，，B运算错误； C选项：根据完全平方公式，，C运算错误； D选项：合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，，D运算错误． 5. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛掷一枚硬币，正面朝下 C. 平面内任意三角形的两边之和大于第三边 D. 在一个只装有黄球和白球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，小明买彩票中奖，是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合题意． 选项B，任意抛掷一枚硬币，正面朝下，是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合题意． 选项C，平面内任意三角形的两边之和大于第三边，是一定发生的必然事件，不符合题意． 选项D，盒子中只装有黄球和白球，没有红球，一定不可能摸到红球，是不可能事件，符合题意． 6. 若的计算结果中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】展开原式后合并同类项，根据结果不含一次项的条件，令一次项系数等于0，即可求出的值． 【详解】解：， 计算结果中不含的一次项， 一次项的系数为，即， 解得． 7. 等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 8. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 9. 如图，在中，，以，，为边向外作正方形．正方形，正方形，正方形的面积为25，正方形的面积为17．点在直线上，连结，，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，根据勾股定理得出，求出，根据即可求解． 【详解】解：设正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为25，正方形的面积为17， ∴， ∵正方形中，，， ∴． 10. 如图1，点是线段上的定点，点，是线段上的动点．已知点，同时分别从点，出发相向匀速运动，当点到达点后，继续保持原速向点运动．而点到达点后立即掉头，并保持原速也向点运动，经过一段时间后，，两点同时到达点．设，两点的运动时间为，两点之间的距离为，与之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段的长度为；②点的速度为．③运动时间时，，两点同时到达点；④在运动过程中，，两点相距时，运动时间为或或，以上结论正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据当时，，可判断①正确；根据点5min到达地，可判断②正确；根据两点3min相遇，求出的速度为，根据，两点同时到达点得，求出，进而可判断③正确；分三种情况求解可判断④正确． 【详解】解：由图可知：当时，， ，故①正确； 点5min到达地， 的速度为，故②正确； ∵当时，， 两点3min相遇， ， 的速度为， 两点同时到达点， ，即， ， ∴总时间为，故③正确； 当相遇前，，解得； 当相遇后未到地，相距15cm时， 依题意得：，解得； 当到达地掉头后，相距15cm时， 依题意得：，解得． 综上所述，则出发2.5min或3.5min或12.5min后相距15cm，故④正确． 综上可知，结论正确的有①②③④，共4个． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 一个正方体的棱长为，则它的体积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体体积公式可知体积为棱长的立方，再利用积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：已知该正方体的棱长为， 因此体积． 12. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是_______． 【答案】黄球 【解析】 【分析】先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 黄球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是黄球． 13. 如图，在中，，平分，若，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 14. 实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成如下的表格． 汽车行驶时间（小时） 0 1 2 3 4 … 油箱剩余油量（L） 50 44 38 32 26 … 当剩余油量为2 L时，汽车将自动提示加油，则行驶__________小时汽车将会自动提示加油． 【答案】8 【解析】 【分析】根据表格数据推导油箱剩余油量与行驶时间的关系式，再将代入关系式计算得到的值即可． 【详解】解：由表格数据可知，汽车出发时油箱原有油量为，汽车每行驶小时，油箱油量减少， 因此可得与的关系式为： 当汽车自动提示加油时，剩余油量，将代入关系式得： 移项得，即 解得． 15. 在中，，，平分，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】作，使，证明得，从而当三点共线时，，此时最小，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：作，使， ， ， ， ， ， 当三点共线时，，此时最小． ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最小值为5． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【详解】解： ． 其中， 原式． 18. 如图，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据推出，利用证出即可得到． 【详解】略 19. 如图，在正方形网格中，是格点三角形． （1）若每一个小正方形的边长为1，则的面积________； （2）画出，使得和关于直线对称； （3）请在直线上找一点，使的值最小． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用割补法求解即可； （2）先根据轴对称的性质确定关于直线的对称点，然后再顺次连接即可； （3）连接交直线l于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：的面积； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：理由，连接， ∵点B与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴此时的值最小． 20. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． （1）判断的形状并证明； （2）计算点，之间的距离． 【答案】（1）解：为直角三角形，证明如下： 米，米，米， ∴在中，，即， 为直角三角形，； （2）、间的距离为18米． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出点，之间的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，由勾股定理，得， ， 米， （米）， 答：池塘两端、间的距离为18米． 21. 如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 【答案】（1）随机 （2） （3）解：她的看法对，原因为： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 则（小亮转出的颜色是红色）， ∵P（小明转出的数字小于7）， ∴两者概率相同，她的看法对． 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出小亮转出的颜色是红色的概率，与（2）比较即可作答． 【小问1详解】 解：由图1可知，转到数字5是随机事件； 【小问2详解】 解：共有9种等可能的情况，其中转出的数字小于7的情况有6种， 则P（小明转出的数字小于7）； 【小问3详解】 略． 22. 某校数学小组为解决饭堂汤碗从厨房到就餐区的转运问题，进行调研，得到了以下信息： 信息1 如图1所示，单个汤碗平放高度为．为节省空间，一般将汤碗如图2叠放，每增加一个汤碗，总高度增加． 信息2 安全起见，使用推车运送汤碗时，一次最多运4叠． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）如图2，当4个汤碗叠放，总高度为________cm； （2）当叠放个汤碗时，总高度，则与的关系式是________； （3）若要使用一辆推车运送汤碗，每叠汤碗总高度为，一次最多运送多少汤碗？ 【答案】（1）12.5 （2） （3）饭堂推车一次最多能搬运汤碗的数量是52个 【解析】 【分析】（1）第一个碗高度为，根据后面3个碗每个增加即可求解； （2）第一个碗高度为，根据后面个碗每个增加即可建立与的关系式； （3）令求出，再根据一次最多运4叠即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解：∵每叠汤碗总高度为26cm， ∴当时， 解得：， ∵一次最多运4叠，， ∴饭堂推车一次最多能搬运汤碗的数量是52个． 23. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．通过构造几何图形，可以直观地解释整式乘法的法则及公式． （1）【探索】观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系：________； （2）【应用】根据（1）的结论，若，，求的值； （3）【拓展】如图3，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）利用（1）的结论求解即可； （3）设，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 根据（1）结论得，， ∵，， ， ； 【小问3详解】 解：设， ∵以为边向上分别作等腰和等腰， ， ，， ， ， ． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． （1）边长________：点的运动路程长为________（用含的代数式表示）： （2）若是以为腰的等腰三角形，求的值； （3）另有一动点，从点开始，沿着的路线运动，且速度为．若，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】（1） （2）当秒或秒或秒时，是以为腰的等腰三角形 （3）当为4秒或12秒时，直线把的周长分成相等的两部分 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可求出的长，根据路程等于速度乘以时间可表示出点的运动路程长； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ． ∵点的速度为， ∴点的运动路程长为； 【小问2详解】 解：①若点在上，则，， ∴， 解得； ②若点在上，则，， （i）当时，， 解得； （ii）当时，作于， 则， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形； 【小问3详解】 解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 25. 问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． （1）【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； （2）【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： （3）【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）证明：如图2，过点作，交于点， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ． 在和中， ，，， ， ； （3）结论： 证明：过作交于， 是等边三角形， ∴同理可得是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 平分， ， ， ， 在与中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到与的数量关系； （2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明和全等，由此可证明； （3）添加辅助线，证明与全等，由此可得，再由边的关系证明即可． 【小问1详解】 解：， ∵是等边三角形，点D在边的中点， ∴，，且平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级期末学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 剪纸是中国民间传统艺术，观察下列四幅“马年”主题的剪纸作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 芯片制造工艺精度极高，某芯片元件的宽度约为0.0000000075 m，数据0.0000000075用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛掷一枚硬币，正面朝下 C. 平面内任意三角形的两边之和大于第三边 D. 在一个只装有黄球和白球的盒子里摸球，摸到了红球 6. 若的计算结果中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 8. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 9. 如图，在中，，以，，为边向外作正方形．正方形，正方形，正方形的面积为25，正方形的面积为17．点在直线上，连结，，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 10. 如图1，点是线段上的定点，点，是线段上的动点．已知点，同时分别从点，出发相向匀速运动，当点到达点后，继续保持原速向点运动．而点到达点后立即掉头，并保持原速也向点运动，经过一段时间后，，两点同时到达点．设，两点的运动时间为，两点之间的距离为，与之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段的长度为；②点的速度为．③运动时间时，，两点同时到达点；④在运动过程中，，两点相距时，运动时间为或或，以上结论正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 一个正方体的棱长为，则它的体积是___________． 12. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是_______． 13. 如图，在中，，平分，若，，则_________． 14. 实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成如下的表格． 汽车行驶时间（小时） 0 1 2 3 4 … 油箱剩余油量（L） 50 44 38 32 26 … 当剩余油量为2 L时，汽车将自动提示加油，则行驶__________小时汽车将会自动提示加油． 15. 在中，，，平分，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，．求证：． 19. 如图，在正方形网格中，是格点三角形． （1）若每一个小正方形的边长为1，则的面积________； （2）画出，使得和关于直线对称； （3）请在直线上找一点，使的值最小． 20. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． （1）判断的形状并证明； （2）计算点，之间的距离． 21. 如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 22. 某校数学小组为解决饭堂汤碗从厨房到就餐区的转运问题，进行调研，得到了以下信息： 信息1 如图1所示，单个汤碗平放高度为．为节省空间，一般将汤碗如图2叠放，每增加一个汤碗，总高度增加． 信息2 安全起见，使用推车运送汤碗时，一次最多运4叠． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）如图2，当4个汤碗叠放，总高度为________cm； （2）当叠放个汤碗时，总高度，则与的关系式是________； （3）若要使用一辆推车运送汤碗，每叠汤碗总高度为，一次最多运送多少汤碗？ 23. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．通过构造几何图形，可以直观地解释整式乘法的法则及公式． （1）【探索】观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系：________； （2）【应用】根据（1）的结论，若，，求的值； （3）【拓展】如图3，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． （1）边长________：点的运动路程长为________（用含的代数式表示）： （2）若是以为腰的等腰三角形，求的值； （3）另有一动点，从点开始，沿着的路线运动，且速度为．若，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 25. 问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． （1）【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； （2）【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： （3）【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $