精品解析：山东省济南市市中区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2025年七年级期末学业质量监测数学试题 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形，据此进行逐一判断即可． 【详解】A. 沿此直线对折，两边能完全重合，是轴对称图形，故此项正确； 选项B、C、 D均找不到一条直线对折，使得直线两边的图形能完全重合，所以都不是轴对称图形，故此三项均错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义是解题的关键． 2. 2025年，中国科学家研发的新型纳米防水材料厚度仅为0.000000025米（25纳米），该材料可应用于航天器表面防护．根据《国家纳米技术发展规划》，此材料的大规模生产将推动微电子领域革新．将纳米材料厚度0.000000025米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据0.000000025用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：将纳米材料厚度0.000000025米用科学记数法表示为米． 故选：C． 3. 如图所示各图中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角，邻补角，三角形的外角，根据相关定义和性质，进行判断即可． 【详解】解：A、是邻补角，不一定相等，不符合题意； B、是对顶角，一定相等，符合题意； C、无法得到，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 4. 下列运算正确的是（ ） A 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等基本法则．需逐一验证各选项是否符合运算规则． 【详解】解：A、，结果应为，而非2，故A错误． B、，而非，故B错误． C、，而非，故C错误． D、与选项结果一致，故D正确． 故选D． 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上 C. 打开电视机在播放《新闻联播》 D. 在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； B、抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、打开电视机在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意； D、在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 6. 如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴折叠凳的宽可能为； 故选D． 7. 将一副三角尺如图摆放，其中点在边上，且，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，三角板的有关计算等知识，掌握相关知识是解题关键． 由题意可知，，再通过，得，最后根据平角定义即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．其数学原理是利用，判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握公理是解题的关键． 根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：∵O是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选A． 9. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到距离相等，均为的长， ∴； 故选B． 10. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③为正整数，且，若是“和谐数”，则； ④为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，由“和谐数”的定义即可得出的值； ④是“和谐数”， 由②知“和谐数”都是8的倍数，可设，则可为1，当，时计算得不是8的倍数，故不是“和谐数”． 【详解】① 观察“和谐数列”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 由“和谐数”的定义得可为9． 故③错误； ④是“和谐数”， 可设， 得， 可取得， 则，符合“和谐数”的定义， 假设，， 此时不是8的倍数， 不是”和谐数”． 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查平方差公式，完全平方公式，新定义下数字规律的探索，设参消元的知识，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，灵活应用公式进行计算． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，掌握整式的乘法运算法则成为解题的关键．运用多项式乘多项式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，点为的中点，则___________． 【答案】度## 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ，点为的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在蓝色区域的概率_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率，根据转盘中蓝区域的面积与圆的面积之比求解即可． 【详解】解：由题意得，黄色区域占转盘总面积的，红色区域占转盘总面积的，蓝色区域占转盘总面积的． ∴指针落在蓝色区域的概率为； 故答案为：． 14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度匀速往水槽中注水，13秒时注满水槽，水槽内水面的高度（厘米）与注水时间（秒）之间的关系如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过___________秒恰好将水槽注满． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键． 根据函数图像可得正方体的棱长为8厘米 ，同时可得水面上升从8厘米到16厘米，所用的时间为 8秒，结合前5秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了3秒可得答案． 【详解】解：由题意可得：5秒时，水槽内水面的高度为秒后水槽内水面高度变化趋势改变， ∴正方体的棱长为8厘米 ； ∵没有立方体时，水面上升从8厘米到16厘米，所用的时间为：秒， 前5秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了秒， ∴将正方体铁块取出，又经过3秒恰好将此水槽注满． 故答案为：3． 15. 如图，在中，，点为上一点，且，，以为边向右上方作，使得，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 延长至，使，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，通过线段的等量代换运算即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至，使， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为： 6． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）去绝对值，进行零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先算积的乘方，再根据单项式除以单项式，单项式乘以单项式的法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握去括号合并及合并同类项法则是解本题的关键．原式中括号里利用平方差公式，以及多项式乘单项式化简，去括号合并后，利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 如图，点在线段上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，据此证明，则可证明． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 19. 请把下面证明过程补充完整： 如图，在中，点，分别在边，上，，点在延长线上，平分．求证：． 证明：（已知） ___________（___________） （已知） ___________EF（___________） （___________） （___________） （___________） 平分（已知） ___________ （等量代换） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题干已有的思路作答即可． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 平分（已知）， ， （等量代换）． 20. 如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． （1）请在图中画出关于直线对称的图形； （2）的面积为________； （3）如图，点是的中点，请在直线上确定一点，使得的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接交直线于点，则点即为所求． 小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为． 故答案为：5． 【小问3详解】 解：如图，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求． 21. 一个不透明袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数 144 214 276 352 425 491 559 702 摸到红球频率 （1）表格中___________；（精确到） （2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球概率约为___________；（精确到） （3）若袋子中共有10个球，则除了红球，估计还有___________个其他颜色的球； （4）在（3）的条件下，往袋子中再放入4个白球，摇匀后从袋中随机摸出一球，摸到红球小明胜，摸到其他颜色的球小亮胜，你认为游戏对两人公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）估计还有3个其他颜色的球 （4）游戏公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）用702除以1000得到的值； （2）利用频率估计概率和随实验次数的增多，估计值越来越精确，从而可利用表中最后一个频率估计概率； （3）利用概率的意义计算出10个球中红球个数，然后计算出其他颜色的球的个数； （4）分别求出摸到红球和摸到其他颜色的球的概率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计摸出一个球恰好是红球的概率大约为， ∴袋子中有红球（个）， （个）， 估计还有3个其他颜色的球． 【小问4详解】 解：游戏公平．理由如下： 往袋子中再放入4个白球，则共有14个小球，其中红球有7个． （摸到红球）； （摸到其他颜色球）； （摸到红球）（摸到其他颜色球）， 游戏公平． 22. 如图，在中，边垂直平分线分别交、边于点和点，且． （1）连接，求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：边的垂直平分线为， ∴， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 23. 综合与实践 实践主题：我是城市建筑师 生活情境 我市在创设全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如下数据： 盆栽个数 2 3 4 5 6 … 护栏总长度（米） 5.4 a 13.8 18 b … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中___________，___________； （2）设有个盆栽，护栏总长度为米，则与之间的关系式是___________； （3）要在一条长度为144米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？ 【答案】（1）； （2） （3）护栏总长度为144米时盆栽的总个数为70个 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得与之间的关系式为，求解即可； （3）把代入y与x之间的关系式，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 当盆栽个数为3时，护栏总长度； 当盆栽个数为6时，护栏总长度； 故答案为：9.6；22.2； 【小问2详解】 解：根据题意得： y与x之间的关系式为； 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 道路两旁共需要加装70个花卉盆栽． 答：护栏总长度为144米时盆栽的总个数为70个． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④：． 图1对应公式___________，图2对应公式___________，图3对应公式___________，图4对应公式___________． （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； （3）两块完全相同的特制直角三角板如图5所示放置，其中，在同一直线上．连接，若，求一块特制直角三角板的面积． 【答案】（1）②，①，③，④ （2）， （3）27 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，多项式乘以多项式的图形问题， 对于（1），根据长方形的面积等于三个小长方形的面积和解答①；根据大长方形的面积等于四个小长方形的面积和解答②；根据大正方形的面积等于两个相等的长方形的面积加上两个小正方形的面积和解答③；最后根据中等正方形的面积等于大正方形的面积加上小正方形的面积减去两个长方形的面积解答④； 对于（2），根据解答，再根据解答即可； 对于（3），设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，由题意可得：，再根据求出，则此题可解． 【小问1详解】 解：②①③④； 【小问2详解】 解：由（1）可知：； . ∵， ， ； ∵， ， ； 【小问3详解】 解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， 即一块特制直角三角板的面积为27． 25. 【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． （1）【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 在和中 ___________ ②若，，则___________； （2）【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 【答案】（1）①；②5 （2），见解析 （3）42 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，以及线段之间的和差关系，熟记相关定理内容，合理借助辅助线构造全等三角形是进行几何推理的解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，由图中进行等量代换，即可得线段，，之间的数量关系； （3）过点作，交的延长线于点，图见解析．由两个三角形全等的判定定理得到，从而得到，则可根据求得，再由内错角相等证明，即可由“平行线间距离处处相等”得到的底为则高为，代入面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：①； ②， ，， ； 【小问2详解】 ；理由如下： 【小问3详解】 如图， 过点作，交的延长线于点， 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年七年级期末学业质量监测数学试题 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年，中国科学家研发的新型纳米防水材料厚度仅为0.000000025米（25纳米），该材料可应用于航天器表面防护．根据《国家纳米技术发展规划》，此材料的大规模生产将推动微电子领域革新．将纳米材料厚度0.000000025米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 3. 如图所示各图中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上 C. 打开电视机在播放《新闻联播》 D. 在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球 6. 如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 7. 将一副三角尺如图摆放，其中点在边上，且，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．其数学原理是利用，判断的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（ ） A 10 B. 9 C. 8 D. 7 10. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③为正整数，且，若是“和谐数”，则； ④为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 11. 计算：___________． 12. 如图，在中，，，点为中点，则___________． 13. 转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在蓝色区域的概率_________． 14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度匀速往水槽中注水，13秒时注满水槽，水槽内水面的高度（厘米）与注水时间（秒）之间的关系如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过___________秒恰好将水槽注满． 15. 如图，在中，，点上一点，且，，以为边向右上方作，使得，连接，则___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点在线段上，．求证：． 19. 请把下面证明过程补充完整： 如图，在中，点，分别在边，上，，点在延长线上，平分．求证：． 证明：（已知） ___________（___________） （已知） ___________EF（___________） （___________） （___________） （___________） 平分（已知） ___________ （等量代换） 20. 如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． （1）请在图中画出关于直线对称的图形； （2）的面积为________； （3）如图，点是的中点，请在直线上确定一点，使得的值最小． 21. 一个不透明袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数 144 214 276 352 425 491 559 702 摸到红球频率 （1）表格中___________；（精确到） （2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为___________；（精确到） （3）若袋子中共有10个球，则除了红球，估计还有___________个其他颜色的球； （4）在（3）的条件下，往袋子中再放入4个白球，摇匀后从袋中随机摸出一球，摸到红球小明胜，摸到其他颜色的球小亮胜，你认为游戏对两人公平吗？请说明理由． 22. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． （1）连接，求证：； （2）若，求的长． 23. 综合与实践 实践主题：我是城市建筑师 生活情境 我市在创设全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如下数据： 盆栽个数 2 3 4 5 6 … 护栏总长度（米） 5.4 a 13.8 18 b … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中___________，___________； （2）设有个盆栽，护栏总长度为米，则与之间的关系式是___________； （3）要在一条长度为144米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？ 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④：． 图1对应公式___________，图2对应公式___________，图3对应公式___________，图4对应公式___________． （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； （3）两块完全相同的特制直角三角板如图5所示放置，其中，在同一直线上．连接，若，求一块特制直角三角板的面积． 25. 【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． （1）【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 和中 ___________ ②若，，则___________； （2）【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$