2.4 用一元二次方程解决问题-课时1 面积问题与平均变化率问题 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦一元二次方程的应用，涵盖面积问题与平均变化率问题。包含学习目标、温故知新、情境导入、例题解析、基础过关练及课后测评，为学生提供从预习到巩固的完整学习支架，助力掌握实际问题建模方法。 资料特色突出核心素养，通过篱笆围矩形、产值增长等情境问题，引导学生用数学眼光观察现实世界。例题中强调设元、列方程、检验实际意义，培养数学思维与建模能力，分层练习适配不同学情。能提升学生应用意识，为教师提供系统教学资源，适合九年级学生应对升学考试重点。

第二章 一元二次方程 2.4 用一元二次方程解决问题 2.4.1 面积问题与平均变化率问题 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握面积类问题的等量关系，解决篱笆围地、道路等面积问题 掌握平均变化率（增长/下降）问题的模型，能解决增长率、下降率问题 掌握检验方程解的实际意义的方法，会舍去不合题意的根 经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会建模思想与数形结合思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 1. 矩形面积公式：S = 长×宽；正方形面积公式：S = 边长²​ 2. 列一元一次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答​ 3. 增长问题基础：原量a，增长率x，一次增长后为 思考：如果是连续两次增长，第二次的基数发生了变化，该怎么表示？ 温故知新 问题1：用一根长40 m的篱笆围成一个矩形花圃，花圃的面积为96 m²，求花圃的长和宽。 问题2：某工厂今年的产值为50万元，计划今后两年产值的年增长率相同，预计后年产值达到72万元，求年增长率。 情境导入 新知讲解：面积问题 找面积问题的等量关系的方法：(1)直接利用相应图形的面积公式列方程;(2)将不规则图形分割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积公式列出方程. 解题步骤： 审清题意 → 设未知数 → 用未知数表示相关线段 → 根据面积公式列方程 → 求解并检验实际意义 例题 1 【解析】设菜地垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为 由题意得： 整理得： 解得： 当时，，不符合墙长限制，舍去； 当时，，符合题意。 答：菜地的长为15 m，宽为10 m。 一块长方形菜地的面积为150 m²，菜地的一边靠墙（墙长18 m），另三边用总长为35 m的竹篱笆围成。求这块菜地的长和宽。 新知讲解：平均变化率问题 增长率问题： 原量为 a ，年平均增长率为 x ，则： 1 年后： 2 年后： n 年后： 下降率问题： 原量为 a ，年平均下降率为 x ，则 2 年后为： 关键：变化率的基数是上一年的量，不是最初的原量 例题 2 【解析】设平均每月增长的百分率为 x 由题意得： 两边同除以 开平方： 解得：（不合题意，舍去） 答：平均每月增长的百分率为 20%。 某商店6月份的利润为2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 用长20 m的篱笆围一个矩形花圃，面积为24 m²，设长为x m，可列方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均降价率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 判断题：面积问题中，方程的两个根都是符合题意的.（ ） B B × 基础过关练 4. 矩形场地长30 m，宽20 m，中间修一条宽 x m的横向道路，剩余面积为504 m²，可列方程为 . 5. 某厂产值两年内从100万增长到121万，则年平均增长率为 . 6. 直角三角形两条直角边的和为14，面积为24，则斜边长为 . 10% 10 课后测评·学业效果巩固 1. 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1 cm的正方形孔。已知正方形面积是圆面积的。设圆的半径为，根据题意可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 课后测评 C 【解析】由正方形孔的边长为1 cm，可得正方形的面积为。由圆的半径为，可得圆的面积为。由正方形面积是圆面积的，可列出方程为。 2. 甲、乙两个正方形的面积和为10，按图(1)放置，阴影部分面积为8，则按图(2)放置，阴影部分面积为（ ） A. B. C.8 D.10 课后测评 C 【解析】设甲、乙两个正方形的边长分别为a,b，且a>b。依题意得。由题图(1)得，解得。当时，；当时，，不符合，舍去。综上，按题图(2)放置，阴影部分面积为8，故选C。 3. 某工厂经过两年的时间将某种产品的产量从每年 14400 台提高到 16900 台。若设平均每年的增长率为 x ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 课后测评 A 【解析】根据题意，得，故选A。 4. 如图，某农家乐老板计划在一块长130 m，宽60 m的空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 。 课后测评 5 【解析】设垂钓通道的宽度为。由题意得，整理得，解得。当时，，不合题意，舍去，垂钓通道的宽度为，故答案为5。 5. 如图是一块长方形菜地，面积为。现将边AB增加1 m，边AD增加2 m，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 . 课后测评 【解析】根据题意得，有且只有一个a的值使之成立，，整理得，解得（舍去），的值是。 6. 某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售。 (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议，先公布降价10%，再下调30%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 课后测评 【解析】(1)设平均每次降价的百分率是 x。根据题意得，，解得（不合题意，舍去）。 答：平均每次降价的百分率为。 (2)售货员的方案对顾客更优惠。售货员的方案对顾客更优惠。 7. 某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是 2.5 万千克与 3.6 万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率相同。 (1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率。 (2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为 0.32 万千克。如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？ 课后测评 课后测评 【解析】(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 x 。 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）。 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为。 (2)设再增加 y 个销售点。 根据题意，得，解得。 为正整数，。 答：至少再增加 3 个销售点。 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.4 用一元二次方程解决问题 2.4.1 面积问题与平均变化率问题 $