暑期预习讲义（第5讲）——用一元二次方程解决问题 - 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

暑期预习讲义（第5讲）——用一元二次方程解决问题（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】列一元二次方程解应用题步骤 2 【知识点二】增长率问题（中考高频） 2 【题型 1】增长率问题 2 【知识点三】图形与面积问题（几何应用必考） 3 【题型 2】图形与面积问题 3 【知识点四】销售利润问题（重难点） 4 【题型 3】销售与利润问题（易错专攻） 4 【知识点五】传播与握手问题（计数模型） 5 【题型 4】传播与握手问题 5 【知识点六】数字问题（基础题型） 6 【题型 5】数字问题 6 【知识点六】动态几何问题（基础题型） 7 【题型 6】动态几何问题 7 二.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握等腰三角形所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】列一元二次方程解应用题步骤 列一元二次方程解应用题，统一遵循“审、设、列、解、验、答”六步解题法，中考阅卷按步骤给分： （1）审：审题，理清题目已知量、未知量，找准核心等量关系； （2）设：设未知数，一般直接设所求量为，必要时可间接设元； （3）列：根据等量关系，列出一元二次方程； （4）解：选用合适方法解方程，求出两个根； （5）验：双重检验：①检验是否为方程的根 ②检验是否符合实际意义（长度、人数、销量不能为负）； （6）答：规范作答，完整写出最终结果。 【特别提示】一元二次方程必有两个根，应用题中绝大多数情况需要舍去负根、不合理根，不检验直接作答会扣分。 【知识点二】增长率问题（中考高频） 通用公式（必背）：设基数为，平均增长率为，经过次增长后总量为：则 同样：平均下降率公式： 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． （1）求该企业年产值的年平均增长率； （2）2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·青海西宁·二模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________． 【变式3】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 【知识点三】图形与面积问题（几何应用必考） 核心思路：利用矩形、正方形、道路留白、边框裁剪等图形的面积公式列方程，常用“平移法”将不规则图形转化为规则图形。 【题型 2】图形与面积问题 【例题2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 【变式3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【知识点四】销售利润问题（重难点） 1. 核心公式：单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售数量 2. 解题规律：涨价→销量减少；降价→销量增加，根据利润固定值列方程。 【题型 3】销售与利润问题（易错专攻） 【例题3】（2026·贵州·三模）某商店用元购买一批新款书包进行销售． （1）当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ （2）根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 【变式1】（2026·甘肃临夏·模拟预测）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【变式3】（24-25八年级下·广西梧州·期末）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【知识点五】传播与握手问题（计数模型） 1. 传播问题公式：初始1个传染源，每轮每人传播人，经过轮传播：总人数 2. 握手/互赠问题公式： 【题型 4】传播与握手问题 【例题4】（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【变式3】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【知识点六】数字问题（基础题型） 核心思路：设个位、十位数字为未知数，用代数式表示两位数、三位数，根据数字关系列方程。 【题型 5】数字问题 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 【变式2】（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． （1）求这三个连续的自然数． （2）在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 【知识点六】动态几何问题（基础题型） 核心思路：设时间为未知数，用速度与时间表示线段长，根据图形间关系列方程。 【题型 6】动态几何问题 【例题6】（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （用含t的代数式表示）； （2）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （4）点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为____时，点P，Q相距； （2）当t为____时，与相似． 【变式3】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． （1）求的长； （2）当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； （3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·云南昆明·模拟预测）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 3．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·四川达州·期末）周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（   ）米． A．8 B． C．20 D．24 9．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）一曲高歌千古意！在河南博物院，随着华夏古乐团演出的场场爆满，需要将乐团进行壮大．原乐团彩排队伍有4行5列，现又增加了14人，若队伍增加的行、列数相同，设增加的行、列数为，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·四川遂宁·一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为__________． 13．（23-24九年级上·陕西延安·阶段检测）2023年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍x支，共比赛了210场，则根据题意可列方程：_____________． 14．（24-25九年级上·山西大同·期中）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为______． 15．（26-27九年级上·全国·周测）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出____________根支根． 16．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 17．（2026·浙江温州·二模）【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东佛山·期末）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．南海区某运动商城的自行车销售量自2025年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车100辆，4月份销售了144辆．求该商城2月到4月自行车销售量的月均增长率． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东汕尾·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软笔作品，它是长，宽的矩形．为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2． （1）若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为，求装裱后的作品面积． （2）若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的倍，求上边衬的宽度是多少？ 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， （1）则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ （2）若，当时，直接写出经过______秒后，． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，该头盔的进价为60元/个．经测算，当售价为89元/个时，平均日销售量为20个．该经销商为了响应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1元，平均日销售量增加2个． （1）若该头盔每个降价元，平均日销量为，写出与的函数关系式． （2）为使日销售利润达到756元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． （1）若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； （2）若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第5讲）——用一元二次方程解决问题（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】列一元二次方程解应用题步骤 1 【知识点二】增长率问题（中考高频） 2 【题型 1】增长率问题 2 【知识点三】图形与面积问题（几何应用必考） 4 【题型 2】图形与面积问题 4 【知识点四】销售利润问题（重难点） 7 【题型 3】销售与利润问题（易错专攻） 7 【知识点五】传播与握手问题（计数模型） 10 【题型 4】传播与握手问题 10 【知识点六】数字问题（基础题型） 12 【题型 5】数字问题 12 【知识点六】动态几何问题（基础题型） 15 【题型 6】动态几何问题 15 二.同步自测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握等腰三角形所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】列一元二次方程解应用题步骤 列一元二次方程解应用题，统一遵循“审、设、列、解、验、答”六步解题法，中考阅卷按步骤给分： （1）审：审题，理清题目已知量、未知量，找准核心等量关系； （2）设：设未知数，一般直接设所求量为，必要时可间接设元； （3）列：根据等量关系，列出一元二次方程； （4）解：选用合适方法解方程，求出两个根； （5）验：双重检验：①检验是否为方程的根 ②检验是否符合实际意义（长度、人数、销量不能为负）； （6）答：规范作答，完整写出最终结果。 【特别提示】一元二次方程必有两个根，应用题中绝大多数情况需要舍去负根、不合理根，不检验直接作答会扣分。 【知识点二】增长率问题（中考高频） 通用公式（必背）：设基数为，平均增长率为，经过次增长后总量为：则 同样：平均下降率公式： 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． （1）求该企业年产值的年平均增长率； （2）2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是根据“增长后的量增长前的量（增长率）”建立方程，并结合实际意义舍去负根． （1）设年平均增长率为，根据年和年的年产值，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性； （2）设月均增长率为，根据月销售额及第四季度总销售额，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性． 解：（1）解：设该企业年产值的年平均增长率为， 由题意得， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该企业年产值的年平均增长率为． （2）解：设、两个月销售额的月均增长率为， 由题意得， 整理得：，解得：（不符合题意，舍去），． 答：、两个月销售额的月均增长率为． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年平均增长率的计算方法，从2023年的初始里程推出2025年的里程表达式，结合已知2025年的里程即可列出方程． 解：∵2023年运营里程为公里，年平均增长率为.， ∴2024年运营里程为，2025年运营里程为.， 又∵2025年运营里程为公里， ∴可列方程为 ． 【变式2】（2026·青海西宁·二模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________． 【答案】 【分析】设年均增长率为，根据从2024年的30万人增加到2026的万人列方程求解即可． 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 【变式3】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 【答案】（1）；（2）万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设年均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． （2）根据（1）的结论，列出算式计算，即可求解． 解：（1）解：设年均增长率为，则， 解得（舍去负根）． 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）（万人） 答：预计明年2026年有万人参加此项活动． 【知识点三】图形与面积问题（几何应用必考） 核心思路：利用矩形、正方形、道路留白、边框裁剪等图形的面积公式列方程，常用“平移法”将不规则图形转化为规则图形。 【题型 2】图形与面积问题 【例题2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】（1）；（2）①拼图如下： ② 【分析】（1）由面积相等列出方程，求解出的值即可； （2）①将3张A和2张C拼成一列，3张C和2张B拼成一列即可； ②由面积相等列出方程，求解出的值，再求出长方形的长即可． 解：（1）解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； （2）①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 解：设剪去的正方形边长为，由题意，得． 【变式2】（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 【答案】 【分析】利用长方形的面积公式，依据已知条件，找出平行于墙的一边的长度，列出方程即可，再根据长方形的长度范围即可求出取值范围． 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得， ， ，， ，， ． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】（1）当长度是时，矩形花园的面积为；（2）不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 解：（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． （2）略 【知识点四】销售利润问题（重难点） 1. 核心公式：单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售数量 2. 解题规律：涨价→销量减少；降价→销量增加，根据利润固定值列方程。 【题型 3】销售与利润问题（易错专攻） 【例题3】（2026·贵州·三模）某商店用元购买一批新款书包进行销售． （1）当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ （2）根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 【答案】（1）该书包原来每个的进价是元；（2）每个书包的定价应为元 【分析】（1）利用两次购买书包数量相同的等量关系列分式方程求解，解分式方程后需要检验； （2）利用总利润单个利润销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合要让顾客得到实惠的条件，选择降价更多的定价即可； 解：（1） 解：设该书包原来每个的进价是元， 根据题意，可得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解， 答：该书包原来每个的进价是20元； （2）解：设每个书包降价元， 由（1）可知每个书包进价为20元，此时单个书包利润为元，销售量为个， 根据题意得 ， 解得：，， 因为需要让顾客得到实惠，因此选择更大的降价幅度，即，此时定价为（元）， 答：每个书包的定价应为30元． 【变式1】（2026·甘肃临夏·模拟预测）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 解：设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了-元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润等于每箱的利润乘以平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 【变式3】（24-25八年级下·广西梧州·期末）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】（1）；（2）元 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 解：（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 【知识点五】传播与握手问题（计数模型） 1. 传播问题公式：初始1个传染源，每轮每人传播人，经过轮传播：总人数 2. 握手/互赠问题公式： 【题型 4】传播与握手问题 【例题4】（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】（1）人；（2）人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 解：（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【变式1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 【变式3】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】（1）这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；（2）从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 解：（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【知识点六】数字问题（基础题型） 核心思路：设个位、十位数字为未知数，用代数式表示两位数、三位数，根据数字关系列方程。 【题型 5】数字问题 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 【变式2】（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． （1）求这三个连续的自然数． （2）在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 【答案】（1）三个连续的自然数是4，5，6；（2） 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）设这三个连续的自然数分别为， 根据题意可列方程为， 求出的值，即可得出答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两数之积大于20的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解：（1）解：∵两数的积的最大值是30且三个自然数是连续的，设这三个数是，x，，则， 解得（舍去），， ∴较大的两个数是5和6． 则三个连续的自然数是4，5，6． （2）树状图如下： ∴ 【知识点六】动态几何问题（基础题型） 核心思路：设时间为未知数，用速度与时间表示线段长，根据图形间关系列方程。 【题型 6】动态几何问题 【例题6】（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， ． （用含t的代数式表示）； （2）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （4）点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）；；（2）1秒后；（3）解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； （4）当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 解：（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为____时，点P，Q相距； （2）当t为____时，与相似． 【答案】 0或4 5或2 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）分两种情况：当时和当时，分别列式求解即可． 解：（1）由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 故答案为：或； （2）当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：5或2． 【变式3】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． （1）求的长； （2）当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； （3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16；（2）；（3）存在，满足条件的的值为秒或秒 【分析】（1）过点作于，根据题意证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果； （2）当四边形是平行四边形，则点在上，点在上，则，，根据平行四边形的性质可得，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可； （3）分两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在线段上时；根据三角形面积列方程计算即可． 解：（1）解：如图，过点作于， ，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ∴根据勾股定理得，， ； （2）解：当四边形是平行四边形， 则点在上，点在上， 如图， 由运动知，，， ， ， 此时，，，根据勾股定理得，； 四边形的周长为； （3）解：①当点在线段上时，即：时， 如图， ， ； ②当点在线段上时，即：时， 如图， ，， ， 或（舍）， 即：满足条件的的值为秒或秒． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·云南昆明·模拟预测）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 3．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系列方程．若设参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛，则总比赛场数为，即可列出方程． 解：∵参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 又∵总场数为， ∴可列方程为 ， 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可； 解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得： ， 故选：C． 7．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 8．（24-25九年级上·四川达州·期末）周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（   ）米． A．8 B． C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，根据长方形的面积公式建立方程，解方程可求出的值，再根据的值小于墙长即可得出答案． 解：设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则养鸡场的宽为（米）， 故选：A． 9．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）一曲高歌千古意！在河南博物院，随着华夏古乐团演出的场场爆满，需要将乐团进行壮大．原乐团彩排队伍有4行5列，现又增加了14人，若队伍增加的行、列数相同，设增加的行、列数为，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增加了14人，队伍增加的行、列数相同，列出方程即可． 解：设增加的行、列数为，由题意，得：； 故选B． 【点拨】本题考查一元二次方程的应用．正确的理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算年和年的空气优良天数的比例即可得出结论． 解：∵年苏州市空气优良天数的比例为， 又∵年的年平均增长率为， ∴年的空气优良天数的比例为，年的空气优良天数的比例为， ∴可列方程. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·四川遂宁·一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 【答案】5 【分析】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，设边框的宽为，由题意列出方程，然后解方程并检验即可，正确列出方程是解题的关键． 解：设边框的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的值是， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 解：设月平均增长率为x，则八月份销售额为万元，九月份销售额为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·陕西延安·阶段检测）2023年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍x支，共比赛了210场，则根据题意可列方程：_____________． 【答案】 【分析】设参赛队伍有支，根据每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，可列出方程． 解：设队伍有支， 根据题意得． 故答案为：． 【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程求解是解决问题的关键． 14．（24-25九年级上·山西大同·期中）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 15．（26-27九年级上·全国·周测）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出____________根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 16．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 17．（2026·浙江温州·二模）【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可，根据人均旅游费用不得低于500元取舍方程的解，即可求解． 解：根据题意得， 所以该旅行社的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 解得： 当时，人均费用＜，不符合要求；当时，人均费用，符合要求． 故这次旅游可以安排人参加． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东佛山·期末）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．南海区某运动商城的自行车销售量自2025年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车100辆，4月份销售了144辆．求该商城2月到4月自行车销售量的月均增长率． 【答案】 【分析】设该商城自行车销量的月均增长率为，根据题意得：，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用---增长率，熟练掌握解方程是解题的关键． 解：设该商城自行车销量的月均增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该商城自行车销量的月均增长率为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东汕尾·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软笔作品，它是长，宽的矩形．为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2． （1）若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为，求装裱后的作品面积． （2）若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的倍，求上边衬的宽度是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意及图形可直接进行求解； （2）设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，由题意易得，进而求解即可． 解：（1）解：由图可知：装裱后的作品面积为． 答：装裱后的作品面积为． （2）解：设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）； 答：此作品上边衬的宽度是． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 【答案】储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据题意列出方程求解即可． 解：设储藏x个星期出售这种农产品可获利20500元， 根据题意得：， 解得，，（舍去）， 答：储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， （1）则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ （2）若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】（1）8或10；（2）8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 解：（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，该头盔的进价为60元/个．经测算，当售价为89元/个时，平均日销售量为20个．该经销商为了响应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1元，平均日销售量增加2个． （1）若该头盔每个降价元，平均日销量为，写出与的函数关系式． （2）为使日销售利润达到756元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）；（2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】（1）根据降价和日销量的变化关系，直接写出与的函数关系式； （2）根据“总利润=单个头盔利润×日销售量”列一元二次方程求解，结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择降价更多的解，再计算出实际售价． 解：（1）已知售价为89元/个时，日销售量为20个，每降价1元，日销售量增加2个， 当降价元时，增加的日销售量为个， 因此可得， 结合实际意义，降价， ∴与的函数关系式为； （2）设该头盔每个降价元， 由题意可知，单个头盔的利润为元，日销售量为个，日总利润为756元， 因此列方程得： 整理得： 解得 要尽可能让顾客得到实惠，因此选择降价更多的， 实际售价为（元/个） 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． （1）若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； （2）若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 【答案】（1）；（2）人 解：（1）解：由题意得当时，人均费用为元， ， 有人参加活动，人均费用为元； （2）解：设有位研学团成员， 当时，，不符合题意， 当时，， 化简得， 方程两边同时除以得 ， 因式分解得， 解得、（舍去）， 当时，， 解得（舍去）， 答：研学团的人数为人． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $