精品解析：江西九江市2025-2026学年度下学期期末考试七年级数学试题卷

九江市2025−2026学年度下学期期末考试 七年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列平面图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 2. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概率的定义，指针落在空白区域的概率等于空白区域圆心角与周角度数的比值，即可求解． 【详解】解：空白区域的圆心角为，周角为， 故指针落在空白区域的概率为． 3. 如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除运算法则逐一计算，即可求解． 【详解】解：A、，A选项计算错误； B、，B选项计算错误； C、，C选项计算错误； D、，D选项计算正确． 5. 如图，将三角形纸片，沿折叠后，点落在点的位置．若，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出 ，利用平角定义求出 ，再根据折叠的性质得到 ，最后利用周角定义列式计算即可求解． 【详解】解：，  ， ∵折叠， ，  . 6. 用“特殊化”策略解决问题：如图，有两个边长都相同的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，四边形各边的中点分别为点、、、．若阴影部分的面积和为，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“特殊化”策略，将正方形旋转至边与正方形的边平行，此时重叠部分为正方形且面积为正方形面积的；根据中点性质可知阴影部分面积为重叠部分面积的，从而建立方程求解. 【详解】解：如图，当时，设正方形的面积为， 由对称性可知，四边形的面积为正方形的面积的， 阴影部分的面积为四边形的面积的， 故阴影部分的面积为正方形的面积的， ∴， ∴；即正方形的面积为16. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一种新型半导体材料的一个关键的原子间距为米，将这个数据用科学记数法表示为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，当原数的绝对值小于时，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数，即可求解． 【详解】解：对于原数，左起第一个非零数字为，前共有个零，因此取，， 故． 8. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断该事件的类型，再根据概率的定义求解，花生油滴入水中油浮在水面是必然发生的事件，直接根据必然事件的概率性质计算即可． 【详解】解：根据实际事实可知，将花生油滴入水中，油一定浮在水面上，因此该事件是必然事件．根据概率的定义，必然事件发生的概率为． 9. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据图中的程序算法过程，可得与之间的关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据流程图的顺序列出式子，再化简即可． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了程序框图和算法，解题的关键是根据所给顺序正确列式． 10. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，若，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行线的性质，三角形的外角的性质以及对顶角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图痕迹判断是的平分线，利用角平分线的性质得出的长，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：由作图可知，射线是的平分线， ∵， ∴， ∵点到直线的距离为，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴等于点到直线的距离，即， ∵，， ∴，的长为． 12. 在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解：是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又， ； 综上：的度数为或或. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 14. 化简求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据整式的运算法则把整式化简，可得：原式，再把字母的值代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ， 当，时 原式 ． 15. 如图，在正方形网格中，、、、、为网格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图： （1）作线段关于直线对称的线段； （2）在直线上作一点，使的值最小． 【答案】（1）线段即为所求 （2）点即为所求 【解析】 【分析】（1）根据网格的特征分别作出点、关于直线的对称点、，连接即可； （2）连接，与直线的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 理由：如图： ∵垂直平分， ∴， 故，即此时的值最小． 16. 一个不透明的口袋里装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出一个球，摸到____________球的概率小（填“白”或“红”）． （2）从口袋里取走个红球，放入个白球，充分摇匀．若随机摸出一个球是白球的概率是，求的值． 【答案】（1）白 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得摸到白球的概率和摸到红球的概率，即可解答； （2）取放后总球数个，其中白球个，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， ， ∴摸到白球的概率小； 【小问2详解】 解：取放后总球数个，其中白球个 则 则． 17. 请完善解答过程并在括号内填上相应的依据： 如图，已知，，平分，，试说明平分． 解：∵， ∴____________（___________________） ∵， ∴____________（___________________） ____________（等量代换） ∵平分， ， ， ____________． 平分 【答案】；两直线平行内错角相等；；两直线平行，同位角相等；； 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等得出，根据两直线平行，同位角相等得出，根据角平分线的定义得出，推得，根据角平分线的定义即可证明． 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 炎炎夏日，一池清水让人感觉清凉．为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水，换水时关闭进水孔打开排水孔．设某游泳池的存水量为立方米，以每小时立方米的速度匀速将水排出．借助智能系统得到了如下数据： 排水时间（/时） 1 2 3 4 游泳池的存水量（/立方米） （1）请直接写出________，________，________． （2）写出与的关系式并求排完水所用的时间． 【答案】（1），， （2）小时 【解析】 【小问1详解】 解：由表格可知，排水时间每增加1小时，游泳池的存水量减少立方米， 故， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，排水前的存水量为立方米， ， ∴排完水的时间为小时. 19. 如图，，，，． （1）试说明． （2）求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后根据，证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 回忆整式乘除学习过程，大致经历了先观察一些具体的数式运算，归纳总结规律，继而借助几何图形面积“算两次”，直观分析、解释规律． （1）观察下列各式计算过程并填空． ， ________， ________， …… （2）请类比（1）中计算过程计算：① ②． （3）图是长为，宽为的长方形，将其沿虚线剪开，拼成图的阴影部分，图的形状是一个大正方形中有一个边长为的小正方形（字母，为正数），请根据两图阴影部分面积不变写等式：________． 【答案】（1）； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）①根据平方差公式进行计算即可；②根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （3）根据阴影部分面积的两种不同的表达方式求解即可． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：①， ②． 【小问3详解】 解：图中，阴影部分面积为， 图中，∵,, ∴阴影部分面积为， 故． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学建模小组参观完滕王阁展台全息幻影成像后，结合“制作万花筒”综合实践课的学习经验，探索了光线与水平方向所夹角的关系．已知玻璃面与水平面的夹角，入射光线和反射光线与玻璃面所成的角相等，即，． （1）如图，和所在直线交于点，当时，的度数为________． （2）如图，当点在的垂直平分线上时，说明． （3）如图，当与两条射线的反向延长线始终相交于点时，数学建模小组惊奇地发现，和的数量关系不变．请写出和的关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：， ， 又， ， 当点在的垂直平分线上时，， ， 又， ， ， ． （3），理由如下： 根据题意可得，，， ∴在中， ， 在中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，结合题意和对顶角相等得出，根据三角形的外角性质即可求解； （2）根据直角三角形的性质得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，推得，根据平行线的判定定理即可证明； （3）根据题意和对顶角相等可得，根据直角三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，，即可求出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故， ∴， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人在终点处休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示． （1）甲的速度是________米分，乙的速度是________米分； （2）求乙追上甲时的路程； （3）当两人的距离为米时，求甲所用的时间． 【答案】（1），； （2）米； （3）分或分或分． 【解析】 【分析】甲先出发分钟共走了米，由此得到甲的速度；再用全程米除以时间即可得到乙的速度； 设乙追上甲所用的时间为分，则，然后解方程即可； 分乙未出发前，乙追上甲到达终点前，乙到达终点后，甲到达终点前三种情况即可求解． 【小问1详解】 解：甲的速度是（米分），乙的速度是（米分）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设乙追上甲所用的时间为分， 则， 解得， （米）， ∴乙追上甲时的路程为米； 【小问3详解】 解：乙未出发前，由图知， 当两人的距离为时，甲所用的时间为分； 乙追上甲到达终点前， 当两人的距离为米时， 则， 解得； 乙到达终点后，甲到达终点前， 当两人的距离为米时， 则， 解得， 综上：当两人的距离为米时，甲所用的时间为分或分或分． 六、解答题（本大题12分） 23. 等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 （1）如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 （3）如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． （4）在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【答案】（1） （2）解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）6 （4）所有满足条件的的长为或或 【解析】 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）同（1）思路求解即可； （3）根据求出，则．过点A作，交的延长线于点E，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （4）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到．若以点、、为顶点的三角形与全等，分点B，F均在点C上方，和点B，F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． ②若点B，F均在点C下方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2025−2026学年度下学期期末考试 七年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列平面图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形纸片，沿折叠后，点落在点的位置．若，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 用“特殊化”策略解决问题：如图，有两个边长都相同的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，四边形各边的中点分别为点、、、．若阴影部分的面积和为，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一种新型半导体材料的一个关键的原子间距为米，将这个数据用科学记数法表示为________米． 8. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上的概率是________． 9. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据图中的程序算法过程，可得与之间的关系式是______． 10. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，若，，则的度数是________． 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________． 12. 在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 化简求值：，其中，． 15. 如图，在正方形网格中，、、、、为网格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图： （1）作线段关于直线对称的线段； （2）在直线上作一点，使的值最小． 16. 一个不透明的口袋里装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出一个球，摸到____________球的概率小（填“白”或“红”）． （2）从口袋里取走个红球，放入个白球，充分摇匀．若随机摸出一个球是白球的概率是，求的值． 17. 请完善解答过程并在括号内填上相应的依据： 如图，已知，，平分，，试说明平分． 解：∵， ∴____________（___________________） ∵， ∴____________（___________________） ____________（等量代换） ∵平分， ， ， ____________． 平分 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 炎炎夏日，一池清水让人感觉清凉．为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水，换水时关闭进水孔打开排水孔．设某游泳池的存水量为立方米，以每小时立方米的速度匀速将水排出．借助智能系统得到了如下数据： 排水时间（/时） 1 2 3 4 游泳池的存水量（/立方米） （1）请直接写出________，________，________． （2）写出与的关系式并求排完水所用的时间． 19. 如图，，，，． （1）试说明． （2）求的度数． 20. 回忆整式乘除学习过程，大致经历了先观察一些具体的数式运算，归纳总结规律，继而借助几何图形面积“算两次”，直观分析、解释规律． （1）观察下列各式计算过程并填空． ， ________， ________， …… （2）请类比（1）中计算过程计算：① ②． （3）图是长为，宽为的长方形，将其沿虚线剪开，拼成图的阴影部分，图的形状是一个大正方形中有一个边长为的小正方形（字母，为正数），请根据两图阴影部分面积不变写等式：________． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学建模小组参观完滕王阁展台全息幻影成像后，结合“制作万花筒”综合实践课的学习经验，探索了光线与水平方向所夹角的关系．已知玻璃面与水平面的夹角，入射光线和反射光线与玻璃面所成的角相等，即，． （1）如图，和所在直线交于点，当时，的度数为________． （2）如图，当点在的垂直平分线上时，说明． （3）如图，当与两条射线的反向延长线始终相交于点时，数学建模小组惊奇地发现，和的数量关系不变．请写出和的关系，并说明理由． 22. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人在终点处休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示． （1）甲的速度是________米分，乙的速度是________米分； （2）求乙追上甲时的路程； （3）当两人的距离为米时，求甲所用的时间． 六、解答题（本大题12分） 23. 等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 （1）如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 （3）如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． （4）在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $