精品解析：福建省福清第一中学2023-2024学年高一下学期6月阶段性诊断练习数学试题（分班考）

2023—2024学年下学期高一年级阶段性诊断练习 数 学 试 题 2024.06 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 2．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 4．考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 因为，所以. 2. 已知直线平面，则过且与垂直的平面（ ） A. 有且仅有1个 B. 有且仅有2个 C. 有无数个 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】根据面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 又因为经过的平面有无数个，所以会有无数个平面垂直平面. 故选：C. 3. 设向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在方向上的投影向量为． 4. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 5. 已知某圆台的母线长为5，上、下底面半径分别为1、5，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆台的高为，则该圆台的体积为 6. 在中， 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，且，得， ，故， 取，由余弦定理： ． 7. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 8. 已知定义在上的函数 满足 ，且 为奇函数，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得到的一个周期为4，赋值法可求得的值，由周期性可求解；也可以通过取符合题意的三角函数直接求解. 【详解】解法一：∵为奇函数，∴， ∴，用替换得. 又∵，∴， ∴，∴，∴的一个周期为4. ∵，在中令可得， ∴， ∴. 解法二：由题设条件，不妨设， ∴，∴. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是关于 x 的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于x的方程的另一个根 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，则，所以，故A错误； 对于B，因为是关于 x 的方程在复数范围内的一个根， 则，即，则得，故B正确； 对于C，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，由上分析，可得关于 x 的方程在复数范围内的一个根， 设，由， 可知是关于 x 的方程在复数范围内的另一个根，故D正确． 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；由结合二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B正确； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，故的最小值为，C正确； 对于D选项， ， 当且仅当，该方程组无解，不符合题意，故等号不成立，D错误. 11. 已知 是棱长为 1 的正方体 表面上的动点，且，则（ ） A. 动点 的轨迹长度为 B. 的最大值为 C. 有且仅有两个点 ，使得 与所成的角为 D. 有且仅有三个点 ，使得三棱锥 的体积取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得动点的轨迹是以为球心，以为半径的球被三个平面所截得的三段圆弧，依次分析选项即可求解. 【详解】如图，不难发现动点的轨迹是以为球心，以为半径的球被三个平面所截得的三段圆弧． 选项A：由图可知，动点的轨迹长度为，故选项A正确； 选项B：由图可知，当位于点位置时，间达到最大距离，为，故选项B正确； 选项C：由图可知，当位于弧上时，与所成的角为，故选项C错误； 考查选项D：由图可知，平面平面，其中，，分别为，，的中点， ∴当与，，重合时，三棱锥的体积取得最大值，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是第三象限角，且 ，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题意，及同角三角函数的基本关系求出，，再根据两角和的正弦公式求解即可． 【详解】由，则，即， 由， 则，， 又是第三象限角，则，， 则，， 所以． 13. 写出一个同时具有下列性质①， ②， ③的函数， 其解析式可以为 ____________. ①，； ② 在 上单调递增； ③ 是偶函数. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由，可联想，再验证其满足条件①，②，③. 【详解】由，，可联想， 此时， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，函数为偶函数，满足条件③， 当，， 因为函数为增函数，所以函数在上单调递增，满足条件②. 所以是满足条件①，②，③的函数之一（答案不唯一）. 14. 记的面积为 S ，若 ，且 ， 则 的最小值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的数量积及三角形的面积公式列方程可求得，进而求得，根据正弦定理及向量的数量积可将用角表示，进而由三角恒等变换消去一个参数后可求解. 【详解】， 又，所以，解得， ∵，得， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴，∴的最小值为. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数. （1）求; （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为为奇函数， 则对定义域中的任意恒成立， 则，得或（舍）， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，，，所以， 因为，所以，则， 整理得，解得， ∵，∴， 不等式的解集为. 16. 已知点 是函数图象的一个对称中心，且A与相邻的对称中心的距离为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值与最小值之和为0，求正实数a的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，利用对称中心的性质结合求出，进而求出解析式； （2）先求出解析式，对进行讨论，求出的最小值为，进而求出正实数a的最小值． 【小问1详解】 设的最小正周期为，则，故， 由，得， 又，则， 故． 【小问2详解】 依题意，， ， ， 当时，的最大值为，最小值为，不符题意； 当时，的最大值为， 的最小值为， ，解得， 的最小值为． 17. 在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，且 （1）求A； （2）设D为BC的中点，若AD ，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式，得，再借助正弦定理，得，再利用余弦定理求出角A. （2）根据的面积为，求出，再根据 ，求出，从而得出的周长. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 由正弦定理，得， 所以，因为, 所以. 【小问2详解】 由（1）知，且， 则，所以， 又D为BC的中点， ， 则， 所以， 所以，所以，① 由（1）可得，，② 由①②可得，，解得， 又， 所以，所以的周长为. 18. 如图，以为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体的截面为，已知. （1）求该几何体的体积； （2）设 O 为的中点， 证明:平面； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）如图，取中点，连接，. 在直角梯形中，，. ∵，，∴，且， ∴四边形是平行四边形，∴. ∵平面，平面，∴平面 （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，切割成一个四棱锥和三棱柱，进而根据棱锥和棱柱的体积公式，求出结果即可； （2）根据线面平行的判定定理，由平行四边形的性质得出线线平行，进而说明线面平行即可； （3）根据二面角的平面角的概念，找到二面角的平面角，进而根据等体积法，求出线段长度，求出结果. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接，. 由题意可知，平面，. ∵且， ∴四边形是平行四边形，∴且， 同理，且，且. ∵是等边三角形，∴也是等边三角形， ∴四棱锥的高为. ∴四棱锥的体积为， 正三棱柱的体积为. ∴该几何体的体积为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 如图，过作垂直于，连接. 由(2)可知，，∵平面平面，且平面平面， 又因为，∴平面， 平面，∴，又，， ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角， 易知，，由等面积法可得， ∴，∴，∴， ∴二面角的余弦值为. 19. 若存在， 使得函数 f (x) 在区间 上单调递增， 且， 则称 为 的长度为的“2倍增区间”. （1）求函数的长度为 的“2倍增区间”； （2）已知区间为函数的长度为 b 的“2倍增区间”，且 ，证明： a < ; （3）若函数不存在“2倍增区间”，求实数 c 的取值范围. 【答案】（1） （2）∵是增函数，∴， ∵，∴， ∴整理可得，， ∴， ∴. （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，化简即可求出； （2）根据题意可得，结合，可得，化简即可求解； （3）分，和讨论，结合“2倍增区间”的定义即可求解. 【小问1详解】 设所求“2倍增区间”为， 则有，，且． ∴，即，解得． ∴函数的长度为的“倍增区间”为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，函数在单调递增，值域为． （i）当时，，不存在使得为“2倍增区间”； （ii）当时，，故不存在“2倍增区间”； （iii）令为 的长度为的“2倍增区间”，由， 得，由，得，则， ，因此，取，， 由在单调递增，且，，存在“倍增区间”． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年下学期高一年级阶段性诊断练习 数 学 试 题 2024.06 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 2．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 4．考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线平面，则过且与垂直的平面（ ） A. 有且仅有1个 B. 有且仅有2个 C. 有无数个 D. 不存在 3. 设向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆台的母线长为5，上、下底面半径分别为1、5，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中， 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， 且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知定义在上的函数 满足 ，且 为奇函数，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是关于 x 的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于x的方程的另一个根 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知 是棱长为 1 的正方体 表面上的动点，且，则（ ） A. 动点 的轨迹长度为 B. 的最大值为 C. 有且仅有两个点 ，使得 与所成的角为 D. 有且仅有三个点 ，使得三棱锥 的体积取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是第三象限角，且 ，则___________． 13. 写出一个同时具有下列性质①， ②， ③的函数， 其解析式可以为 ____________. ①，； ② 在 上单调递增； ③ 是偶函数. 14. 记的面积为 S ，若 ，且 ， 则 的最小值为_____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数. （1）求; （2）求不等式的解集. 16. 已知点 是函数图象的一个对称中心，且A与相邻的对称中心的距离为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值与最小值之和为0，求正实数a的最小值． 17. 在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，且 （1）求A； （2）设D为BC的中点，若AD ，且，求的周长. 18. 如图，以为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体的截面为，已知. （1）求该几何体的体积； （2）设 O 为的中点， 证明:平面； （3）求二面角的余弦值. 19. 若存在， 使得函数 f (x) 在区间 上单调递增， 且， 则称 为 的长度为的“2倍增区间”. （1）求函数的长度为 的“2倍增区间”； （2）已知区间为函数的长度为 b 的“2倍增区间”，且 ，证明： a < ; （3）若函数不存在“2倍增区间”，求实数 c 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $