第12讲 奇偶性（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第12讲 奇偶性 预习目标 知识回顾 1．掌握奇偶函数定义与图像特征，牢记定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提。 2．熟练运用定义法两步流程判断函数奇偶性，区分四类奇偶情况。 3．熟记奇偶函数核心性质，掌握原点有定义奇函数满足(f(0)=0)及对称区间单调性规律。 4．理解奇偶函数四则运算规律，能结合奇偶性完成求值、比较大小等基础题型。 1．掌握增减函数定义与图像特征，牢记定义三要素，能判断基础函数单调区间。 2．理解复合函数“同增异减”，分清单调性局部性质、最值整体性质，掌握最值几何意义。 3．熟练运用单调性求解单调区间、最值，规范解决各类基础相关习题。 新知导图 预习精讲 想一想 问题1：观察以下图片，你能否发现这些图形都有哪些特征？ 问题2：哪些函数图像也具有这种特征呢？ 知识点01 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意 （1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 定义法判断函数奇偶性步骤： 第一步：检验定义域对称性： 函数具备奇偶性的前提：定义域关于原点对称，满足：任意，都有。 若定义域不关于原点对称，函数直接判定为非奇非偶函数。 第二步：对比与的关系（定义域对称前提下） 若 偶函数，图像关于轴对称； 奇函数，图像关于原点对称； 且 非奇非偶函数； 且 既奇又偶函数，仅存在一类：，定义域关于原点对称 【即学即练】 1．函数的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数，不是奇函数. 故选：B. 2．若函数是奇函数，则实数______． 【答案】0 【详解】由题意，即，所以， 经检验，当，满足奇函数定义，符合题意. 知识点02 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 【即学即练】 3．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 题型速练 题型01 函数奇偶性的判定 【例1】已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 【例2】已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 必记结论 1.判断前提：定义域必须关于原点对称，不对称直接判定为非奇非偶函数。 2.标准两步判定法：先求定义域，再推导与的等量关系。 ①：偶函数；：奇函数 ②且：非奇非偶 ③同时满足两式：既奇又偶函数，仅有且定义域对称这一类。 3.图像快速判断：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点中心对称。 【小试牛刀】 【变式1-1】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 【变式1-2】已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 【答案】(1)， (2)为奇函数，证明详见解析. 【分析】 【详解】（1）由得，；由得，； 联立解得，，. （2）为奇函数. 证明：由（1）知，，定义域为， 则，所以， 所以为奇函数. 【变式1-3】若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 题型02 利用奇偶性求函数值 【例3】设是奇函数，且，则______． 【答案】 【详解】因为是奇函数，且， 所以，即. 【例4】已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 必记结论 1.奇函数忘记，直接写成。 2.函数在无定义，仍强行使用计算，出现错误。 3.多段函数求值时，未判断自变量所在分段，误用奇偶公式。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 【变式2-2】已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 【变式2-3】已知偶函数满足：当时，，则_______． 【答案】18 【详解】因为为偶函数，所以． 题型03 奇偶函数图象的特征 【例5】如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 【答案】A 【详解】依题意，是奇函数， 结合图象可知. 故选：A 【例6】设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据图像，当时，的解为， 因为函数为奇函数， 所以当时，若，即，则 所以，解得， 综合得不等式的解集是. 故选：C. 必记结论 1.偶函数：图像沿轴对折后两边完全重合；奇函数：绕原点旋转180°图像重合。 2.已知一侧图像，可利用对称关系画出另一侧完整图像。 3.奇函数图像若过原点，原点必为图像上一点。 【小试牛刀】 【变式3-1】如图，已知偶函数在y轴及y轴一侧的部分图像，作出的大致图像．    【答案】详见解析 【详解】偶函数的图象关于y轴对称，所以只需作出关于y轴对称的另一部分即可； 详见下图：    【变式3-2】如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 【变式3-3】已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为__________. 【答案】 【详解】由图可知，当时，，. 又函数是定义在区间上的一个偶函数， 所以当时，，且； 当时，，且. 综上可知，的解集为：. 故答案为： 题型04 利用奇偶性求参数 【例7】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 【例8】已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 必记结论 1.定义域含参数：根据定义域关于原点对称列等式，求解参数范围。 2.解析式含参数：由恒成立，对应同类项系数相等解方程。 3.分段函数奇偶性：两段均满足奇偶关系，分段端点取值也要匹配对称。 【小试牛刀】 【变式4-1】设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 【变式4-2】已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 【变式4-3】（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 题型05 利用奇偶性求对称区间上的函数解析式 【例9】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【例10】若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象并求出函数的解析式； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1） 当时，，所以， 又是定义在上的偶函数，所以当时，， 综上，函数的解析式为； （2）若有2个不同的实数解，即函数与直线有2个交点， 所以由（1）中图象可知，实数的取值范围为或， 即. 必记结论 1.已知解析式，求解析式：设，则，代入已知式得，再用奇偶性转化。 2.单独讨论，奇函数满足。 【小试牛刀】 【变式5-1】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 【变式5-2】已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 【变式5-3】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为，，单调递增区间为． (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，，单调递增区间为． （2）解：根据题意，令，则， 则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以 （3）解：当时，， 则， 其对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 故 题型06 利用奇偶性及构造方程组求解析式 【例11】已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 【例12】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 【答案】9 【详解】由题意知，，. 因为①， 则，即②， 由①②联立解得，. 所以. 故答案为：9 必记结论 1.题干同时含与，分别代入原式得到二元方程组。 2.联立方程组，消去，解出完整解析式。 3.最终解析式附带完整定义域。 【小试牛刀】 【变式6-1】设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是______． 【答案】 【详解】因为， 又因为是奇函数，是偶函数，所以． 由、解得． 故答案为： 【变式6-2】设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【答案】 【详解】因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即，得. 将代入， 得：, , , . 故答案为：. 【变式6-3】设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____. 【答案】/ 【详解】对任意，有即 所以，即， 因此. 当时，取得最大值. 故答案为： 题型07 奇偶性与单调性的结合——比较大小 【例13】设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. 【例14】已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连续的奇函数的定义域为，所以, 因为在上单调递减，在[0,2]上单调递增， 所以在上单调递减， 因为，， 所以,, 所以; 故选：B 必记结论 1.奇函数：原点对称区间单调性相同；偶函数：原点对称区间单调性相反。 2.先利用奇偶性把自变量统一转换到同一单调区间，再依据增减判断函数值大小。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 【变式7-2】定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（   ） A． B． C． D．，，大小关系不确定 【答案】C 【详解】因函数是上的奇函数，且在上为减函数， 则，又， 则，，， 即. 故选：C. 【变式7-3】（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 且在上均递增，则在上递减，在上递增， 对于A，由，可得， 但与的符号不能确定，所以和大小不确定， 即与大小不确定，所以A不正确； 对于B，由，因为， 又由， 因为，所以，所以 B正确； 对于C，由，则， 可得，即，所以C正确； 对于D，由， 且， 因为，可得，所以， 所以，所以D错误. 故选：BC. 题型08 奇偶性与单调性的结合——解不等式 【例15】若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 【例16】已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 必记结论 1.借助奇偶性统一自变量符号，再利用单调性脱去符号，转化普通不等式。 2.脱后必须同步限制所有自变量在定义域内，保证式子有意义。 3.偶函数不等式等价，简化计算。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 【变式8-2】已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 【变式8-3】已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 题型09 抽象函数性质的综合运用 【例17】已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 【例18】（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 【小试牛刀】 【变式9-1】（多选）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． 【变式9-2】（多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 【变式9-3】（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【详解】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 基础过关 1．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数运算规则可得, 易知，因此A正确，B错误； 则，可得C错误，D错误. 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 【答案】C 【详解】由已知得，则， 所以当时，， 所以，故． 3．已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 4．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 令，得．令，得． 所以． 6．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】根据题意，函数是偶函数，则， 即， 又由，， 则有，解可得． 验证：时，，， 要满足，即， 整理得，满足是奇函数， 所以. 7．（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的递减区间为 D．是奇函数 【答案】ACD 【详解】函数是反比例函数，结合反比例函数的性质可知， 的定义域为，关于原点对称，A选项正确； 的值域为，B选项错误； 的图象为一三象限双曲线，递减区间为，C选项正确； ，是奇函数，D选项正确. 故选：ACD 8．（多选）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 9．已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】1 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：1 10．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数，， 所以， 当时，单调递增， 所以，即， 解得， 不等式的解集为. 11．已知函数是定义在R上的偶函数．    (1)求函数的解析式； (2)在下图所给的坐称系中画出的图象，并写出函数的增区间． 【答案】(1) (2)图象见解析；递增区间为和 【分析】 【详解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，即， 又，， 所以， 当时，，所以， 所以. （2）    由图象可得，递增区间为和. 12．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 能力提升 13．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 14．已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若在上单调递增，例如， 满足，在区间上单调递增，但， 所以函数不是奇函数，所以充分性不成立； 若函数是奇函数，则， 且在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以在上单调递增，所以必要性成立； 综上所述：“在上单调递增”是“是奇函数”的必要不充分条件. 15．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 16．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 17．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 挑战一刻 18．（多选）（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】 【详解】由图象知定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，， 由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与轴交于点，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于时，的函数值从0趋近于， 的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于， 即的值可以取到， 又为奇函数， 所以的值域为，故D正确. 19．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 20．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 21．函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 【答案】 【详解】设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即， 所以当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为， ， 因为，所以， 当时，， 因为不等式恒成立，所以，即恒成立， 所以，即； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 综上，所以，即正实数的最小值为； 故答案为：；． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 奇偶性 预习目标 知识回顾 1．掌握奇偶函数定义与图像特征，牢记定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提。 2．熟练运用定义法两步流程判断函数奇偶性，区分四类奇偶情况。 3．熟记奇偶函数核心性质，掌握原点有定义奇函数满足(f(0)=0)及对称区间单调性规律。 4．理解奇偶函数四则运算规律，能结合奇偶性完成求值、比较大小等基础题型。 1．掌握增减函数定义与图像特征，牢记定义三要素，能判断基础函数单调区间。 2．理解复合函数“同增异减”，分清单调性局部性质、最值整体性质，掌握最值几何意义。 3．熟练运用单调性求解单调区间、最值，规范解决各类基础相关习题。 新知导图 预习精讲 想一想 问题1：观察以下图片，你能否发现这些图形都有哪些特征？ 问题2：哪些函数图像也具有这种特征呢？ 知识点01 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意 （1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 定义法判断函数奇偶性步骤： 第一步：检验定义域对称性： 函数具备奇偶性的前提：定义域关于原点对称，满足：任意，都有。 若定义域不关于原点对称，函数直接判定为非奇非偶函数。 第二步：对比与的关系（定义域对称前提下） 若 偶函数，图像关于轴对称； 奇函数，图像关于原点对称； 且 非奇非偶函数； 且 既奇又偶函数，仅存在一类：，定义域关于原点对称 【即学即练】 1．函数的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．若函数是奇函数，则实数______． 知识点02 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 【即学即练】 3．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 题型速练 题型01 函数奇偶性的判定 【例1】已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【例2】已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.判断前提：定义域必须关于原点对称，不对称直接判定为非奇非偶函数。 2.标准两步判定法：先求定义域，再推导与的等量关系。 ①：偶函数；：奇函数 ②且：非奇非偶 ③同时满足两式：既奇又偶函数，仅有且定义域对称这一类。 3.图像快速判断：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点中心对称。 【小试牛刀】 【变式1-1】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 【变式1-3】若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 题型02 利用奇偶性求函数值 【例3】设是奇函数，且，则______． 【例4】已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 必记结论 1.奇函数忘记，直接写成。 2.函数在无定义，仍强行使用计算，出现错误。 3.多段函数求值时，未判断自变量所在分段，误用奇偶公式。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式2-2】已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【变式2-3】已知偶函数满足：当时，，则_______． 题型03 奇偶函数图象的特征 【例5】如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 【例6】设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 必记结论 1.偶函数：图像沿轴对折后两边完全重合；奇函数：绕原点旋转180°图像重合。 2.已知一侧图像，可利用对称关系画出另一侧完整图像。 3.奇函数图像若过原点，原点必为图像上一点。 【小试牛刀】 【变式3-1】如图，已知偶函数在y轴及y轴一侧的部分图像，作出的大致图像．    【变式3-2】如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为__________. 题型04 利用奇偶性求参数 【例7】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例8】已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 必记结论 1.定义域含参数：根据定义域关于原点对称列等式，求解参数范围。 2.解析式含参数：由恒成立，对应同类项系数相等解方程。 3.分段函数奇偶性：两段均满足奇偶关系，分段端点取值也要匹配对称。 【小试牛刀】 【变式4-1】设 是定义在上的奇函数，则______ 【变式4-2】已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4-3】（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 题型05 利用奇偶性求对称区间上的函数解析式 【例9】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【例10】若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象并求出函数的解析式； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 必记结论 1.已知解析式，求解析式：设，则，代入已知式得，再用奇偶性转化。 2.单独讨论，奇函数满足。 【小试牛刀】 【变式5-1】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【变式5-2】已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【变式5-3】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 题型06 利用奇偶性及构造方程组求解析式 【例11】已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【例12】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 必记结论 1.题干同时含与，分别代入原式得到二元方程组。 2.联立方程组，消去，解出完整解析式。 3.最终解析式附带完整定义域。 【小试牛刀】 【变式6-1】设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是______． 【变式6-2】设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【变式6-3】设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____. 题型07 奇偶性与单调性的结合——比较大小 【例13】设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【例14】已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.奇函数：原点对称区间单调性相同；偶函数：原点对称区间单调性相反。 2.先利用奇偶性把自变量统一转换到同一单调区间，再依据增减判断函数值大小。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（   ） A． B． C． D．，，大小关系不确定 【变式7-3】（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 题型08 奇偶性与单调性的结合——解不等式 【例15】若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例16】已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 必记结论 1.借助奇偶性统一自变量符号，再利用单调性脱去符号，转化普通不等式。 2.脱后必须同步限制所有自变量在定义域内，保证式子有意义。 3.偶函数不等式等价，简化计算。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 题型09 抽象函数性质的综合运用 【例17】已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【例18】（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【小试牛刀】 【变式9-1】（多选）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 【变式9-2】（多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【变式9-3】（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 基础过关 1．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 3．已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 4．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 6．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的递减区间为 D．是奇函数 8．（多选）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 9．已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 10．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 11．已知函数是定义在R上的偶函数．    (1)求函数的解析式； (2)在下图所给的坐称系中画出的图象，并写出函数的增区间． 12．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 能力提升 13．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 14．已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 16．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 17．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 挑战一刻 18．（多选）（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 19．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 20．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $