第11讲 单调性与最大（小）值（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第11讲 单调性与最大（小）值 预习目标 知识回顾 1．熟记增、减函数定义及三大要点，能结合图像区分单调递增、递减的图像特征。 2．掌握一次、反比例、二次函数单调区间，理解复合函数“同增异减”判断法则。 3．掌握函数最值定义与几何含义，能区分单调性局部性质、最值整体性质的不同。 4．会利用单调性求解简单函数单调区间与最值，规范完成相关基础题型练习。 1．掌握解析法、图象法、列表法三种函数表示方法，明晰优缺点并灵活选用。 2．理解分段函数的定义与性质，会合并分段定义域值域，规范作图并规避易错点。 新知导图 预习精讲 想一想 问题：请看下面的函数图象，你能选用成语来描述下列函数图像的变化趋势吗？ 知识点01 函数的单调性 1．单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 注意 （1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 4．复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练】 1．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    知识点02 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意 （1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 3．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 4．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 题型速练 题型01 判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【例2】设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 必记结论 1．定义法证明步骤：任取区间内→作差→变形因式分解 / 通分→判断符号→下单调性结论。 2．图像判断：图像从左往右上升为增函数，下降为减函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【变式1-2】已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【变式1-3】已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 题型02 求函数的单调区间 【例3】已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【例4】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 必记结论 1．单调区间必须先确定定义域，区间只能在定义域内书写。 2．多个不连续单调区间之间用逗号隔开，不可用“”连接。 【小试牛刀】 【变式2-1】函数的单调递增区间为________． 【变式2-2】设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式2-3】已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 题型03 求复合函数的单调区间 【例5】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【例6】函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 必记结论 1．复合函数判定法则：同增异减，内外函数单调性相同则整体递增，相反则递减。 2．解题顺序：先求定义域→拆分内层、外层→分别写出内外单调区间→结合法则取交集。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的单调递减区间是________． 【变式3-2】函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【变式3-3】已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型04 已知函数的单调性求参数 【例7】（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 易错点 1．二次函数忽略二次项系数，直接套用一次函数规律。 2．分段单调遗漏分段端点大小关系，只保证单段增减。 【小试牛刀】 【变式4-1】设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【变式4-2】已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【变式4-3】如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 题型05 利用单调性解不等式、比较大小 【例9】已知函数的定义域为，命题“”是命题“是减函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例10】已知函数则不等式的解集为__________. 必记结论 1．比较函数值大小：自变量在同一单调区间，增函数自变量大则函数值大，减函数反之。 2．抽象函数不等式，借助单调性脱去，同时保证在定义域与单调区间内。 【小试牛刀】 【变式5-1】定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型06 求函数的最值 【例11】函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例12】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 易错点 1．二次函数不讨论对称轴位置，直接代入端点计算。 2．混淆值域边界，无法判断端点能否取到最值。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【变式6-2】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式6-3】（多选）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 题型07 根据最值求参数 【例13】函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例14】设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【小试牛刀】 【变式7-1】若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【变式7-2】已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【变式7-3】已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型08 不等式的恒成立问题 【例15】已知函数，当时，恒成立，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【例16】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 必记结论 1．恒成立；恒成立。 2．借助单调性快速求出函数最值，转化为参数不等式求解。 【小试牛刀】 【变式8-1】若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为________． 【变式8-3】已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 题型09 不等式的有解问题 【例17】已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 【例18】已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 必记结论 1．有解；有解。 2．区分恒成立与有解的最值逻辑，二者最值选取完全相反。 【小试牛刀】 【变式9-1】设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【变式9-2】已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式9-3】已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________ 基础过关 1．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 7．（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 8．（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 9．函数 的最大值为_____________． 10．函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 11．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 12．设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围； (3)若对于，恒成立，求的取值范围． 能力提升 13．已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 14．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 15．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 16．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 17．已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 挑战一刻 18．已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 单调性与最大（小）值 预习目标 知识回顾 1．熟记增、减函数定义及三大要点，能结合图像区分单调递增、递减的图像特征。 2．掌握一次、反比例、二次函数单调区间，理解复合函数“同增异减”判断法则。 3．掌握函数最值定义与几何含义，能区分单调性局部性质、最值整体性质的不同。 4．会利用单调性求解简单函数单调区间与最值，规范完成相关基础题型练习。 1．掌握解析法、图象法、列表法三种函数表示方法，明晰优缺点并灵活选用。 2．理解分段函数的定义与性质，会合并分段定义域值域，规范作图并规避易错点。 新知导图 预习精讲 想一想 问题：请看下面的函数图象，你能选用成语来描述下列函数图像的变化趋势吗？ 知识点01 函数的单调性 1．单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 注意 （1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 4．复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练】 1．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 2．已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______．    【答案】 和 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 故答案为：和， 知识点02 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意 （1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 3．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增， 所以． 4．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 【答案】B 【详解】由 设 所以当时，函数有最大值 所以在的最大值为， 故选：B. 题型速练 题型01 判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 【例2】设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【分析】 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 必记结论 1．定义法证明步骤：任取区间内→作差→变形因式分解 / 通分→判断符号→下单调性结论。 2．图像判断：图像从左往右上升为增函数，下降为减函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 【变式1-2】已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 【变式1-3】已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 【答案】(1)；证明见解析 (2)在上单调递减；证明见解析 【分析】 【详解】（1）令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时， （2）在上单调递减； 任取，且，则， 令，则， ， 由已知可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减； 题型02 求函数的单调区间 【例3】已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【详解】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 【例4】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 必记结论 1．单调区间必须先确定定义域，区间只能在定义域内书写。 2．多个不连续单调区间之间用逗号隔开，不可用“”连接。 【小试牛刀】 【变式2-1】函数的单调递增区间为________． 【答案】和 【详解】函数中，故定义域为和， 令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减， 在定义域和内单调递增， 的单调递增区间为和． 故答案为：和． 【变式2-2】设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 【变式2-3】已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1)作图见解析； (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.值域为. 【分析】 【详解】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 题型03 求复合函数的单调区间 【例5】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 【例6】函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 必记结论 1．复合函数判定法则：同增异减，内外函数单调性相同则整体递增，相反则递减。 2．解题顺序：先求定义域→拆分内层、外层→分别写出内外单调区间→结合法则取交集。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的单调递减区间是________． 【答案】 【详解】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 【变式3-2】函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【详解】对于函数，则，解得， 故函数的定义域为， 令，， 由可得，由可得或， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的增区间为、. 故选：B. 【变式3-3】已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 题型04 已知函数的单调性求参数 【例7】（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 【例8】已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 易错点 1．二次函数忽略二次项系数，直接套用一次函数规律。 2．分段单调遗漏分段端点大小关系，只保证单段增减。 【小试牛刀】 【变式4-1】设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 【变式4-2】已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 【变式4-3】如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 题型05 利用单调性解不等式、比较大小 【例9】已知函数的定义域为，命题“”是命题“是减函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：若，此时不能得到是减函数， 故命题“”不是命题“是减函数”的充分条件； 必要性，由是定义域为的减函数，则， 故命题“”是命题“是减函数”的必要条件， 即命题“”是命题“是减函数”的必要且不充分条件. 【例10】已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 必记结论 1．比较函数值大小：自变量在同一单调区间，增函数自变量大则函数值大，减函数反之。 2．抽象函数不等式，借助单调性脱去，同时保证在定义域与单调区间内。 【小试牛刀】 【变式5-1】定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 【变式5-2】（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 【变式5-3】若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 题型06 求函数的最值 【例11】函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 【例12】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 易错点 1．二次函数不讨论对称轴位置，直接代入端点计算。 2．混淆值域边界，无法判断端点能否取到最值。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 【变式6-2】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【变式6-3】（多选）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【答案】BC 【详解】由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为， 因为函数在上有最小值，可得， 又由函数， 当时，可得，在上单调递增，有最小值，无最大值； 当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值； 当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值， 综上可得，函数在上单调递增，有最小值，无最大值. 故选：BC. 题型07 根据最值求参数 【例13】函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 【例14】设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： 【小试牛刀】 【变式7-1】若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 【变式7-2】已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 【变式7-3】已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 题型08 不等式的恒成立问题 【例15】已知函数，当时，恒成立，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】当时，，故恒成立，即恒成立， 令，因为在上均是增函数， 所以在上是增函数， 故时， ，所以， 当时，，故恒成立，即恒成立， 在上是增函数， 故时， ，（当时取等号），所以， 综上，． 故选：A. 【例16】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】原不等式， 当时，显然上述不等式不成立， 当时，设， 要想当时，恒成立， 只需， 由，或， 由，或 所以不等式的解为，或， 故答案为： 必记结论 1．恒成立；恒成立。 2．借助单调性快速求出函数最值，转化为参数不等式求解。 【小试牛刀】 【变式8-1】若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，对恒成立， 且在的最小值为， 则. 故选：D. 【变式8-2】已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时，，解得． 当时，在上恒成立． 当，且，解得． 当，且，解得． 当，且，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 【变式8-3】已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 【详解】（1），设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 题型09 不等式的有解问题 【例17】已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，，由得， 故，， 由于在上单调递减，且， 故，所以； 当时，，由得， 故，， 由于在上单调递增，且， 故，所以； 当时，，由得， 故对恒成立，故满足要求； 当时，，同理可得满足要求； 综上，. 故答案为： 【例18】已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 必记结论 1．有解；有解。 2．区分恒成立与有解的最值逻辑，二者最值选取完全相反。 【小试牛刀】 【变式9-1】设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 【变式9-2】已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 【变式9-3】已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【详解】因为，则，， 可得， 可知在上的值域为， 又因为，可知在上是增函数， 且，， 可知在上的值域， 若对任意的，总存在，使得成立， 则 ，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为: . 基础过关 1．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故D错误． 2．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 3．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 4．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 5．已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又是函数图象上两点，故， 该函数是上的减函数，故， 解得，即不等式解集为， 故选：B． 6．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】函数， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 7．（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 8．（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 9．函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 10．函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【详解】函数是开口向上的二次函数， 其对称轴为直线： 二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调， 则对称轴需落在区间内，即. 故答案为：. 11．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 12．设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围； (3)若对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）当时，， 由，则，解得， 所以不等式的解集为. （2）函数开口向下，对称轴为， 要使函数在上不单调，则，解得， 则实数的取值范围为. （3）由，则， 即对于恒成立， 则，解得， 则的取值范围为. 能力提升 13．已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 【答案】D 【详解】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 14．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时． 15．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【详解】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 16．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 17．已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】 【详解】（1）因为图象的对称轴为． 又因为在上不单调，所以，解得． 即实数a的取值范围为． （2）由于区间的中点为， ①当，即时，， 所以，即，满足题意； ②当，即时，， 所以，即，满足题意． 综上可知，或． 挑战一刻 18．已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 19．已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 20．已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $