第04讲 基本不等式及其应用（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦基本不等式及其应用，覆盖直接求最值、变形综合应用、与函数等知识交汇等高考核心考点，按知识解构（4大知识点）-题型破译（9类题型）-方法技巧的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建解题思维，突破“一正二定三相等”等难点。 资料特色在于分层突破（基础演练+重难创新）和题型靶向训练，如通过“1的代换”“配凑法”等实例培养数学思维，结合真题溯源和课本典例强化数学语言表达，确保学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第04讲 基本不等式及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 基本不等式 知识点2 几个重要的不等式 知识点3 常见求最值模型 知识点4 利用基本不等式求最值的几种方法 题型破译 (含超链接） 题型1 基本不等式及其应用 【方法技巧】基本不等式及其应用 题型2 直接法求最值 题型3 配凑法求最值 题型4 常数代换法求最值 题型5 消元法求最值 题型6 多次使用基本不等式求最值 【方法技巧】多次使用基本不等式求最值 题型7 基本不等式的恒成立、有解问题 【方法技巧】基本不等式的恒成立、有解问题 题型8 利用基本不等式解决实际问题 【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题 题型9 基本不等式与其他知识交汇 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 基本不等式的直接应用（求最值） 天津卷 T13（5 分） 天津卷 T13（5 分） 基本不等式的变形与综合应用 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T19（部分分值，压轴题） 基本不等式与其他知识的交汇（函数、数列、解析几何等） 天津卷 T19（部分分值，压轴题） 考情分析 基础题（填空题）：以直接考查 “和定积最大、积定和最小” 为主，题型为填空题，位于试卷中后段（通常 T13），分值 5 分，难度中等偏易，是必须拿分的基础题。常见考法为给定正数，直接求最值，或通过简单变形（如 “1 的代换”）求最值。 压轴题（解答题）：常作为解题工具，融入函数、数列、解析几何等压轴题中，用于求参数范围、证明不等式、求最值等。这部分不单独命题，但对解题至关重要，是区分度的关键所在。 考查趋势：近三年考情显示，基本不等式很少单独考查，多与函数、数列、解析几何结合，且对 “配凑法”“换元法”“1 的代换” 等变形技巧要求较高，极少出现纯公式套用的简单题。 复习目标 1. 掌握核心公式与前提条件：理解基本不等式（a>0,b>0，当且仅当 a=b 时取等号）的推导过程，牢记 “一正、二定、三相等” 的使用前提，能快速判断基本不等式的适用条件。 2.熟练掌握常见变形与技巧： 掌握 “1 的代换”、配凑法（凑和定 / 积定）、换元法（整体换元转化为基本不等式）、分离常数法等常见变形技巧； 会用基本不等式解决简单的求最值问题，包括 “积定求和的最小值”“和定求积的最大值”，以及 “已知和求积、已知积求和” 的变形问题。 3.突破综合应用与压轴场景：能将基本不等式作为工具，解决函数、数列、解析几何中的最值问题、参数范围问题，尤其是结合导数、数列递推的压轴题场景，能识别可使用基本不等式的条件，合理构造不等式进行求解或证明。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 基本不等式 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 必记结论 1.基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.2.连续使用不等式要注意取得一致. 自主检测设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 知识点2 几个重要的不等式 1.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 必记结论 重要不等式与均值定理常用结论：两个正数满足调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。核心公式有 a²+b²≥2ab，a+b≥2√ab，积不大于两数和一半的平方。当数为正数时，数与它倒数的和不小于 2；两数同号时，两数与其倒数交叉相加也不小于 2。同时需掌握三角不等式、柯西不等式。运用均值定理必须遵循一正、二定、三相等的原则，多次使用时要保证等号能够同时成立，考试中常结合 1 的代换求解最值问题。 自主检测设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，，，， 当且仅当且，即时取等号，故①成立； 对于②，，， 当且仅当时取等号，不一定成立，故②不一定成立； 对于③，，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号，，，故③一定成立； 对于④，，当且仅当时取等号，故④一定成立. 故不等式一定成立的有3个， 故选：C 知识点3 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 必记结论 常见求最值模型结论：和定积最大、积定和最小；正数与倒数相加最小值为 2，负数则最大值为 - 2。两正数同号时，比值与其倒数和最小值为 2。已知两正数和为 1，常用 1 的代换求分式最值。也可通过配凑、分离常数变形，构造出定值后求解，所有模型均要满足一正、二定、三相等的要求。 自主检测已知，，且则的最小值为____________． 【答案】 【详解】已知，，且， 则，故， 令，则，代入得，解得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为. 知识点4 利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 必记结论 1.直接套用已知正数的和或积为定值，直接使用基本不等式求解最值，严格满足一正、二定、三相等。 2.配凑法式子不具备定值条件时，通过拆项、添项、调整系数，凑出和或积为定值的形式，再运用公式计算。 3.常数代换法（1 的代换）已知两个式子的和为定值，将所求式子整体乘定值，展开后构造出可用基本不等式的结构，多用于分式求和最值。 4.分离常数法针对分式型代数式，拆分式子消去分子变量，转化为简单分式加整式的形式，再结合不等式求最值。 5.换元法整体替换复杂代数式，简化式子结构，将陌生形式转化为常见模型，注意新变量的取值范围。 6. 多次运用不等式复杂题型需连续使用基本不等式，务必保证每一步等号成立的条件能够同时满足。 自主检测在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，设，，， 因为，，所以， 即，所以， 因为，所以，所以，又，所以， 又因为，所以，又，所以， 在中，，，， 根据，所以，，， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 由于为线段上的一点，则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，所以的最小值为. 题●型●破●译 题型1 基本不等式及其应用 例1-1（2026·天津·模拟预测）已知幂函数在区间上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【详解】由题意可知，解得，则，， 因为， 所以， 所以，即. 故选：A 例1-2若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 方法技巧 基本不等式及其应用 利用基本不等式求最值，核心遵循一正、二定、三相等三大原则。常用解题方法有直接套用、配凑变形、1 的代换、分离常数与整体换元。遇到和或积为定值可直接求解；无定值时通过拆项、添项凑出定值结构。已知两数和为定值时，多用 1 的代换处理分式最值。复杂分式可分离常数简化式子，复杂结构适合整体换元。多次使用不等式时，必须保证每一步等号成立条件一致，同时注意区分正负变量，灵活变形规避易错点。 【变式训练1-1】设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 【变式训练1-2】已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由基本不等式可得，A正确； 当时，B显然错误， 因为在上单调递减，故，C错误； 由可得，D错误． 故选：A． 【变式训练1-3】下列四个函数中，当时，使得恒成立的函数有（    ）个． ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意知且，所以； 对于①：，，则， ， 因为 ， 所以，即，故①正确； 对于②：，，则， ， 因为，所以，即，故②正确； 对于③：，，则， ， 因为，所以， 即，故③错误； 对于④：，，则， ， 因为，所以， 所以，故④错误. 故选：B 题型2 直接法求最值 例2-1已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 例2-2已知，若，则的最大值为___________． 【答案】/0.0625 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 又，所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 方法技巧 直接法求最值 直接法是运用基本不等式求最值的基础方法，使用前先判断变量均为正数。若几个正数的和为定值，可求乘积的最大值；若乘积为定值，可求和的最小值。解题时严格遵循一正、二定、三相等的要求，确认等号能够取到。该方法适用于式子结构简单、本身就具备定值条件的题型，无需额外变形，直接套用公式即可快速算出结果。 【变式训练2-1】已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)(2)12 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为． （2）因为， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为12． 【变式训练2-2】（1）已知，求的最大值． （2）已知，，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为； （2）因为，，，所以， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 【变式训练2-3】（1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）； （3） 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由，即，解得， 当或时，可得； 当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 题型3 配凑法求最值 例3-1（2026·天津·模拟预测）(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为)，所以, sy ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 例3-2已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 例3-3已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 方法技巧 配凑法求最值 配凑法是基本不等式常用解题技巧，适用于式子无现成定值的情况。通过拆项、添项、调整系数等方式，人为凑出和或积为定值的结构。解题先要保证变量为正数，配凑完成后再套用公式计算。务必检验等号能否成立，若多次配凑使用不等式，需确保所有等号条件可以同时满足，避免因变形不当出现解题错误。 【变式训练3-1】已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 【变式训练3-2】若，且，则的最小值为______. 【答案】8 【详解】依题意，，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8； 故答案为：8. 【变式训练3-3】若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 题型4 常数代换法求最值 例4-1已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为 __． 【答案】9 【详解】已知，，， ，即， ，，则， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为9． 例4-2已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 方法技巧 常数代换法求最值 常数代换法也常称 1 的代换，是基本不等式高频用法。一般已知两个正数的和为定值，将所求代数式与这个定值整体相乘，展开后拆分出可运用不等式的结构。解题先确认变量为正，展开整理后利用和定、积定规律求最值。最后一定要验证等号成立条件，该方法多用于分式求和类题型，解题思路固定，熟练掌握可快速解题。 【变式训练4-1·变载体】设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 【变式训练4-2】已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 【变式训练4-3】已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 题型5 消元法求最值 例5-1已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 例5-2已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为对任意实数，二次函数恒成立， 则，且， 令，则， 当且仅当时取等号. 故答案为：3． 方法技巧 消元法求最值 消元法适合多变量的最值问题，先根据题干给出的等式关系，用一个变量表示其余变量，将多原式转化为单变量代数式。转化后确定新变量的取值范围，再结合基本不等式求解。使用时牢记一正、二定、三相等的原则，严格检验等号能否取到。若变量存在范围限制，还需结合函数单调性辅助判断最终最值。 【变式训练5-1】已知正数a，b满足，则的最大值为________. 【答案】 【详解】由题意，，故， 因为正数a，b满足，故. 令，则，， 故. 又，故当且仅当，即时， 取最大值. 故答案为： 【变式训练5-2】已知a，b，，且，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】由，得，，当且仅当时取等号， 又，令，则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练5-3】已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 【答案】/0.5 【详解】，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时， ， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 故答案为：． 题型6 多次使用基本不等式求最值 例6-1已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________． 【答案】 6 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 例6-2已知正数满足，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】根据题意，由可得， 即 所以； 又因为均是正数，令，则 所以， 令， 则 当且仅当，即时，等号成立； 所以 所以的最小值为; 即当时，即时，等号成立. 故答案为： 方法技巧 多次使用基本不等式求最值 多次运用基本不等式求解最值时，每一步都要满足一正、二定、三相等的要求。最关键的是保证所有步骤的等号成立条件能够同时满足。解题时分步变形计算，逐一记录取等条件，最后联立验证。若条件无法同时成立，则该解法失效，需更换思路。此外也要留意变量正负，结合式子结构合理变形，避免出现逻辑漏洞。 【变式训练6-1】若实数m，n满足，则的最小值是___________. 【答案】/ 【详解】解析：令，则，因为，所以.从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【变式训练6-2】设，则最小值为________ 【答案】4 【详解】原式 ， ，则，，， ，， 当且仅当，时，即时等号成立， 又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4. 故答案为：4 【变式训练6-3】若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 【答案】 【详解】由题意，对任意实数，都有恒成立． 因为等价于且，所以原条件等价于对任意实数，都有且． 先整理第一个不等式，得对任意实数恒成立． 因为该式左边是关于的二次函数，且二次项系数为，所以需判别式不大于， 即，整理得，即， 故． 再整理第二个不等式，得对任意实数恒成立． 同理，需判别式不大于，即． 因为，所以必须有，即； 并且由，得． 结合与，可得． 令，则，且． 由，得． 因此． 当时，，且取，解得．此时，并满足上述两个判别式条件，所以原不等式对任意实数恒成立． 综上，的最大值为． 题型7 基本不等式的恒成立、有解问题 例7-1已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】若，当时，，，而， 乘积为负，不满足恒成立，故； 当时，乘积，解得， 则时，，故，不等式恒成立等价于， 对恒成立．由于二次函数开口向上，判别式， 故有两个实根，且根的乘积为，即一正一负．设正根为，则： 当时，；当时，． 当时，；当时，． 要使恒成立，需要二次函数的正根； 将代入，得，解得； 将代入，得； 由均值不等式，当且仅当时，即时等号成立； 又因为，满足，所以的最小值为． 故答案为：． 例7-2已知时，与在同一点取得相同的最小值；若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】，， ， ， ，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 在时，取得最小值3， 与在同一点取得相同的最小值， 在时，取得最小值3， ，， 将代入得到， 的不等式在上恒成立， 在上恒成立， 设，则在上恒成立， 则有，解得，即， 故有，则的取值范围是. 故答案为：. 方法技巧 基本不等式的恒成立、有解问题 解决基本不等式的恒成立与有解问题，核心是转化为最值问题。恒成立问题：若式子恒大于常数，只需求出式子最小值并使其大于该常数；若恒小于常数，则求式子最大值并使其小于常数。有解问题恰好相反，存在解即式子最值满足对应范围。求解时先用基本不等式算出最值，同时遵守一正二定三相等原则，最后结合题意列出不等式求解参数范围。 【变式训练7-1】已知对任意恒成立，若，则的最小值为____. 【答案】 【详解】令x=1，则，故. 因为对任意，所以恒成立， 当时，在R上恒成立， 则，因为，所以，符合题意， 此时； 当时，可得， 所以，即，此时，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，， 则 成立，所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练7-2】，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 【变式训练7-3】经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为7元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)；(2)年产量为9万件时年利润最大，为15万元. 【详解】（1）当时，变动成本， 代入利润公式， 当时，变动成本， 代入利润公式， 综上，年利润的函数解析式为； （2）当时， 是开口向下的二次函数， 其对称轴为，且在范围内，则最大利润万元， 当时，， 而，当且仅当时取等号，则最大利润万元， 因此，年产量为9万件时年利润最大，为15万元.  题型8 利用基本不等式解决实际问题 例8-1（2026·天津·一模）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 例8-2（2026·天津·模拟预测）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 方法技巧 利用基本不等式解决实际问题 解决基本不等式实际应用问题，首先读懂题意，梳理已知条件，合理设置变量。根据数量关系列出目标函数与约束条件，确定变量取值为正数。再结合式子结构选用对应方法求最值，严格遵循一正、二定、三相等原则，验证等号能否成立。最后结合实际场景检验结果，舍去不符合现实意义的答案，规范作答得出结论。 【变式训练8-1】长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为1：4，则该模型体积的最大值为______． 【答案】 【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为，又圆锥的母线长为， 圆锥的高为，则圆柱的高为， 该模型的体积 ，当且仅当，即时取得等号， 该模型的体积最大值为. 故答案为：. 【变式训练8-2】已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)米 【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 【变式训练8-3】在中，点是边上一点，且.边上存在点E满足，直线和交于点F，且，记，.当时，______（用和表示）；当时，则的最大值为________. 【答案】 【详解】， 则， 当时，； 又， 且、、三点共线，故，化简得，即， 则， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 题型9 基本不等式与其他知识交汇 例9-1在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 例9-2已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 方法技巧 基本不等式与其他知识交汇 基本不等式常与函数、数列、解析几何等知识综合考查。解题先结合对应知识点列式子，梳理变量关系与取值范围。再根据式子特点灵活选用配凑、代换、消元等方法，运用基本不等式求最值或范围。全程恪守一正、二定、三相等原则，验证等号成立条件。最后结合交汇知识的性质综合分析，完整解答问题。 【变式训练9-1】“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 【变式训练9-2】已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A选项，数列是公比为的等比数列，且，则，所以或，故错误； 对于B选项，若，当时，有，则，故错误； 对于C选项，数列是公比为的等比数列，则，， 又因，所以，所以，故正确； 对于D选项，当等比数列为公比为的非零常数列时，始终满足， 但不一定成立，故错误； 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 5．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为__________. 【答案】. 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． (1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； (2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 【答案】(1) (2)详见解析； 【分析】（1）先求出从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时，进而达到每小时通过的车辆求解； （2）由（1）的函数，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时小时， 则每小时通过的车辆为辆， 又因为当车速为60km/h时，安全车距为40m． 所以，解得， 所以某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数为： ， （2）由， 当且仅当，即时，等号成立， 显然不行，因为没有达到高速公路提速的目的. 2．某体育馆要建造一个长方体形游泳池，其容积为，深为3m．如果建造池底的单价是建造池壁单价的倍，怎样设计水池能使总造价最低？ 【答案】池底为边长的正方形时，游泳池总造价最低. 【分析】先求得游泳池总造价的表达式，再利用均值定理即可求得池底为边长的正方形时，游泳池总造价最低. 【详解】设池底的长为，则池底的宽为，令池壁的单价为元 则游泳池总造价为 由（当且仅当时等号成立）， 可得 故池底为边长的正方形时，游泳池总造价最低. 3．水下考古，潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸）、潜水员在潜人水下的过程中速度为，每分需氧量与速度平方成正比（当速度为时，每分需氧量）；在湖底工作时，每分需氧量为；返回水面时，速度也为，每分需氧量为．若下潜与上浮时速度不能超过，潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a，p为常数）    【答案】见解析 【分析】根据圆柱和圆台的体公式求出氧气的体积，表示出来回途中需氧量，从而可表示出在湖底的工作时间，然后和讨论即可. 【详解】氧气瓶中氧气的体积 ， 设潜入水下的过程中的每分钟需氧量为，则， 因为当速度为时，每分需氧量，所以， 所以来回途中需氧量为， 则在湖底的工作时间为， 因为，当且仅当时取等号， 所以当时，的最大值为， 当时，， 因为，所以， 所以 ， 即当时，在湖底的工作时间取最大值，为， 所以，当时，潜水员在湖底最多能工作， 当时，潜水员在湖底最多能工作 4．（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ （2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 【答案】（1）当两个正数都取时，它们的和最小；（2）当两个正数都取时，它们的积最大 【分析】由基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）设两正数为，则， 由基本不等式得，， 当且仅当时等号取到， 即当两个正数都取时，它们的和最小，最小为. （2）设两正数为，则， 由基本不等式得， ， 当且仅当时等号取到， 即当两个正数都取时，它们的积最大，最大为. 5．设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白．怎样确定画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张面积最小？ 【答案】高为，宽为时，宣传画所用纸张面积最小. 【分析】设画面高为，宽为，设纸张面积为，根据矩形的面积公式建立面积的表达式，然后根据基本不等求出函数的最值即可． 【详解】设画面高为，宽为， 则，由于，故， 设纸张面积为，则有 ， 将代入上式得 ， 当时，即时，取得最小值， 此时高：，宽： 6．（22-23高一·全国·课堂例题）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立． 【答案】证明见解析 【详解】因为，，， 所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立， 把上述三个式子的两边分别相加， 得，即． 当且仅当时等号成立． 7．如图，在中，，，，且.当的面积最小时，求a，b的值.    【答案】，. 【详解】由题意知，，由基本不等式，得. 因为，所以，故，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 因此，当的面积最小时，，. 8．甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地以速度v（单位：km/h）匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为a元，可变成本与速度v的平方成正比，比例系数为k．为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】 (km/h) 【分析】根据题意，建立全程运输成本关于速度v的函数关系式，利用基本不等式求最值. 【详解】汽车每小时的运输成本为元,全程行驶时间为h,设全程运输成本为y元,， 当且仅当，即时,等号成立. 所以为使全程运输成本最小,汽车应以 (km/h)的速度行驶. 9．为了保证某隧道内的行车安全，交通部门规定，隧道内的车距d（单位：m）正比于车速v（单位：km/h）的平方与自身长l（单位：m）的积，且车距不得小于半个车身长．而当车速为60（km/h）时，车距为1.44个车身长．当车速多大时，隧道的车流量最大？(车流量与车速成正比，与车头间距离为反比) 【答案】 【分析】根据已知条件即可列出函数关系式，先求出比例系数后，要使车流量最大，因为两车间距为，则两辆车头间的距离为，写出车流量表达式，然后根据基本不等式可求出所求． 【详解】由题意得：， ， 当，时，解得， ， 因为两车间距为，则两辆车头间的距离为， 由题意可知车流量与车速成正比，与车头间距离为反比， 可设为为比例系数， 故， 而，当且仅当 时取等号， 即，当且仅当 时取等号，取到最大值， 在交通繁忙时，应规定车速为，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多. 10．若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号， 故选：D 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考基本不等式基础演练侧重核心考点与常规题型。重点考查公式的直接运用，强化 “一正、二定、三相等” 使用条件。高频题型包含和定积最大、积定和最小，以及 1 的代换、简单配凑类最值计算。同时设置分式、双变量基础题型，检验学生对配凑、消元、常数代换等常用方法的掌握。题目难度偏低，立足课本知识，侧重基础运算与思路规范，也会融入少量简单知识交汇题型，夯实解题基本功，规避忽略等号条件、未判断正负等常见错误。 1．已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 2．已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为：. 3．已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 【答案】8 【详解】当时，函数， 故函数且）的图象恒过定点， ，， ， 根据均值不等式可得，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 4．已知，，且，则的最小值为__________. 【答案】16 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以取得最小值16. 故答案为：16. 5．已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 6．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】当时，，二次函数对称轴为， 由的最小值为，得，此时的最小值为， 当时，，当且仅当时，等式成立， 此时在上的最小值为， 因为的最小值为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7．若正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】/ 【详解】因为，且，为正实数， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 8．设函数，. (1)若不等式的解集，求，的值； (2)若，，，求的最小值，并求出取最小值时､的值； (3)若，且，求不等式的解集. 【答案】(1)(2)最小值为9，此时(3)答案见详解 【详解】（1）因为不等式的解集， 可知方程的根为，且， 则，解得. （2）若，，，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9，此时. （3）若，且， 则，可得， 令，解得或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为. 9．已知，则的最小值为_________. 【答案】7 【详解】由题意，且 所以，则， 又， 令， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最小值为7. 故答案为：7 10．在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________. 【答案】 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，， 故， 可得， 因 当且仅当，即时等号成立. 又因为N*，故等号不成立. 则由可得可能的数组为，分别计算的值为， 比较可知，当时，取得最小值. 故答案为：. 重难·创新演练 设题创新:重难创新演练打破单一题型模式，侧重综合考查。创新点集中在多变量复杂变形、多次连用基本不等式，重点考查等号条件的综合验证。结合函数、数列、几何等知识交叉命题，搭配参数范围、恒成立、有解类问题。同时增设隐蔽定值、需要灵活配凑与消元的题型，弱化直接套用公式的考法，侧重考查逻辑思维与知识迁移能力。 1．下列命题中： ①已知，且，则的最小值为6； ②奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则； ③若函数的定义域为，则函数的定义域为； ④已知，若不等式恒成立，则的最大值是6： ⑤已知，且，则最小值为． 正确命题序号为___________． 【答案】①②④⑤ 【详解】①，且， 所以，所以， 当且仅当取的最小值为6，①正确； ②奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为， 则，②正确； ③函数的定义域为，则， 函数满足， 则的定义域为，③错误； ④，若不等式恒成立，则， ，， 当且仅当，即时取等号，所以，的最大值是6，④正确； ⑤，且， 则， ， ， 当且仅当，即时去等号， 所以的最小值为，⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 2．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，易知单调递增， 由正态分布的对称性可知， 所以， 由，得， 所以, 即的最小值为， 故选：B． 3．若，则取得最小值时，__________. 【答案】 【详解】由 可整理得，得， 所以， 当且仅当即时取等号，结合，解得， 故答案为：. 4．已知，,若，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 【答案】9 【详解】由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得， 由， 当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为9. 故答案为：9. 6．已知，且，则最小值为______________． 【答案】 【详解】因为， 又，所以. 则， 当且仅当即时取等号. 故答案为： 7．已知，，若的最大值为，且不等式 的解集为， 则 _____. 【答案】 【详解】根据不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为，所以. 所以不等式的解集为. 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知， 和是关于的方程的两个解， 所以有，所以，所以. 故答案为： 8．在中，已知，且，则______；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为_____． 【答案】 2 / 【详解】在中，， 则，而，于是，，即， 由，得，因此； 由，得，又点在线段上， 则，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 9．已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为15， 因为恒成立， 所以，即， 解得，则实数的取值范围为. 故答案为： 10．直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 【答案】9 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 基本不等式 知识点2 几个重要的不等式 知识点3 常见求最值模型 知识点4 利用基本不等式求最值的几种方法 题型破译 (含超链接） 题型1 基本不等式及其应用 【方法技巧】基本不等式及其应用 题型2 直接法求最值 题型3 配凑法求最值 题型4 常数代换法求最值 题型5 消元法求最值 题型6 多次使用基本不等式求最值 【方法技巧】多次使用基本不等式求最值 题型7 基本不等式的恒成立、有解问题 【方法技巧】基本不等式的恒成立、有解问题 题型8 利用基本不等式解决实际问题 【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题 题型9 基本不等式与其他知识交汇 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 基本不等式的直接应用（求最值） 天津卷 T13（5 分） 天津卷 T13（5 分） 基本不等式的变形与综合应用 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T19（部分分值，压轴题） 基本不等式与其他知识的交汇（函数、数列、解析几何等） 天津卷 T19（部分分值，压轴题） 考情分析 基础题（填空题）：以直接考查 “和定积最大、积定和最小” 为主，题型为填空题，位于试卷中后段（通常 T13），分值 5 分，难度中等偏易，是必须拿分的基础题。常见考法为给定正数，直接求最值，或通过简单变形（如 “1 的代换”）求最值。 压轴题（解答题）：常作为解题工具，融入函数、数列、解析几何等压轴题中，用于求参数范围、证明不等式、求最值等。这部分不单独命题，但对解题至关重要，是区分度的关键所在。 考查趋势：近三年考情显示，基本不等式很少单独考查，多与函数、数列、解析几何结合，且对 “配凑法”“换元法”“1 的代换” 等变形技巧要求较高，极少出现纯公式套用的简单题。 复习目标 1. 掌握核心公式与前提条件：理解基本不等式（a>0,b>0，当且仅当 a=b 时取等号）的推导过程，牢记 “一正、二定、三相等” 的使用前提，能快速判断基本不等式的适用条件。 2.熟练掌握常见变形与技巧： 掌握 “1 的代换”、配凑法（凑和定 / 积定）、换元法（整体换元转化为基本不等式）、分离常数法等常见变形技巧； 会用基本不等式解决简单的求最值问题，包括 “积定求和的最小值”“和定求积的最大值”，以及 “已知和求积、已知积求和” 的变形问题。 3.突破综合应用与压轴场景：能将基本不等式作为工具，解决函数、数列、解析几何中的最值问题、参数范围问题，尤其是结合导数、数列递推的压轴题场景，能识别可使用基本不等式的条件，合理构造不等式进行求解或证明。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 基本不等式 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 必记结论 1.基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.2.连续使用不等式要注意取得一致. 自主检测设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 几个重要的不等式 1.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值________平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有______”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有______”. 必记结论 重要不等式与均值定理常用结论：两个正数满足调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。核心公式有 a²+b²≥2ab，a+b≥2√ab，积不大于两数和一半的平方。当数为正数时，数与它倒数的和不小于 2；两数同号时，两数与其倒数交叉相加也不小于 2。同时需掌握三角不等式、柯西不等式。运用均值定理必须遵循一正、二定、三相等的原则，多次使用时要保证等号能够同时成立，考试中常结合 1 的代换求解最值问题。 自主检测设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 必记结论 常见求最值模型结论：和定积最大、积定和最小；正数与倒数相加最小值为 2，负数则最大值为 - 2。两正数同号时，比值与其倒数和最小值为 2。已知两正数和为 1，常用 1 的代换求分式最值。也可通过配凑、分离常数变形，构造出定值后求解，所有模型均要满足一正、二定、三相等的要求。 自主检测已知，，且则的最小值为____________． 知识点4 利用基本不等式求最值的几种方法 (1)________：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)________：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)________：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)________：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 必记结论 1.直接套用已知正数的和或积为定值，直接使用基本不等式求解最值，严格满足一正、二定、三相等。 2.配凑法式子不具备定值条件时，通过拆项、添项、调整系数，凑出和或积为定值的形式，再运用公式计算。 3.常数代换法（1 的代换）已知两个式子的和为定值，将所求式子整体乘定值，展开后构造出可用基本不等式的结构，多用于分式求和最值。 4.分离常数法针对分式型代数式，拆分式子消去分子变量，转化为简单分式加整式的形式，再结合不等式求最值。 5.换元法整体替换复杂代数式，简化式子结构，将陌生形式转化为常见模型，注意新变量的取值范围。 6. 多次运用不等式复杂题型需连续使用基本不等式，务必保证每一步等号成立的条件能够同时满足。 自主检测在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 基本不等式及其应用 例1-1（2026·天津·模拟预测）已知幂函数在区间上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 例1-2若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 基本不等式及其应用 利用基本不等式求最值，核心遵循一正、二定、三相等三大原则。常用解题方法有直接套用、配凑变形、1 的代换、分离常数与整体换元。遇到和或积为定值可直接求解；无定值时通过拆项、添项凑出定值结构。已知两数和为定值时，多用 1 的代换处理分式最值。复杂分式可分离常数简化式子，复杂结构适合整体换元。多次使用不等式时，必须保证每一步等号成立条件一致，同时注意区分正负变量，灵活变形规避易错点。 【变式训练1-1】设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列四个函数中，当时，使得恒成立的函数有（    ）个． ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 直接法求最值 例2-1已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 例2-2已知，若，则的最大值为___________． 方法技巧 直接法求最值 直接法是运用基本不等式求最值的基础方法，使用前先判断变量均为正数。若几个正数的和为定值，可求乘积的最大值；若乘积为定值，可求和的最小值。解题时严格遵循一正、二定、三相等的要求，确认等号能够取到。该方法适用于式子结构简单、本身就具备定值条件的题型，无需额外变形，直接套用公式即可快速算出结果。 【变式训练2-1】已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【变式训练2-2】（1）已知，求的最大值． （2）已知，，，求的最小值. 【变式训练2-3】（1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 题型3 配凑法求最值 例3-1（2026·天津·模拟预测）(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 例3-2已知，，且，则的最小值是______. 例3-3已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 方法技巧 配凑法求最值 配凑法是基本不等式常用解题技巧，适用于式子无现成定值的情况。通过拆项、添项、调整系数等方式，人为凑出和或积为定值的结构。解题先要保证变量为正数，配凑完成后再套用公式计算。务必检验等号能否成立，若多次配凑使用不等式，需确保所有等号条件可以同时满足，避免因变形不当出现解题错误。 【变式训练3-1】已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式训练3-2】若，且，则的最小值为______. 【变式训练3-3】若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 题型4 常数代换法求最值 例4-1已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为 __． 例4-2已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 方法技巧 常数代换法求最值 常数代换法也常称 1 的代换，是基本不等式高频用法。一般已知两个正数的和为定值，将所求代数式与这个定值整体相乘，展开后拆分出可运用不等式的结构。解题先确认变量为正，展开整理后利用和定、积定规律求最值。最后一定要验证等号成立条件，该方法多用于分式求和类题型，解题思路固定，熟练掌握可快速解题。 【变式训练4-1·变载体】设为正数，且，则的最小值为___________ 【变式训练4-2】已知，且，则的最小值为___________． 【变式训练4-3】已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 题型5 消元法求最值 例5-1已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例5-2已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______． 方法技巧 消元法求最值 消元法适合多变量的最值问题，先根据题干给出的等式关系，用一个变量表示其余变量，将多原式转化为单变量代数式。转化后确定新变量的取值范围，再结合基本不等式求解。使用时牢记一正、二定、三相等的原则，严格检验等号能否取到。若变量存在范围限制，还需结合函数单调性辅助判断最终最值。 【变式训练5-1】已知正数a，b满足，则的最大值为________. 【变式训练5-2】已知a，b，，且，则的最小值为___________. 【变式训练5-3】已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 题型6 多次使用基本不等式求最值 例6-1已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________． 例6-2已知正数满足，则的最小值是_________． 方法技巧 多次使用基本不等式求最值 多次运用基本不等式求解最值时，每一步都要满足一正、二定、三相等的要求。最关键的是保证所有步骤的等号成立条件能够同时满足。解题时分步变形计算，逐一记录取等条件，最后联立验证。若条件无法同时成立，则该解法失效，需更换思路。此外也要留意变量正负，结合式子结构合理变形，避免出现逻辑漏洞。 【变式训练6-1】若实数m，n满足，则的最小值是___________. 【变式训练6-2】设，则最小值为________ 【变式训练6-3】若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 题型7 基本不等式的恒成立、有解问题 例7-1已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 例7-2已知时，与在同一点取得相同的最小值；若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是______ 方法技巧 基本不等式的恒成立、有解问题 解决基本不等式的恒成立与有解问题，核心是转化为最值问题。恒成立问题：若式子恒大于常数，只需求出式子最小值并使其大于该常数；若恒小于常数，则求式子最大值并使其小于常数。有解问题恰好相反，存在解即式子最值满足对应范围。求解时先用基本不等式算出最值，同时遵守一正二定三相等原则，最后结合题意列出不等式求解参数范围。 【变式训练7-1】已知对任意恒成立，若，则的最小值为____. 【变式训练7-2】，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【变式训练7-3】经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为7元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 题型8 利用基本不等式解决实际问题 例8-1（2026·天津·一模）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 例8-2（2026·天津·模拟预测）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 方法技巧 利用基本不等式解决实际问题 解决基本不等式实际应用问题，首先读懂题意，梳理已知条件，合理设置变量。根据数量关系列出目标函数与约束条件，确定变量取值为正数。再结合式子结构选用对应方法求最值，严格遵循一正、二定、三相等原则，验证等号能否成立。最后结合实际场景检验结果，舍去不符合现实意义的答案，规范作答得出结论。 【变式训练8-1】长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为1：4，则该模型体积的最大值为______． 【变式训练8-2】已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【变式训练8-3】在中，点是边上一点，且.边上存在点E满足，直线和交于点F，且，记，.当时，______（用和表示）；当时，则的最大值为________. 题型9 基本不等式与其他知识交汇 例9-1在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例9-2已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 方法技巧 基本不等式与其他知识交汇 基本不等式常与函数、数列、解析几何等知识综合考查。解题先结合对应知识点列式子，梳理变量关系与取值范围。再根据式子特点灵活选用配凑、代换、消元等方法，运用基本不等式求最值或范围。全程恪守一正、二定、三相等原则，验证等号成立条件。最后结合交汇知识的性质综合分析，完整解答问题。 【变式训练9-1】“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 4．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 5．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为__________. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． (1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； (2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 2．某体育馆要建造一个长方体形游泳池，其容积为，深为3m．如果建造池底的单价是建造池壁单价的倍，怎样设计水池能使总造价最低？ 3．水下考古，潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸）、潜水员在潜人水下的过程中速度为，每分需氧量与速度平方成正比（当速度为时，每分需氧量）；在湖底工作时，每分需氧量为；返回水面时，速度也为，每分需氧量为．若下潜与上浮时速度不能超过，潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a，p为常数）    4．（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ （2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 5．设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白．怎样确定画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张面积最小？ 6．（22-23高一·全国·课堂例题）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立． 7．如图，在中，，，，且.当的面积最小时，求a，b的值.    8．甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地以速度v（单位：km/h）匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为a元，可变成本与速度v的平方成正比，比例系数为k．为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 9．为了保证某隧道内的行车安全，交通部门规定，隧道内的车距d（单位：m）正比于车速v（单位：km/h）的平方与自身长l（单位：m）的积，且车距不得小于半个车身长．而当车速为60（km/h）时，车距为1.44个车身长．当车速多大时，隧道的车流量最大？(车流量与车速成正比，与车头间距离为反比) 10．若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考基本不等式基础演练侧重核心考点与常规题型。重点考查公式的直接运用，强化 “一正、二定、三相等” 使用条件。高频题型包含和定积最大、积定和最小，以及 1 的代换、简单配凑类最值计算。同时设置分式、双变量基础题型，检验学生对配凑、消元、常数代换等常用方法的掌握。题目难度偏低，立足课本知识，侧重基础运算与思路规范，也会融入少量简单知识交汇题型，夯实解题基本功，规避忽略等号条件、未判断正负等常见错误。 1．已知，，，则的最小值为________. 2．已知正实数满足，则的最小值为__________. 3．已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 4．已知，，且，则的最小值为__________. 5．已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 7．若正实数，满足，则的最小值是________． 8．设函数，. (1)若不等式的解集，求，的值； (2)若，，，求的最小值，并求出取最小值时､的值； (3)若，且，求不等式的解集. 9．已知，则的最小值为_________. 10．在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________. 重难·创新演练 设题创新:重难创新演练打破单一题型模式，侧重综合考查。创新点集中在多变量复杂变形、多次连用基本不等式，重点考查等号条件的综合验证。结合函数、数列、几何等知识交叉命题，搭配参数范围、恒成立、有解类问题。同时增设隐蔽定值、需要灵活配凑与消元的题型，弱化直接套用公式的考法，侧重考查逻辑思维与知识迁移能力。 1．下列命题中： ①已知，且，则的最小值为6； ②奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则； ③若函数的定义域为，则函数的定义域为； ④已知，若不等式恒成立，则的最大值是6： ⑤已知，且，则最小值为． 正确命题序号为___________． 2．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若，则取得最小值时，__________. 4．已知，,若，则的最小值为_______. 5．已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 6．已知，且，则最小值为______________． 7．已知，，若的最大值为，且不等式 的解集为， 则 _____. 8．在中，已知，且，则______；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为_____． 9．已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为_____. 10．直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $