福建省福州市仓山区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

学校：______________班级：________姓名：______________准考证号：______________ （在此卷上答题无效） 2025—2026学年第二学期校内期末进阶练习 八年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟． 评价等级 优秀 良好 达标 待达标 你的等级 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，是的正比例函数的是 A． B． C． D． 2．下列坐标表示的点，在函数图象上的是 A． B． C． D． 3．已知实数在数轴上的位置如图所示，则可化简为 A． B． C． D． 4．若四边形的四个内角的度数比为，则其中最大的内角的度数是 A． B． C． D． 5．一组数据“9，10，11，12，15，16，18，20，21”的四分位距为 A．8.5 B．10.5 C．15 D．19 6．某登山队大本营所在的气温为，海拔每升高气温下降．登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温是，则下列关于与的关系式正确的是 A． B． C． D． 7．如图，四边形是平行四边形，要使得是菱形，则添加的条件可以是 A． B． C． D． 8．如图，点，，，，都在边长为1的方格纸的格点上，则下列线段长为的是 A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点在上，且．过点作，分别交，于点，，若，，则的长为 A． B． C． D． 10．已知函数的图象经过，，若点在第一象限，且，则下列说法正确的是 A．不论，取何值， B．存在，，使得 C．存在，，使得 D．不论，取何值， 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．若代数式有意义，则的值可以为________．（写出一个符合条件的值即可） 12．在平面直角坐标系中，若点，则的长为________． 13．已知函数的图象经过点，则关于的方程的解为________． 14．一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的边数为________． 15．计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是________． 16．如图，在菱形中，，，分别是，上的点，且，设与相交于点，点，则的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，在正方形中，，分别是，上的点，连接，，若，求证：． 19．（8分）已知函数的图象经过点，，若，求证：． 20．（8分）某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪2000元，每完成一单外卖业务再提成2元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成4元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一和方案二中骑手的月工资分别为元和元． （1）分别直接写出，关于的函数解析式； （2）经调查，20至30岁全职的青年骑手每月平均可完成配送订单约1300单．24岁的小骏准备应聘该骑手岗位，若仅从月工资收入的角度分析，现阶段他应该选择哪一种月工资方案？请说明理由． 21．（8分）如图，在中，，，，平分交于点．求的面积． 22．（10分）气温的高低变化影响着我们日常生活的方方面面．为了了解气温的变化情况，小榕同学通过网络信息搜取了两个城市相同月份中旬每天的最高气温（单位：），数据如下： A市：26，25，29，32，23，30，30，24，31，31 B市：31，29，32，25，28，28，25，31，31，30 整理后得到部分统计量如下： 城市 平均数 中位数 A市 a 29.5 B市 29 b 根据以上的信息，解答下列问题： （1）填空：________，________． （2）分别计算A市，B市的四分位数，并在图中画出两市的箱线图． （3）根据（2）中的箱线图，分析并对比这两个城市该月中旬的天气特点．（至少说出2种） 23．（10分）如图，是等边三角形，D，E分别是，上的点，且，连接． （1）尺规作图：求作点F，使得四边形是平行四边形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 24．(12分) 【知识背景】 音乐是声音的艺术，通过音高、音量、节奏的有序组合形成动人的旋律．我国古代运用数学创制“三分损益法”确定音律，明代律学家朱载堉首创的“十二平均律”理论为现代钢琴等键盘乐器的音律设计奠定了基础． “三分损益法”是用比例和作为制定音阶的依据，由此形成五个音阶，具体制定如下：以“宫”作为基准音，先“三分益一”，即弦长乘以，得到“徵”音弦长；再对“徵”音“三分损一”，即弦长乘以，得到“商”音弦长，…，以此损益交替规律，依次得到“宫、徵、商、羽、角”五个音阶． “十二平均律”将一个纯八度音程平均分成12个半音，相邻两个半音的频率之比相等，且最后一个半音的频率是最初的2倍．采用这一理论的钢琴一个八度内的核心音区为：中央高音C，相邻两个音之间所含的半音数分别为“”． 【知识应用】 （1）在“三分损益法”中，若“宫”的弦长为81，则“商”的弦长为________； 在“十二平均律”中，若相邻两个半音后者与前者的频率之比为r，第一个半音的频率为a，则第六个半音的频率为________．（用含a，r的代数式表示） 【迁移应用】 （2）音高与琴弦振动频率、有效弦长密切相关；演奏者通过改变有效弦长，演奏出高低各异的音符．已知以十二平均律为理论依据的钢琴中音区中各个音的频率x(单位：)与有效弦长y(单位：)成反比例关系，某小组同学通过搜索发现，中音区的有效弦长为，频率为；中音区D的有效弦长为． ①求中音区D的频率．（结果保留两位小数） ②求中音区E的有效弦长．（结果保留整数） 25．（14分）如图，在正方形中，点在上，连接，以为边作正方形，连接，，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）设正方形的边长为，则当的长最小时，求的长（用含的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第二学期校内期末进阶练习 八年级数学参考答案 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.D 8.A 9.D 10.B 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.2(x之2的值均可) 12.v5 13.x=1 14.6 15.10 16.2 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：原式=2V3-3+4-2V3+3-V5 6分 =4-√3 8分 18.证明：·四边形ABCD是正方形 ∴.AD=DC,∠A=∠CDF=90 4分 ∠1=∠2 AD=DC 在△ADE和△DCF中∠A=∠CDF ∴.△ADE≌△DCF(ASA) 6分 ∴.AE=DF 8分 19.(8分)法一： 证明：当x>1时， 函数y=K-可化为y=x-1 3分 .x-1>0 .当x>1时，y随着x的增大而增大， 6分 x>x2>1 .y1>y2 8分 法二： 证明：·光>x2>1 .x-1>0 1分 x2-1>0 2分 函数y=-的图象经过点A(,),B(,片) y=x-1=x-1」 3分 y2=x2-1=x2-1 4分 y-y2=x-1-(52-)=-x2, 5分 x>x2>1 .x-x2>0 6分 .y-y2>0 7分 ∴.>y2 8分 20.解：(1)由题可知片=2000+2x(x为正整数) 2分 y2=4x(x为正整数)： 4分 (2)选择方案二，理由如下： 法一： 当x=1300时， =2000+2x=2000+2×1300=4600 5分 y2=4x=4×1300=5200 6分 .4600<5200. 7分 ∴现阶段他应该选择方案二 8分 法二： 当<2时，即2000+2x<4x, 5分 解得x>1000. 6分 .1300>1000 7分 现阶段他应该选择方案二 8分 21.法一： 解：过点D作DH⊥AB,垂足为H B .AB=5,BC=4,AC=3 .AB2=25 BC2+AC2=42+32=25 .BC2+AC2=AB2 ∴.∠ACB=90° 2分 ∴.AC⊥BC :AD平分∠BAC,DH⊥AB ∴.∠CAD=∠HAD,∠AHD=∠ACD=90° 3分 [∠ACD=∠AHD ∠CAD=∠HAD 在△ACD和△AHDAD=AD ∴.△ACD≌△AHD(AAS) ∴.AH=AC=3 4分 ∴.BH=AB-AH=5-3=2 设CD=x,则DH=x,BD=BC-CD=4-x 在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD-DH=BH (4-x2-x2=22 5分 解得x=32 7分 CD=3 号ACCD=x3x3-9 2 24 8分 法二： 解：过点D作DH⊥AB,垂足为H H D AB=5,BC=4,AC=3」 AB2=25 BC2+AC2=42+32=25, .BC2+AC2=AB2, .∠ACB=90°. 2分 .AC⊥BC」 :AD平分∠BAC,DH⊥AB」 .CD=DH, 3分 C.BD S.uo-B-DH-3 ∴.5CD=3BD 5分 BC=CD+BD=4. 3 ∴.CD= 7分 S4-CCD-x3x 1 39 224」 8分 22.解：(1)a=28.1,b=29.5 2分 (2)将两市的最高气温分别按从小到大的顺序排列，可得 A市：23,24,25,26,29,30,30,31,31,32 3分 B市：25,25,28,28,29,30,31,31,31,32 4分 A,B两市最高气温各有10个数据.A市最高气温的最大值为33，最小值为23， 三个四分位数分别为9=29.5,9=25.Q=31」 5分 B最高气温的最大值为32，最小值为25， 三个四分位数分别为9=29.5,2=28.2，=31」 6分 .A,B两市的箱线图，如图所示 8分 33 32 29 7 26 23 23 A市 B市 (3)①A,B两市中旬每天的最高气温的中位数相同，都为29.5℃，表明两市“中间水平”气温相当： ②A市的最高气温最小值为23℃，最大值为32℃，相差9℃，B市的最高气温最小值为25℃，最大值 为32℃，相差7℃，表明A市气温离散程度较大，B市较为集中： ③A市四分位距为6，B市四分位距为3，表明A市中间的50%的天数的最高气温离散程度较B市的大： ④A市箱体比B市的长，表明A市中间的50%的天数的最高低温的离散程度比B市的大； ⑤A市的2=25，B市的最小值为25℃，表明A市约有25%的天数的最高气温低于B市的最高气温的 最小值25℃： ⑥B市最高气温的分布比A市的更对称， 10分 友情提示：至少说出2种，言之有理即可. 23.解：(1)如图所示，点F即为所求： 4分 D B E (2)连接CF 5分 由(1)可知四边形ADEF是平行四边形， .AD=EF,DE=AF,AD//EF. ∴.∠B=∠CEF,∠BDE=∠BAF, 6分 △ABC是等边三角形， ∠B=∠BAC=60°，AB=BC=AC, AD=BE,AD=EF, .EF=BE,BD=EC. 7分 BD=EC ∠B=∠CEF 在△DBE和△CEF中 BE=EF :.△DBE≌△CEF(SAS) .DE=CF, 8分 :AF=CF, AB=√2DE, .AC=√2AF, CF2=4F2 AC=(AF=24F2 :.AF2+CF2=AC2, .∠AFC=90° 9分 AF=CF ∴.∠FAC=∠ACF=45° .∠BAF=∠BAC-∠FAC=15 .∠BDE=∠BAF=15° 10分 24.解：(1)72：2分 ar3.4分 (2)①设y=k(k≠0) 5分 .k=100×261.63=26163 6分 .y=26163 当y=89时， 26163≈293.97 89 7分 答：中音区D的频率为293.97Hz. ②法一： 设中音区C(1-o),D,E频率分别表示为e,D,,有效弦长分别表示为e,b,E,相邻两 个半音后者与前者的频率之比为”， 由题可知Xce=xDb=xE=k, .XcXD YDyc.XDXE YE)D, 9分 x=er产2，x=Xr4 =五 XD XE, 10分 2=是 yc yD, 11分 89=yE 10089 ∴yE=79.21≈79(cm) 12分 答：中音区E的有效弦长约为79cm. 法二： 设中音区C(1-o),D,E频率分别表示为。，，车，有效弦长分别表示为e,儿，E,相邻两 个半音后者与前者的频率之比为r k yo= k yc=- 则E Xc, XD, Xp=xcr2 X=xcr4 'e=h 9分 k 地==2=1 Xc 10分 :yc=100yo=89 89 )2 .ye=100× ≈79 100 12分 25. 证明：(1)四边形ABCD,BEFH都是正方形， .AB=CB,BE=BH,∠ABC=∠EBH=90°， 1分 .∠ABC-∠EBC=∠EBH-∠EBC, 即∠ABE=∠CBH 2分 AB=CB ∠ABE=∠CBH 在△ABE和△CBH中BE=BH '.△ABE≌△CBH(SAS) 3分 ∴.AE=CH 4分 (2)过点F作FM⊥DC,垂足为M. H ∴.∠FMC=90° 由1)可知△ABE≌△CBH ∴.∠BCH=∠A=90° ∴.∠FMC=∠BCH=90° ∠BCH+∠BCD=90°+90°=180° D,C,H三点共线 5分 :四边形ABCD,BEFH都是正方形， ∴.∠A=∠BCD=∠BHF=90° BH=HF,BC=CD .∠BCH=90°=∠FMC ∴.∠FMC=∠BHF=90° ∴.∠FHM+∠MFH=∠BHC+∠FHM ∴.∠MFH=∠BHC 6分 ∠FMH=∠BCH ∠MFH=∠BHC 在△MHF和△CBH中IHF=BH ∴.△MHF≌△CBH(AAS) ∴.FM=CH,MH=BC 7分 .BC=CD .·.MH=CD .∴.DM=CH .∴.FM=DM ∴.∠CDF=∠DFM 8分 .'∠FMC=90°=∠FMD ∠CDF=909 450 2 分 (3)由(2)可知∠CDF=45°， :点F在与CD成45°角且经过点D的射线上运动， E D M H :当CF⊥DF时，CF的长最小， 10分 .∠CDF=45° .∠DCF=90°-∠CDF=45°， .DF=CF, 11分 .FM⊥DC. ∴.CM=DM=a, 12分 .FM=DM,DM=CH :MH=2a,FM=a, :HF=MH2+FM2 =4a +a=5a, 13分 :四边形BEFH是正方形， :.BE =HF =5a 14分