1.4.1　第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦空间中点、直线、平面的向量表示，通过牌楼建筑情境提问导入，引导学生从位置向量、方向向量到平面法向量逐步探究，构建“情境—新知—诊断—例题—训练”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以现实情境培养数学抽象，结合正方体、四棱锥等几何体例题发展直观想象与逻辑推理，总结求法向量“设、选、列、解、赋”步骤强化数学运算。如例2通过坐标系求平面法向量，帮助学生理解空间关系，提升解题能力，也为教师提供结构完整的教学资源，提高教学效率。

1.4.1　 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 新课程标准解读 核心素养 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向 量与平面的法向量 数学抽象 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面 与平面的垂直与平行关系 直观想象、 逻辑推理 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置 关系的判定定理 数学运算、 逻辑推理 目录 数学·选择性必修第一册 第1课时　 空间中点、直线和平面的 向量表示 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 牌楼，与牌坊类似，是我国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、 寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖 木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高 大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线 与地面平行.这是为什么呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　空间中点、直线的向量表示 1. 点的位置向量 如图，在空间中，取一定点 O 作为 ，那么空间中任意一点 P 就可以用向量 来表示，向量 称为点 P 的 ⁠. 基点　 位置向量　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 空间直线的向量表示 如图， a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取 ＝ a ，取定空间中的 任意一点 O ，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ，使 ＝ ＋ ta ①，将 ＝ a 代入①式，得 ＝ ⁠. ＋ t 　 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下两 个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与 l 平行或重合. 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　空间平面的向量表示 1. 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点 O ，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条 件是存在实数 x ， y ，使 ＝ ＋ ⁠. x ＋ y 　 目录 数学·选择性必修第一册   提醒　一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 方向向量 a 　 { P ｜ a · ＝0}　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 1. 空间中给定一个点 A 和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？ 提示：能. 2. 一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ 提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向 向量不共线能确定. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线 l 的方向向量是唯一的. （　×　） （2）若点 A ， B 是平面α上的任意两点， n 是平面α的法向量，则 · n ＝0. （　√　） （3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的 两个不共线向量唯一确定. （　√　） × √ √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若 A （2，1，1）， B （1，2，2）在直线 l 上，则直线 l 的一个方向 向量为（　　） A. （2，1，1） B. （－2，2，2） C. （－3，2，1） D. （2，1，－1） 解析： 　∵ ＝（－1，1，1），而与 共线的非零向量都可以 作为直线 l 的方向向量，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·徐州月考）平面α经过三点 O （0，0，0）， A （2，2， 0）， B （0，0，2），则平面α的一个法向量可以是（　　） A. （1，0，1） B. （1，0，－1） C. （0，0，1） D. （1，－1，0） 解析： 　设平面α的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），所以 n ⊥ ， n ⊥ .因为 ＝（2，2，0）， ＝（0，0，2），所以 取 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝ 0，所以平面α的一个法向量为（1，－1，0）. 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线的方向向量 【例1】　（1）（2024·威海月考）已知直线 l 的一个方向向量 m ＝ （2，－1，3），且直线 l 过 A （0， y ，3）和 B （－1，2， z ）两点， 则 y － z ＝（　A　） A. 0 B. 1 D. 3 A 目录 数学·选择性必修第一册 解析：∵ A （0， y ，3）， B （－1，2， z ），∴ ＝（－1，2－ y ， z －3），∵直线 l 的一个方向向量为 m ＝（2，－1，3），故设 ＝ km .∴－1＝2 k ，2－ y ＝－ k ， z －3＝3 k .解得 k ＝－ ， y ＝ z ＝ .∴ y － z ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）在如图所示的坐标系中， ABCD - A1 B1 C1 D1为正方体，棱长为 1，则直线 DD1的一个方向向量为 ，直线 BC1的 一个方向向量为 ⁠. （0，0，1）　 （0，1，1）（答案不唯一）　 解析：∵ DD1∥ AA1， ＝（0，0，1），∴直线 DD1的一个方向向量为（0，0，1）；∵ BC1∥ AD1， ＝（0，1，1），∴直线 BC1的一个方向向量为（0，1，1）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示 以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （多选）若 M （1，0，－1）， N （2，1，2）在直线 l 上，则直线 l 的方向向量是（　　） A. （2，2，6） B. （1，1，3） C. （3，1，1） D. （－3，0，1） 解析： 　∵ M ， N 在直线 l 上，且 ＝（1，1，3），故向量 （1，1，3），（2，2，6）都是直线 l 的方向向量. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知点 P 是过点 A （0，1，1）且方向向量为 v ＝（1，0，0）的直 线上的一点，若｜ ｜＝3，则点 P 的坐标是 ⁠ ⁠. 解析：设 P （ x ， y ， z ），则 ＝（ x ， y －1， z －1），因为 ∥ v ，所以 ＝λ v ，即解得 x ＝λ， y ＝ z ＝1，所以 P （λ，1，1），｜ ｜＝ ＝ 3，解得λ＝±3.所以点 P 的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. （－3，1，1）或 （3，1，1）　 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 平面的法向量 【例2】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ⊥平 面 ABCD ， E 为 PD 的中点. AB ＝ AP ＝1， AD ＝ ，试建立恰当的空 间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量. 目录 数学·选择性必修第一册 解：因为 PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形， 所以 AB ， AD ， AP 两两垂直. 如图，以 A 为坐标原点， 的方向分 别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐 标系，则 D （0， ，0）， P （0，0，1）， E ， C （1， ，0），于是 ＝ ＝（1， ，0）. 目录 数学·选择性必修第一册 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ACE 的法向量， 则 令 y ＝－1，则 x ＝ z ＝ . 所以平面 ACE 的一个法向量为 n ＝（ ，－1， ）. 目录 数学·选择性必修第一册 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量. 目录 数学·选择性必修第一册 解：建立如图所示空间直角坐标系，则 P （0，0，1）， C （1， ， 0），所以 ＝（1， ，－1），即直线 PC 的一个方向向量. 设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）. 因为 D （0， ，0），所以 ＝（0， ，－1）. 由 所以令 y ＝1，则 z ＝ . 所以平面 PCD 的一个法向量为 n ＝（0，1， ）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求平面法向量的步骤 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（多选）已知 A （－4，6，－1）， B （4，3，2），则下列各向量 中是平面 AOB （ O 是坐标原点）的法向量的是（　　） C. （－15，4，36） D. （15，4，－36） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设平面 AOB （ O 是坐标原点）的法向量是 u ＝（ x ， y ， z ），则 令 y ＝1，解得 令 y ＝4，解得故 u ＝（ ，1，－9）或 u ＝ （15，4，－36）.故选B、D. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 若 A （－1，0，1）， B （1，4，7）在直线 l 上，则直线 l 的一个方 向向量为（　　） A. （1，2，3） B. （1，3，2） C. （2，1，3） D. （3，2，1） 解析： 　因为 ＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线 l 的一 个方向向量. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·周口月考）已知直线 l1的方向向量 a ＝（2，－3，5），直 线 l2的方向向量 b ＝（－4， x ， y ），若 a ∥ b ，则 x ， y 的值分别是 （　　） A. 6和－10 B. －6和10 C. －6和－10 D. 6和10 解析： 　由题意得 ＝ ＝ ，且 x ≠0， y ≠0，所以 x ， y 的值 分别是6和－10. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若 n ＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为 平面α的法向量的是（　　） A. （0，－3，1） B. （2，0，1） C. （－2，－3，1） D. （－2，3，－1） 解析： 　易知D中的向量与 n 共线. 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·烟台月考）在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为棱 A1 D1， A1 B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： （1）平面 BDD1 B1的一个法向量； （1）连接 AC （图略），易知 AC ⊥平面 BDD1 B1， ∴ ＝（－2，2，0）为平面 BDD1 B1的一个法向量. 解：设正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2，则 D （0，0， 0）， B （2，2，0）， A （2，0，0）， C （0，2，0）， E （1，0，2）. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）平面 BDEF 的一个法向量. 解：易知 ＝（2，2，0）， ＝ （1，0，2）. 设平面 BDEF 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， ∴ ∴ 令 x ＝2，得 y ＝－2， z ＝－1， 即 n ＝（2，－2，－1）为平面 BDEF 的一 个法向量. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知向量 a ＝（2，－1，3）和 b ＝（－4，2 x2，6 x ）都是直线 l 的 方向向量，则实数 x ＝（　　） A. －1 B. 1或－1 C. －3 D. 1 解析：A　由题意得 a ∥ b ，所以解得 x ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知平面内的两个向量 a ＝（2，3，1）， b ＝（5，6，4），则该 平面的一个法向量为（　　） A. （1，－1，1） B. （2，－1，1） C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1） 解析： 　显然 a 与 b 不平行，设平面的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则有取 z ＝1，得 x ＝－2， y ＝1.∴ n ＝（－2，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知线段 AB 的两端点坐标为 A （9，－3，4）， B （9，2，1），则 线段 AB 与坐标平面（　　） A. Oxy 平行 B. Oxz 平行 C. Oyz 平行 D. Oyz 相交 解析： 　因为 ＝（9，2，1）－（9，－3，4）＝（0，5，－ 3），所以 AB ∥平面 Oyz . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·南平月考）已知向量 ＝（2，4， x ），平面α的一个法向 量 n ＝（1， y ，3），若 AB ⊂α，则（　　） A. x ＝6， y ＝2 B. x ＝2， y ＝6 C. 3 x ＋4 y ＋2＝0 D. 4 x ＋3 y ＋2＝0 解析： 　由题意可知 · n ＝0，可得3 x ＋4 y ＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）在如图所示的空间直角坐标系中， ABCD - A1 B1 C1 D1是棱 长为1的正方体，下列结论正确的是（　　） A. 平面 ABB1 A1的一个法向量为（0，1，0） B. 平面 B1 CD 的一个法向量为（1，1，1） C. 平面 B1 CD1的一个法向量为（1，1，1） D. 平面 ABC1 D1的一个法向量为（0，1，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　∵ ＝（0，1，0）， AB ⊥ AD ， AA1⊥ AD ，又 AB ∩ AA1＝ A ，∴ AD ⊥平面 ABB1 A1，∴A正确；∵ ＝（－1，0， 0），而（1，1，1）· ＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面 B1 CD 的法向量，∴ B不正确；∵ ＝（0，1，－1）， ＝（－1， 0，1），（1，1，1）· ＝0，（1，1，1）· ＝0， B1 C ∩ CD1 ＝ C ，∴（1，1，1）是平面 B1 CD1的一个法向量，∴C正确； ∵ ＝（0，1，1），而 ·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1， 1）不是平面 ABC1 D1的法向量，∴D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）若 是平面 ABCD 的法向量，且四边形 ABCD 为菱形，则 以下各式成立的是（　　） 解析： 　由题意知 PA ⊥平面 ABCD ，所以 PA 与平面内的线 AB ， CD 都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可 推得对角线 BD ⊥平面 PAC ，故 PC ⊥ BD ，C选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1在空间直角坐标系中的位置如图 所示，则直线 DB1的一个方向向量为 ⁠ ⁠. （1，1，1）（答案不唯 一）　 解析：由题意知 D （0，0，0）， B1（1，1，1），所以 ＝ （1，1，1），即直线 DB1的一个方向向量是（1，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 已知平面α经过点 O （0，0，0），且 e ＝（1，2，－3）是α的一个 法向量， M （ x ， y ， z ）是平面α内任意一点，则 x ， y ， z 满足的 关系式是 ⁠. 解析：由题意得 e ⊥ · e ＝（ x ， y ， z ）·（1，2，－3） ＝0，故 x ＋2 y －3 z ＝0. x ＋2 y －3 z ＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·南京质检）在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， CA ＝ CB ＝1，∠ ACB ＝90°，平面 A1 B1 C 的一个法向量为 n ＝（－2，－2，1），则 棱 AA1的长为 ⁠. 解析：以 C 为原点， CA ， CB ， CC1所在直线分 别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系 Cxyz ，设 AA1＝ h ，由题意可知 C （0，0， 0）， A1（1，0， h ），所以 ＝（1，0， h ），因为 n ＝（－2，－2，1），所以根据法向 量的定义可得， n · ＝（－2，－2，1）·（1，0， h ）＝－2＋ h ＝0，解得 h ＝2，所以 AA1＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知 A （2，2，2）， B （2，0，0）， C （0，2，－2）. （1）写出直线 BC 的一个方向向量； 解： ∵ B （2，0，0）， C （0，2，－2）， ∴ ＝（－2，2，－2），即（－2，2，－2）为直线 BC 的 一个方向向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）设平面α经过点 A ，且 BC 是α的法向量， M （ x ， y ， z ）是 平面α内的任意一点，试写出 x ， y ， z 满足的关系式. 解：由题意 ＝（ x －2， y －2， z －2）， ∵ ⊥平面α， AM ⊂α， ∴ ⊥ ， ∴（－2，2，－2）·（ x －2， y －2， z －2）＝0. ∴－2（ x －2）＋2（ y －2）－2（ z －2）＝0. 化简得 x － y ＋ z －2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·莆田质检）已知 ＝（－3，1，2），平面α的一个法向 量为 n ＝（2，－2，4），点 A 不在平面α内，则直线 AB 与平面α的 位置关系为（　　） A. AB ⊥α B. AB ⊂α C. AB 与α相交但不垂直 D. AB ∥α 解析： 　因为 n · ＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以 n ⊥ .又点 A 不在平面α内， n 为平面α的一个法向量，所以 AB ∥α，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）已知平面α内两向量 a ＝（1，1，1）， b ＝（0，2，－ 1），且 c ＝ ma ＋ nb ＋（4，－4，1），若 c 为平面α的一个法向 量，则（　　） A. m ＝－1 B. m ＝1 C. n ＝2 D. n ＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　 c ＝ ma ＋ nb ＋（4，－4，1）＝（ m ， m ， m ）＋ （0，2 n ，－ n ）＋（4，－4，1）＝（ m ＋4， m ＋2 n －4， m － n ＋1），由 c 为平面α的一个法向量，得 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 已知直线 l 的一个方向向量为 v ＝（1，－2，0），写出一个以 （2，1，1）为起点，且垂直于直线 l 的单位向量的终点坐标 为 ⁠. （2，1，0）（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：设终点坐标为（ x ， y ， z ），因为 l 的一个方向向量为 v ＝ （1，－2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线 l 的单位向 量为（ x －2， y －1， z －1）， 且满足 即 可取 x ＝2， y ＝1， z ＝0，故终点坐标为（2，1，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 如图所示，在四棱锥 S - ABCD 中，底面是直角梯形， AD ∥ BC ， ∠ ABC ＝90°， SA ⊥底面 ABCD ，且 SA ＝ AB ＝ BC ＝1， AD ＝ ，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SAB 的一个法 向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解：以 A 为坐标原点， AD ， AB ， AS 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 A （0，0，0）， D ， C （1，1，0）， S （0，0，1），因此 ＝ ＝ . 显然向量 ＝ 是平面 SAB 的一个法向量. 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 SCD 的法向量， 则 取 x ＝2，则 y ＝－1， z ＝1，故平面 SCD 的一个法向量为（2，－ 1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 A （－1，0，2）， B （0，1， －1），点 C ， D 分别在 x 轴、 y 轴上， AD ⊥ BC ，那么｜ ｜的 最小值是 　 ⁠. 　 解析：设 C （ x ，0，0）， D （0， y ，0）.∵ A （－1，0，2）， B （0，1，－1），∴ ＝（1， y ，－2）， ＝（ x ，－1， 1）.∵ AD ⊥ BC ，∴ · ＝ x － y －2＝0，即 x ＝ y ＋2.∵ ＝ （－ x ， y ，0），∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ≥ （当 y ＝－1时取等号）. 故｜ ｜的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·金华质检）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一 点，如果 ＝（2，－1，－4）， ＝（4，2，0）， ＝（－ 1，2，－1）. （1）求证： 是平面 ABCD 的法向量； 解： 证明：因为 · ＝（－1，2，－1）·（2，－1，－ 4）＝0， · ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以 AP ⊥ AB ， AP ⊥ AD . 又 AB ∩ AD ＝ A ，所以 AP ⊥平面 ABCD . 所以 是平面 ABCD 的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求平行四边形 ABCD 的面积. 解：因为｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝2 ， · ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ， 故 sin ＜ ＞＝ ， S▱ ABCD ＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ＞＝8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $