3.4实数的运算（讲义，3个知识点4大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“实数的运算”核心知识点，以有理数运算为基础，通过类比迁移构建运算法则、运算顺序、运算律的知识体系，衔接根式化简、近似值计算、大小比较，形成解决几何实际问题的完整学习支架。 该资料特色在于分层设计与素养融合，通过类比培养抽象能力（数学眼光），综合运算提升运算能力（数学思维），几何应用与新定义问题强化模型意识（数学语言）。实例如正方形面积计算、新定义运算题，课中辅助突破重难点，课后分层练习助力查漏补缺。

第三章 实数 3.4 实数的运算 课标要点 1.类比有理数运算法则与运算律，掌握实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方的运算规则，知道有理数运算律在实数范围内仍然适用。 2.会对简单含根号的实数进行化简、合并同类根式，能规范完成实数基础四则与开方混合运算。 3.能根据要求用四舍五入法取无理数近似值，把实数运算转化为小数近似计算，解决求值类问题。 4.结合数轴理解实数大小比较方法，能准确比较含根号、含π的实数大小。 5.能运用实数运算解决正方形、正方体边长、面积、体积相关几何实际问题，构建“开方—实数运算—几何计算”完整解题逻辑。 学习重难点 重点：1.实数范围内的运算法则、运算律，简单根式的化简与合并计算。 2.无理数取近似值后进行实数混合运算。 难点：1.区分同类根式、非同类根式，准确进行根式加减合并。 2.含多层开方、乘方、分数的实数综合运算，化简步骤易出错。 3.不借助计算器，估算带根号无理数的大小并比较实数数值。 知识点 实数的运算法则（重点） 1.实数包含有理数、无理数，有理数的运算法则、运算律在实数范围内全部适用。 2.基础运算法则：加减、乘除、乘方运算规则与有理数一致；无理数可参与四则运算。 易错提醒 只有被开方数相同的二次根式才能直接合并加减，与不能直接相加化简。 随学随练 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）______． 【答案】1 【详解】解： 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)－1 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）分别计算算术平方根、立方根和有理数乘方，以及计算绝对值，再进行加减计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 知识点 实数的运算顺序（重点、难点） 1.先算乘方、开方； 2.再算乘除； 3.最后算加减； 4.有括号先计算括号内，同级运算从左至右依次计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的混合运算． （1）根据有理数的乘方，算术平方根，进行计算即可求解； （2）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3)4 (4) 【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． （1）先计算乘方、算术平方根、立方根，再计算加减法即可； （2）先计算立方根、乘方并化简绝对值，再计算加减法即可； （3）先利用乘法分配律计算乘法，再计算减法即可； （4）先计算乘方和算术平方根，再将除法转化为乘，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点 实数运算常用运算律（重点） 1.加法交换律：a+b=b+a 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.乘法交换律：ab=ba 4.乘法结合律：(ab)c=a(bc) 5.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 特别提醒 分配律常用于带根号算式的去括号化简，是简化实数混合计算最常用的方法。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用乘法分配律计算即可； （）先进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可； 本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据乘方运算法则、立方根的定义、绝对值的意义化简各式，再进行加减运算即可． （2）先将写成，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·浙江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用乘法分配律进行计算即可； （2）原式先计算乘方，立方根与算术平方根，然后计算除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 题型 实数的简单运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的加减．熟练掌握去括号，加减运算法则，是解此题的关键． （1）化简符号，相加即得； （2）去括号，无理数与有理数分别相加减即得． 【详解】（1）解：． （2）解：． 解题贴士 注意符号问题，整需要打括号。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）若实数满足，则（   ） A．都是有理数 B．都是无理数 C．的结果必定为无理数 D．的结果可能为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．通过反例验证选项，利用实数的运算性质判断． 【详解】解：∵（无理数）， ∴ 若a和b都是有理数，则应为有理数，矛盾，故 A 错误； 取（有理数），则（无理数），a和b不都是无理数，故 B 错误； 取（无理数），则（有理数），故 C 错误； ∴可能为有理数，故 D 正确． 故选：D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的混合运算，根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ▌对点练1-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）若为整数，且，________，是的小数部分，则的值为________． 【答案】 4 0 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及绝对值的运算，熟练掌握无理数的估算方法（夹逼法）是解题的关键． 先估算的范围以确定整数，再根据小数部分的定义求出，最后代入式子计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的小数部分， ∴， ∴， 故答案为：，． 题型 实数的混合运算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算．掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先写成省略括号和加号的形式，再同号两数先相加； （2）先计算乘方、开方，再进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题贴士 1. 注意运算顺序：先算乘方、开方；再算乘除；最后算加减；有括号先计算括号内，同级运算从左至右依次计算。 2. 区别与 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2)32 【分析】本题涉及有理数的运算、乘方、三次根式化简考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 先计算括号里面的，再计算即可； 先化简，再计算求值即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 ． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)33 (2) 【分析】本题考查有理混合运算及实数运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）运用乘法分配律计算，再计算加减即可； （2）先计算绝对值，算术平方根，立方根及乘方，再计算乘法，最后加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练2-3（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3)2 【分析】（1）根据加减混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，运用分配律进行计算，再计算加减即可； （3）先计算算术平方根，立方根，绝对值，乘方，再计算加减即可． 【详解】（1）解∶ ． （2）解： ． （3）解： ． 题型 实数运算的实际应用 ▌例3 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 解题贴士 结果不能为负的实际场景（长度、面积、人数舍去负数）。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7， ，，， 阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度． (1)求阴影正方形的面积； (2)请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1） 【答案】(1)13 (2)3.6 【分析】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解： 则阴影正方形的面积为13； （2）解：由（1）可知，阴影正方形的边长：． ▌对点练3-3 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【详解】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 题型 实数中的新定义问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江·单元复习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)＝ (3)满足，理由见解析 【分析】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可． （1）即可计算； （2）根据题意的运算规则，即可进行判断； （3）对于实数，则交换，位置有． 【详解】（1）解：； （2）解：由运算规则得， ， ， 故， 故答案为：＝； （3）解：满足 理由如下： ∵对于实数， ， ∴这种运算“”满足交换律 解题贴士 读懂题目自定义运算符号（*、⊕、△等），严格套给的公式，不混用四则运算法则。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是正确解答的关键． （1）估算无理数、的大小，确定、的值，再代入计算即可； （2）估算的大小，进而得出的大小，确定、的值，再代入计算即可． 【详解】（1），， 的小数部分，的整数部分， ， 答：的值为1； （2）， ， 又，其中是整数，且， ，， ． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【详解】解：A、当时，，是无理数，是无理数，故A错误； B、当时，，那么，结果是无理数，所以B错误； C、当时，，是无理数，是无理数，故选项C错误； D、当时，，那么，结果可能是无理数，所以选项正确，D正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的混合运算． 由于a和b是有理数，而是无理数，则方程中无理部分与有理部分必须分别为零，从而求出a和b的值，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵a、b为有理数，为无理数，且， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）的整数部分为，的小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键． 直接估算出的取值范围，可求出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵，的整数部分为， ∴， ∵的小数部分为， ∴， ∴． 故选：A 4．（2026·浙江金华·二模）计算：的值为___________． 【答案】 【详解】 ． 5．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查有理数的运算，实数的混合运算： （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）先进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算； （1）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据算术平方根、立方根、化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 8．（25-26七年级上·浙江金华·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．先根据算术平方根的性质，乘方，立方根的性质化简，再计算即可求解． 【详解】解： 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． (1)求图中阴影正方形的面积和边长的值． (2)若阴影正方形的边长的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)阴影面积，边长 (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键； （1）根据割补法可进行求解阴影部分的面积，然后根据算术平方根可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴该正方形的边长为； （2）解：由（1）可知该正方形的边长为， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1，每个小正方形的边长是1，在图1中补全以为边的正方形； （2）图1中以为边的正方形面积是______，边长是______； （3）把正方形的边放在数轴上，使得点A正好在数轴上的处，那么点B表示的数是______． 【答案】（1）见解析；（2）5，；（3） 【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、实数的运算，解决此题的关键是熟练掌握相关定义和性质． （1）根据正方形的特征补全即可； （2）利用割补法求出正方形面积，再利用算术平方根的定义得出边长即可； （3）分两种情况讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）补全以为边的正方形如图： （2）图1中以为边的正方形的面积为， 则正方形的边长为， 故答案为：5，； （3）因为点A正好在数轴上的处，， 所以当点在点左侧时，点表示的数是； 当点在点右侧时，点表示的数是； 故答案为：． 素养提升 11．（2026七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算开方，再算括号内运算，后算除法，最后算加减的顺序求解即可． 【详解】解：∵==，=，=， ∴原式 = = =． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到数字变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是， ∵ ∴表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 同理可得， 可知以，两个数循环出现， ∵， ∴， 故选：B． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，现有5张卡片上面分别各标注了一个数，请你仅使用“＋，－，×，÷”4种运算符号，将这5张卡片上的数全部连起来，组合成一个式子，使其计算结果为一个有理数，请你写出这个式子，并计算出结果．注：4种运算不一定全都用到，可使用括号． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级上·浙江温州·期中）通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算； （1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是 故答案为：． （2）∵，设的小数部分为x， ∴ ∴ 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，网格由25个边长为1的小正方形组成，网格中有一个阴影正方形（顶点都在格点上）．若点A表示的数为． (1)图中正方形的边长为多少？ (2)若正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值． (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点B第一次落在数轴上的点记为点P，数轴上与点P距离最近的整数点记为点Q，求P，Q两点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，无理数的估算． （1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可； （3）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，再估算出，可得，从而得到点Q表示的数，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的面积为； 正方形的边长为； （2）解：∵， ∴， ∵正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴； （3）解：由（1）得：，由（2）得：， ∵点A表示的数为， ∴点P对应的数为， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上与点P距离最近的整数点为3，即点Q对应的数为3， ∴P，Q两点之间的距离为． 迁移创新 16．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)___________． (2)___________； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，有理数的加减运算，乘法运算，根据题意找出运算规律是解题的关键． （1）裂项后，将各项相加，消掉互为相反数的项； （2）裂项后乘以，将各项相加，消掉互为相反数的项； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，即可消掉互为相反数的项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算: (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义进行计算即可； （3）先变形然后再进行加减计算即可； （4）将变形为，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数 3.4 实数的运算 课标要点 1.类比有理数运算法则与运算律，掌握实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方的运算规则，知道有理数运算律在实数范围内仍然适用。 2.会对简单含根号的实数进行化简、合并同类根式，能规范完成实数基础四则与开方混合运算。 3.能根据要求用四舍五入法取无理数近似值，把实数运算转化为小数近似计算，解决求值类问题。 4.结合数轴理解实数大小比较方法，能准确比较含根号、含π的实数大小。 5.能运用实数运算解决正方形、正方体边长、面积、体积相关几何实际问题，构建“开方—实数运算—几何计算”完整解题逻辑。 学习重难点 重点：1.实数范围内的运算法则、运算律，简单根式的化简与合并计算。 2.无理数取近似值后进行实数混合运算。 难点：1.区分同类根式、非同类根式，准确进行根式加减合并。 2.含多层开方、乘方、分数的实数综合运算，化简步骤易出错。 3.不借助计算器，估算带根号无理数的大小并比较实数数值。 知识点 实数的运算法则（重点） 1.实数包含有理数、无理数，有理数的运算法则、运算律在实数范围内全部适用。 2.基础运算法则：加减、乘除、乘方运算规则与有理数一致；无理数可参与四则运算。 易错提醒 只有被开方数相同的二次根式才能直接合并加减，与不能直接相加化简。 随学随练 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）______． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)． 知识点 实数的运算顺序（重点、难点） 1.先算乘方、开方； 2.再算乘除； 3.最后算加减； 4.有括号先计算括号内，同级运算从左至右依次计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）计算： (1)． (2)． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 实数运算常用运算律（重点） 1.加法交换律：a+b=b+a 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.乘法交换律：ab=ba 4.乘法结合律：(ab)c=a(bc) 5.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 特别提醒 分配律常用于带根号算式的去括号化简，是简化实数混合计算最常用的方法。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)； 3．（25-26七年级上·浙江·期末）计算： (1)； (2)． 题型 实数的简单运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)． 解题贴士 注意符号问题，整需要打括号。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）若实数满足，则（   ） A．都是有理数 B．都是无理数 C．的结果必定为无理数 D．的结果可能为有理数 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算的值为______． ▌对点练1-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）若为整数，且，________，是的小数部分，则的值为________． 题型 实数的混合运算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) 解题贴士 1. 注意运算顺序：先算乘方、开方；再算乘除；最后算加减；有括号先计算括号内，同级运算从左至右依次计算。 2. 区别与 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． ▌对点练2-3（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 题型 实数运算的实际应用 ▌例3 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 解题贴士 结果不能为负的实际场景（长度、面积、人数舍去负数）。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度． (1)求阴影正方形的面积； (2)请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1） ▌对点练3-3 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 题型 实数中的新定义问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江·单元复习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 解题贴士 读懂题目自定义运算符号（*、⊕、△等），严格套给的公式，不混用四则运算法则。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）的整数部分为，的小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江金华·二模）计算：的值为___________． 5．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2) ． 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2) 8．（25-26七年级上·浙江金华·期末）计算：． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． (1)求图中阴影正方形的面积和边长的值． (2)若阴影正方形的边长的整数部分为，小数部分为，求的值． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1，每个小正方形的边长是1，在图1中补全以为边的正方形； （2）图1中以为边的正方形面积是______，边长是______； （3）把正方形的边放在数轴上，使得点A正好在数轴上的处，那么点B表示的数是______． 素养提升 11．（2026七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，现有5张卡片上面分别各标注了一个数，请你仅使用“＋，－，×，÷”4种运算符号，将这5张卡片上的数全部连起来，组合成一个式子，使其计算结果为一个有理数，请你写出这个式子，并计算出结果．注：4种运算不一定全都用到，可使用括号． 14．（25-26七年级上·浙江温州·期中）通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，网格由25个边长为1的小正方形组成，网格中有一个阴影正方形（顶点都在格点上）．若点A表示的数为． (1)图中正方形的边长为多少？ (2)若正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值． (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点B第一次落在数轴上的点记为点P，数轴上与点P距离最近的整数点记为点Q，求P，Q两点之间的距离． 迁移创新 16．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)___________． (2)___________； (3)求． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算: (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $