第04讲 实数的运算（2个知识点+5大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第04讲 实数的运算（2个知识点+5大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握实数的混合运算； 2.掌握实数运算的实际应用； 1.掌握实数的混合运算； 2.掌握新定义下的实数的运算； 3、实数运算的实际应用； 知识点01：实数的运算 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 7、有理数除法运算法则就什么？ 有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？ 相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an 9、有理数乘方运算的法则是什么？ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？ 去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。 知识点02：近似数 1. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入 是最常用的一种方法 例如:圆周率π=3.1415926﹍ 若精确到个位 (或精确到1),则π ≈3 若精确到十分位 (或精确到0.1),则π ≈3.1 若精确到百分位 (或精确到0.1),则π ≈3.14 若精确到千分位 (或精确到0.1),则π ≈3.142 π若精确到十分位 ,则π ≈3.1 也可以说成: π保留2个有效数字:3、1 2.有效数字定义: 对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。 例 如 ：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4； 0.010320有 5 个有效数字,分别是1、0、3、2、0. 【即学即练1】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则，逐项分析判断． 【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误； B、，原算式错误，故该选项错误， C、，正确； D、，原算式错误，故该项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，比较基础，熟练掌握运算法则是关键． 【即学即练2】 2．下列各式中，化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数的运算法则依次对选项化简再判断即可． 【详解】A、，化简结果错误，与题意不符，故错误． B、，化简结果错误，与题意不符，故错误． C、，化简结果错误，与题意不符，故错误． D、，化简结果正确，与题意相符，故正确． 故选：D    ． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则． 题型01 实数的混合运算 1．已知a是25的平方根，b是的小数部分，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根定义，无理数估算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握平方根定义及无理数的估算得到a，b的值是解题的关键． 根据平方根定义得到，利用无理数估算得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是25的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，； 当时，； 故选：C． 2．计算的结果等于（    ） A． B． C．13 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根、乘方、绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 故选：D 3．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据算术平方根定义和平方根定义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（1）计算： ①； ②． （2）求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1）①；②；（2）①或；② 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）①先算乘方和开方，再算乘法，后算加减； ②先算绝对值和开方，再算加减； （2）①利用平方根的定义求解即可； ②利用立方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）① ② （2）①∵ ∴ ∴或 ②∵ ∴ ∴ ∴ 题型02 程序设计与实数运算 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与流程图有关的实数运算、求一个数的算术平方根、无理数的概念．先将输入，求出算术平方根，若结果是无理数则输出，若结果是有理数，则将有理数输入，直到求出的算术平方根是无理数为止． 【详解】解：输入的的值为时，； ∵是有理数， ∴将输入，输出的是无理数， 故输出． 故选：B． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为16时，输出的y值是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，先把16作为输入的数，计算其算术平方根，若结果为无理数则输出，若结果为有理数则把算术平方根重新作为新数输入，如此反复直至算术平方根是无理数则为输出结果即可． 【详解】解：是有理数， 是有理数， 是无理数， ∴当输入的x的值为16时，输出的y值是吗， 故选：A． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得： 64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是； 故答案为． 4．如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】 625 【分析】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．根据运算规则即可求解；根据三次取算术平方根运算；输出的y值为，返回运算三次平方可得y的值． 【详解】解：当时，，，输出的y值为； 当经过三次取算术平方根运算，输出的y值为时， 则，，． 故答案为：；625． 5．如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 【答案】(1) (2)不能 (3)5或25（答案不唯一） 【分析】（1）根据运算流程图，即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值． 【详解】（1）解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为， 即； 故答案为： （2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数， 所以不能输出y； 故答案为：不能 （3）解：当时，，此时x=5； 当时，，，此时x=25； 故答案为：5或25（答案不唯一） 【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键． 题型03 新定义下的实数运算 1．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，根据条件可得每一项都是组成，判断出，可得，进而得出规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：C． 2．用表示不大于x的最大整数，如，，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查新定义的实数运算，利用题中的新规定计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：B． 3．对于实数a、b，定义；当时，；当时，，例如；已知，、且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，平方根的运算，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， 即， ∴， ∴则的平方根为， 故答案为：． 4．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)14； (2) 【分析】此题考查了新定义运算，求算术平方根，平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）先根据新定义求出，再次利用新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ∴ ∴的平方根是． 题型04 实数运算的实际应用 1．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 2．a满足以下说法：①a是无理数；②；③是整数．那么a可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了估算无理数的大小、无理数的定义、实数的运算等知识，先根据无理数定义判断C、D，再由；③是整数判断A、B，得到答案． 【详解】解：∵a是无理数，、是有理数， ∴a不可能是、， ∵，，、都是无理数， ∴满足①a是无理数；③是整数． ∵、，， ∴a可能是． 故选：A． 3．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 4．如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ． 【答案】-1. 【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积. 【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6， 则，两正方形区域的边长分别是1和， 则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形. 5．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 题型05 与实数运算相关的规律题 1．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根以及数字的变化类．根据这列数据的排列规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 【答案】B 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：∵一列实数：，，，，，， ，，， ，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根， ∵， ∴这一列数中的第2023个数应是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 3．一组有规律的数则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察前几个数可知，被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正， ∴第个数是， 故答案为： ． 4．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【答案】 【分析】此题主要考查实数的规律探索，根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第100个数． 【详解】一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第100个数应是， 故答案为：． 5．观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 【答案】(1)， (2)（n为正整数），见解析 【分析】（1）根据前3个等式反映的规律解答即可； （2）利用（1）的解答可得规律：，然后利用算术平方根的定义证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为； 第3个等式为：； 所以猜想第4个等式为：； ……， 第9个等式为：，即； 故答案为：，； （2）第个等式所反映的规律为：； 证明：∵n为正整数，； ∴（n为正整数）． 【点睛】本题考查了算术平方根的运算和规律问题，正确得出规律是解题关键． 1．已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质，根据题意得到a的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵一个数a的绝对值是， ， 或． 故选：C． 2．用[x]表示不超过实数x的最大整数，，，．若正整数满足，则称为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查取整函数的定义，理解定义是关键． 根据取整函数的定义即可求解． 【详解】解∶ 设， 则 '∵， ∴ 又∵， ， ， 综上所述，符合条件的有个，即符合条件的好数有个． 故选： B． 3．观察下列各式： ①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】根据题意，第n个等式为 ＝ ∴＝＝ 故选择：C． 【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键． 4．如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（    ）．    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据正方形的面积求出其边长，再根据即可作答． 【详解】∵正方形，正方形的面积分别是4，2， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及实数的混合运算等知识，得出是解答本题的关键． 5．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，例如，，若将a变换成[]称为对a进行一次操作，例如：现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，对一个数进行类似操作，下列说法正确的个数是(   ) ①对11进行一次操作后的结果是3； ②对210进行三次操作后的结果是1； ③若正整数n进行3次操作后变为1，则n的最大值是225． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据推算过程分别计算并判断． 【详解】解：①，即对11进行一次操作后的结果是3，故正确； ②，即对210进行三次操作后的结果是1，故正确； ③正整数n进行第3次操作后变为，则a的最大值为3， 则第二次操作后变为，故b的最大值为15， 则第一次操作后变为，故n的最大值为255，故错误； 正确的为①，②， 故选：B． 【点睛】此题考查了无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力． 6．已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，实数的性质，先根据无理数的估算方法得到，则可得到，据此求出的值，再根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，， ∴， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 7．定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，，，按照此规定，（1） ； （2）若，则x的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，新定义运算； （1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据新定义的运算以及，得出即可． 【详解】（1）， ， ， 故答案为：； （2）， ， 即． 故答案为：． 8．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ，当 ． 【答案】 15 【分析】根据新定义的运算方法，代入数值到进行计算，有括号先算括号内，即．本题考查了实数的运算，弄清新定义的意义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴； ∴． 故答案为：15，． 9．如果的小数部分为的小数部分为b，则 【答案】1 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，实数的混合运算，根据题意得出的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，则 ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 10．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂，以及立方根，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 12．因为，即，所以的整数部分为4，小数部分为．若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根，实数的运算，仿照题意得到，则的整数部分为2，据此可得，再计算出的值，即可根据算术平方根的定义求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为，即， ∴， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 13．阅读理解 ，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1． 的小数部分为 解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分， (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，求一个数的平方根： （1）仿照题意估算出，则的整数部分为1，即，进而可得的小数部分为，即； （2）根据（1）所求求出的结果，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为1，即， ∴的小数部分为，即； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 14．计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）计算立方根和算术平方根，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实数的运算（2个知识点+5大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握实数的混合运算； 2.掌握实数运算的实际应用； 1.掌握实数的混合运算； 2.掌握新定义下的实数的运算； 3、实数运算的实际应用； 知识点01：实数的运算 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 7、有理数除法运算法则就什么？ 有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？ 相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an 9、有理数乘方运算的法则是什么？ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？ 去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。 知识点02：近似数 1. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入 是最常用的一种方法 例如:圆周率π=3.1415926﹍ 若精确到个位 (或精确到1),则π ≈3 若精确到十分位 (或精确到0.1),则π ≈3.1 若精确到百分位 (或精确到0.1),则π ≈3.14 若精确到千分位 (或精确到0.1),则π ≈3.142 π若精确到十分位 ,则π ≈3.1 也可以说成: π保留2个有效数字:3、1 2.有效数字定义: 对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。 例 如 ：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4； 0.010320有 5 个有效数字,分别是1、0、3、2、0. 【即学即练1】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．下列各式中，化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01 实数的混合运算 1．已知a是25的平方根，b是的小数部分，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D． 2．计算的结果等于（    ） A． B． C．13 D．1 3．计算 ． 4．计算： ． 5．（1）计算： ①； ②． （2）求下列各式的值： ①； ②． 题型02 程序设计与实数运算1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的值是（    ）    A． B． C． D． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为16时，输出的y值是（    ） A． B．2 C．4 D．8 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 4．如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 5．如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 题型03 新定义下的实数运算 1．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 2．用表示不大于x的最大整数，如，，则的值是（    ） A． B． C． D．1 3．对于实数a、b，定义；当时，；当时，，例如；已知，、且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 4．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 5．计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型04 实数运算的实际应用 1．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．a满足以下说法：①a是无理数；②；③是整数．那么a可能是（ ） A． B． C． D． 3．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 4．如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ． 5．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 题型05 与实数运算相关的规律题 1．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 3．一组有规律的数则第个数是 ． 4．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 5．观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 1．已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 2．用[x]表示不超过实数x的最大整数，，，．若正整数满足，则称为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（    ） A． B． C． D． 3．观察下列各式： ①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（    ）．    A． B． C． D．2 5．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，例如，，若将a变换成[]称为对a进行一次操作，例如：现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，对一个数进行类似操作，下列说法正确的个数是(   ) ①对11进行一次操作后的结果是3； ②对210进行三次操作后的结果是1； ③若正整数n进行3次操作后变为1，则n的最大值是225． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 7．定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，，，按照此规定，（1） ； （2）若，则x的取值范围为 ； 8．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ，当 ． 9．如果的小数部分为的小数部分为b，则 10．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 11．计算： 12．因为，即，所以的整数部分为4，小数部分为．若是的小数部分，求的算术平方根． 13．阅读理解 ，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1． 的小数部分为 解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分， (1)求，的值； (2)求的平方根． 14．计算： (1)； (2) 15．我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$