第09讲 立方根与实数的运算 （知识清单+6大题型+好题必刷）数学核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第09讲 立方根与实数的运算 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 立方根的实际应用 题型五 实数的混合运算 题型六 实数运算的实际应用 知识清单 知识点1．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型练习 【题型一】立方根概念理解 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则  ②若，则 ③若，则  ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的性质，立方根的性质，根据绝对值的非负性，以及立方根的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则：， ∴；故①正确； 若，则或；故②错误； 若，则，故③错误； 若，则，故④正确； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）下列说法：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；②任何正数都有两个互为相反数的平方根；③立方根等于本身的数有1，0，；④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解、倒数 【分析】本题主要考查了实数的性质，直接利用立方根的定义以及平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】解：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数，此说法正确，故不符合题意； ②任何正数都有两个互为相反数的平方根，此说法正确，故不符合题意； ③立方根等于本身的数有1，0，，此说法正确，故不符合题意； ④一个数的算术平方根一定比原数小，此说法错误，比如，0的算术平方根是0，故符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较下列实数的大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了比较实数的大小，根据算术平方根和立方根的定义求解即可，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）求下列各式的值． (1)若a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，求的值； (2)若的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根； (3)如图，在方格中阴影正方形的边长是 ，它的整数部分是 ，小数部分是 （小正方格的边长为1个长度单位）． 【答案】(1)或 (2)的平方根是 (3)，3， 【知识点】无理数整数部分的有关计算、立方根概念理解、倒数、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查实数的性质，正确掌握相关的定义是解题的关键． （1）直接利用相反数、互为倒数、绝对值的性质代数计算； （2）直接利用立方根和平方根的定义的定义求解即可； （3）利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5， ， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或； （2）解：的立方根是3，的算术平方根是4， ， ， ， 的平方根为， 即的平方根是； （3）解：在方格中阴影正方形的边长， ， 它的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：，3，． 【题型二】求一个数的立方根 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）数的值为（   ） A． B．9 C．3 D．81 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）在实数，，中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个8之间依次多1个等形式．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）64的平方根为 ；的立方根为 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根等知识点，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义进行求解即可，注意先化简，再求解． 【详解】解：64的平方根为， 的立方根为， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【题型三】已知一个数的立方根，求这个数 【例3】（22-23七年级上·浙江温州·期中）若，，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 当，时，， 当，时，， 故选：B． 【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴的算术平方根是 故答案为：． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是3，的立方根是2，则的算术平方根为 ． 【答案】6 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义，先求出a和b的值，再将a和b的值代入求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3，的立方根是2， ∴，， ∴，， ∴， ∴的算术平方根为：． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为2， (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)4 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、平方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的计算方法是解题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数可求得a的值，的立方根为2列方程求解即可求得b的值； （2）根据(1)可求得的值，然后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵某正数的平方根分别是和，的立方根为2， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∵16的算术平方根为4， ∴的算术平方根为4． 【题型四】立方根的实际应用 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义； 首先设这个储水池的棱长为，根据题意可得， 然后根据立方根的定义计算出的值即可． 【详解】解：设这个储水池的棱长为， 这个储水池是正方体，且容积为， ， ， 即该容器的棱长是， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 【答案】B 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】由题意可得每个方块的体积为， 则其边长为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知球体的体积，若一个球的体积是，则它的半径 ． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，由题意可得，从而得出，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算、立方根的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 【题型五】实数的混合运算 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 【答案】D 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键． 根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【详解】解：A、当时，，是有理数，是无理数，故A错误； B、当，那么，所以B错误； C、当时，是有理数，故选项C错误； D、当，那么，所以选项正确，D正确． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的混合运算、实数与数轴 【分析】本题考查根据数轴上字母的位置，判断式子的正负，有理数的相关运算，以及绝对值意义，根据，可知数轴原点是b，c的中点，即可判断实数a，b，c的正负，再根据有理数的相关运算法则，对选项作出判断，即可解题． 【详解】解：， 数轴原点是b，c的中点， ，，，且， ，故A项正确，不符合题意． ，故B项正确，不符合题意． ，故C项错误，符合题意． ，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：＝ ． 【答案】/ 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先去括号，然后再计算加减法． （2）先算乘方，然后再算乘除法，最后再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型六】实数运算的实际应用 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数运算的实际应用、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了算术平方根、乘方、立方根以及实数运算，掌握相关定义和运算法则是解题关键．根据算术平方根、乘方、立方根以及实数运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、和不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为2 ． 【答案】和（答案不唯一） 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】写出两个无理数，使无理数部分为相反数即可． 【详解】解：， 故答案为和． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【知识点】实数运算的实际应用、实数与数轴 【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【详解】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 好题必刷 一、单选题 1．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 2．已知，下列结论错误的是（    ） A．是负数 B．是27的立方根 C．是无理数 D．是7的算术平方根 【答案】B 【分析】通过实数的运算以及负数、立方根、平方根、无理数的定义逐项判断． 【详解】A．的平方是7，3的平方是9,7比9小，因此，为负数，A项正确； B．27的立方根是3，题中由得不是27的立方根，B项错误； C．将平方得是无理数，C项正确； D．题中由得，是7的算术平方根，D项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了负数、无理数、立方根、算术平方根的概念，充分理解这些概念是解答本题的基础． 3．在计算器上按键，显示结果是（　　） A． B．3 C．17 D．33 【答案】A 【分析】首先应该熟悉按键顺序，然后即可熟练应用计算器解决问题． 【详解】解：在计算器上依次按键转化为算式为， 显示结果为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用计算器计算结果，要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能． 4．若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】一个正数的平方根有两个，互为相反数，0的平方根是0，一个数的立方根有1个，根据题意可知该数只有一个平方根，由此即可得到答案． 【详解】解：∵一个数的平方根等于它的立方根， ∴这个数的平方根只有1个， ∴这个数只能是0， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟知相关定义是解题的关键． 5．下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是 B．的平方根是它本身 C．的平方根是 D．若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数为 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义即可求解． 【详解】解：选项，，即的算术平方根是，故选项错误，不符合题意； 选项，的平方根是，故选项错误，不符合题意； 选项，的平方根是，故选项正确，符合题意； 选项，的平方根是，的立方根是，，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根的综合，理解并掌握只有非负数才有平方根，平方根中取正号的是算术平方根，正数、负数、零都有立方根是解题的关键． 6．下列计算结果不等于2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的运算．熟练掌握求一个数的算术平方根，立方根，乘方和四则计算，是解题的关键． 根据实数的运算，算术平方根据，立方根，求出各选项的值，即可得出答案． 【详解】A. ，结果为2，故不符合题意； B. ，结果为2，故不符合题意； C. ，结果为2，故不符合题意； D. ，结果不为2，故符合题意． 故选：D． 7．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 【答案】A 【分析】根据正方体的体积计算公式和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设原来的棱长为x，那么现在的体积为， ∵， ∴它的棱长变为原来的2倍， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了立方根与立方体的体积公式，解题关键是利用立方根的定义准确的求出新立方体的棱长，从而求出棱长之间的关系． 8．一个数的平方根与立方根相等，这样的数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】一个数的平方根与立方根相等的只有0． 【详解】解：一个数的平方根与立方根相等的只有0． 故选A． 【点睛】本题考查平方根和立方根的概念，熟记这些概念才能求解． 9．下列说法错误的是（   ） A． B．64的算术平方根是4 C． D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意； B、64的算术平方根是8，该选项错误，符合题意； C、，该选项正确，不符合题意； D、，则，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 10．要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（    ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 【答案】C 【分析】设底面边长为x分米，则高为分米，根据长方体体积公式列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设底面边长为x分米，则高为分米，根据题意得， ， ， 解得， 所以底面边长为4分米， 故选：C 【点睛】本题主要考查了立方根的实际应用，正确列出方程是解答本题的关键． 二、填空题 11．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用立方根的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握若一个数的立方等于a，则这个数称为a的立方根是解题的关键． 12．若的立方根是，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，再根据平方根的定义求 【详解】解：由题可知， 解得：， 10， 的平方根为， 故答案为：． 13．若一个数的相反数等于它本身，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义和实数的混合运算，理解相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义，若一个数的相反数等于它本身，则，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵的相反数等于它本身， ∴， ∴原式， 故答案为：． 14．已知，则的值是 ． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 15．已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 16．有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题 17．已知，其中x，y是有理数．求证：，． 【答案】证明见解析 【分析】当时，由x，y是有理数，得到是有理数，再根据已知条件式推出为无理数，这与是有理数矛盾，从而证明，进而可以证明． 【详解】证明： 当时， ∵x，y是有理数， ∴是有理数， ∵， ∴， ∴为无理数，这与是有理数矛盾， ∴不成立， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数的计算，正确推出当时，为无理数，这与是有理数矛盾是解题的关键． 18．已知正数x的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据立方根与平方根的定义求得b,a的值； （2）将b,a的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵x的平方根是与， ， ， 的立方根是 ， ， 即a、b的值分别为4，； （2）解：当时， ． 19．计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的近似计算，熟练掌握算术平方根、立方根以及的近似值，和小数的四则运算规则是解题的关键． （1）先分别求出和的近似值，再做减法运算，最后按要求保留小数位数． （2）先求出的近似值，再与的近似值相乘，最后保留两位小数． 【详解】（1）解：， （2）解：， 20．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 【答案】填表见解析；（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答； （2）根据（1）总结的规律解答． 【详解】 a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … （1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位， ∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到． 【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 21．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算． （1）先计算立方根，算术平方根，再计算即可； （2）先计算立方根，算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解：解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义计算即可； （2）根据绝对值的意义、算术平方根的定义计算即可； （3）根据立方根的定义和算术平方根的定义计算即可； （4）根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的定义、绝对值的意义进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的意义、有理数的乘方，解本题的关键在熟练掌握定义和运算法则．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根；如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根． 23．已知实数和是正数a的两个平方根． (1)求x和a的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)2，9 (2)2 【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数，求出x的值是多少即可； （2）把（1）中求出的x的值代，求出算式的立方根是多少即可． 【详解】（1）因为实数和是正数a的两个平方根， 所以， 解得． 则， 所以． （2）由（1）得，所以， 所以的立方根是2． 【点睛】此题主要考查了立方根的性质和运用，以及平方根的性质和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 24．一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的正方体木块，其中一个小正方体的棱长和表面积分别是多少？ 【答案】小正方体的棱长为，表面积为 【分析】设小正方体的棱长为，根据题意得，解方程可求正方体小木块的棱长，进而可求得表面积． 【详解】解：设小正方体的棱长为， 根据题意得，， ， ． 即：小正方体的棱长为， 则小正方体表面积为：． 答：小正方体的棱长为，表面积为． 【点睛】本题考查了立方根的实际应用，是基础题，熟记立方根概念是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 立方根与实数的运算 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 立方根的实际应用 题型五 实数的混合运算 题型六 实数运算的实际应用 知识清单 知识点1．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型练习 【题型一】立方根概念理解 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则  ②若，则 ③若，则  ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）下列说法：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；②任何正数都有两个互为相反数的平方根；③立方根等于本身的数有1，0，；④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较下列实数的大小： （填“”“”或“”）． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）求下列各式的值． (1)若a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，求的值； (2)若的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根； (3)如图，在方格中阴影正方形的边长是 ，它的整数部分是 ，小数部分是 （小正方格的边长为1个长度单位）． 【题型二】求一个数的立方根 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）数的值为（   ） A． B．9 C．3 D．81 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）在实数，，中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）64的平方根为 ；的立方根为 ． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1) (2) 【题型三】已知一个数的立方根，求这个数 【例3】（22-23七年级上·浙江温州·期中）若，，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是3，的立方根是2，则的算术平方根为 ． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为2， (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【题型四】立方根的实际应用 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）一个正方体储水容器，已知其容积是，则该容器的棱长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知球体的体积，若一个球的体积是，则它的半径 ． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【题型五】实数的混合运算 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：＝ ． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【题型六】实数运算的实际应用 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为2 ． 3．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 好题必刷 一、单选题 1．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 2．已知，下列结论错误的是（    ） A．是负数 B．是27的立方根 C．是无理数 D．是7的算术平方根 3．在计算器上按键，显示结果是（　　） A． B．3 C．17 D．33 4．若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数是（   ） A．0 B．1 C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是 B．的平方根是它本身 C．的平方根是 D．若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数为 6．下列计算结果不等于2的是（   ） A． B． C． D． 7．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 8．一个数的平方根与立方根相等，这样的数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 9．下列说法错误的是（   ） A． B．64的算术平方根是4 C． D．若，则 10．要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（    ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 二、填空题 11．已知，则的值是 ． 12．若的立方根是，则的平方根是 ． 13．若一个数的相反数等于它本身，则 ． 14．已知，则的值是 ． 15．已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 16．有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 三、解答题 17．已知，其中x，y是有理数．求证：，． 18．已知正数x的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求a、b的值； (2)求的值． 19．计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 20．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 21．求下列各式的值： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．已知实数和是正数a的两个平方根． (1)求x和a的值． (2)求的立方根． 24．一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的正方体木块，其中一个小正方体的棱长和表面积分别是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$