第01讲 集合（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第01讲 集合 预习目标 知识回顾 1.了解集合概念的产生背景，经历从生活实例与数学实例中抽象出集合定义的过程； 2.理解集合元素的确定性、互异性、无序性三大特征，能独立判断一组对象能否构成集合； 3.掌握元素与集合 “属于”“不属于” 的关系，熟记常用数集的专用表示符号； 4.掌握列举法、描述法两种集合表示方法，能根据场景选择合适的方法表示集合。 1. 初中已学数的分类：正整数、零、负整数统称整数，整数和分数统称有理数，有理数和无理数统称实数； 2. 初中一元一次不等式的所有解组成不等式的解集，解集本质是一类数的整体； 3. 初中可按特征对图形分类，例如三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 新知导图 预习精讲 知识点01 集合与元素的含义 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。 集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示 元素与集合的区别 元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的;元素与集合是相对的，如数0、1构成的一个集合记为A,0是集合A中的一个元素，但集合A也可以作为元素，如集合B中含有A，此时A表示集合B中的一个元素. 下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）. ①中国古代四大发明        ②地球上的小河流 ③方程的实数解    ④周长为10cm的三角形 ⑤接近于0的数 【答案】②⑤ 【分析】利用集合元素的基本特征判断. 【详解】①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合； ②地球上的小河流，不确定，不能构成集合； ③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合； ④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合； ⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合. 故答案为：②⑤ 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2026～2027学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 知识点02 元素与集合的关系 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D 已知，则__________． 【答案】 【分析】直接根据元素与集合的关系进行求解即可. 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 知识点03 集合中元素的三个性质 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 集合中的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素,要么不是，两种关系有且只有一种成立;同时，应注意检查集合的元素是否满足互异性 集合中元素的三个性质的主要作用 (1)确定性 判断指定的一组对象能否组成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的. (2)互异性 提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否能使集合中的元素满足互异性 (3)无序性 方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，需分情况讨论. 由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用集合的互异性来写出集合，再得出元素个数即可. 【详解】因为集合，所以集合A中的元素有4个. 故选：A. 已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】由集合元素的互异性可得解. 【详解】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 知识点04 两个集合相等 如果两个集合与的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合类型判断AB；分奇偶讨论可判断C；根据范围和元素特征可判断D. 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 知识点05 集合的分类 元素个数有限的集合称为有限集,否则就称为无限集. 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 【答案】B 【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论． 【详解】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集， N＝{小于1050的正整数}，是有限集， P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集， Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集， 故选：B． 知识点06 常用数集的符号 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 知识点07 空集 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义和空集的定义逐项判断. 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 下列各式中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③； ④；  ⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断. 【详解】根据空集的概念可知，①错误，②正确，③错误； 根据元素与集合的关系可知，④错误，⑤正确. 所以只有②⑤是正确的. 故选：D 题型速练 题型01 判断元素能否构成集合 下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性进行判断 【详解】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合； 对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合； 对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合； 对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合. 故选：D 下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合 B．方程的所有解的集合可表示为 C．和是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 【答案】C 【分析】由集合的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，没有元素，有一个元素，不是同一集合，错误； 对于B，由元素的互异性可知，错误； 对于C，由可知：，正确； 对于D，由元素的确定性可知，错误， 故选：C 若，则构成集合中的应满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性，可求解. 【详解】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为：. 下列各对象的全体不能构成集合的有______.（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【分析】根据集合的概念判断即可. 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【答案】(1)能，理由见解析； (2)能，理由见解析； (3)不能，理由见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据集合的定义判断即可. 【详解】（1）能构成集合，元素是确定的且个数有限，该集合是有限集. （2）能构成集合，元素是确定的且个数无限，该集合是无限集. （3）不能构成集合，元素无法确定. 常见错误/必记结论 判断对象能否构成集合，核心依据集合元素的确定性，标准模糊、描述主观的对象无法构成集合.同时需掌握元素的互异性与无序性，理解描述法代表元素含义，区分空集 与单元素集 ． 易错点：易误将主观模糊概念判定为确定对象；忽略元素互异性，出现重复元素；混淆描述法中代表元素的实际取值范围. 题型02 判断元素与集合的关系 已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】由集合，得， 所以. 下列所给四个关系中：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数集、整数集、自然数集、有理数集的概念以及集合与元素的关系即可判断. 【详解】是实数，故①正确；不是整数，故②错误； 是自然数，故③正确；不是有理数，故④错误. 故选：B 用适当符号填空：1______ 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】当时，，故， 故答案为： 已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 常见错误/必记结论 判断元素与集合的从属关系，需验证元素是否符合集合的表达式约束，熟记常用数集 的定义，对描述法集合需准确拆解代表元素的取值规则。 易错点：易混淆各数集的范围，错判无理数、整数的所属类别；对集合表达式变形不熟练，无法匹配元素的结构形式。 题型03 根据元素与集合的关系求参数 已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 已知集合，若，则___________． 【答案】4 【分析】先根据元素和集合关系，分两种情况讨论3是集合的哪个元素，再根据集合元素的互异性验证结果，确定的值． 【详解】集合，， 或， 当时，解得，此时，集合； 当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去． ． 故答案为：4． 已知集合，且，则___________． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 已知集合，若，则的值是______． 【答案】或3 【分析】根据可构造方程求得结果. 【详解】    ，解得：或 本题正确结果：或 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数值的问题，属于基础题. 已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 已知元素属于列举法表示的集合，令集合中各元素分别等于已知元素，解方程求得参数，最后必须代回验证集合元素的互异性，剔除造成元素重复的取值. 易错点：易忽略元素互异性检验，产生增解；分类讨论时易遗漏匹配对象，造成缺解. 题型04 根据集合中元素的个数求参数 集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【分析】分别讨论和的情况，结合判别式可构造方程求得结果. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 设集合若集合为单元素集，则实数的值为_______. 【答案】或 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 12．已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为______． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】对分，两类讨论即可得解. 【详解】由题意，方程只有一个解， 当时，有一解，符合题意， 当时，一元二次方程有一解， 只需，解得， 综上，或， 故答案为： 常见错误/必记结论 方程型集合为单元素集，需分类讨论。二次项系数为 0 时，验证一次方程解的个数；二次项系数不为 0 时，令判别式 求解参数． 易错点：易遗漏二次项系数为 0 的情形，直接套用判别式导致漏解；判别式运算易出现符号失误． 题型05 利用集合元素的互异性求参数 集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 已知集合，则______ 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 若，则__________. 【答案】0 【分析】利用元素与集合的关系及集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，得，即， 由，得，所以. 故答案为：0 已知集合，且，则________． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 常见错误/必记结论 求解参数先依据元素对应关系列方程，所得结果必须代回集合，按元素互异性检验，剔除使元素重复的取值.集合相等需分类讨论元素的匹配关系. 易错点：易忽略互异性检验产生增解；集合相等时分类不全，造成缺解. 题型06 利用集合中元素的性质求集合元素个数 已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、判断元素与集合的关系 【分析】先根据集合的元素求出集合的元素，再统计集合中的元素个数． 【详解】， 或，解得或， ，故中共有4个元素． 故选：C． “notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 【答案】7 【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素. 【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 设是非零实数，那么可能取的值组成集合是______________； 【答案】 【分析】讨论中正负数的个数，求的可能取值集合. 【详解】都是正数，则， 当中有2个正数，1个负数时，则， 当中有1个正数，2个负数时，则， 当都是负数，则. 所以可能取的值组成集合. 故答案为： 常见错误/必记结论 求解需依据约束条件有序枚举所有符合要求的元素，严格遵循元素互异性去重计数.点集类问题先确定各分量取值范围，再按组合规则统计不同有序对的数量. 易错点：枚举时易遗漏边界取值；忽略元素互异性造成重复计数；点集平移类易错判坐标取值边界. 题型07 集合元素互异性的应用 若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 已知，则实数___________. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可. 【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性； 当时，由上不符合，而时，此时集合为. 综上，. 故答案为： 已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【知识点】集合元素互异性的应用、根据两个集合相等求参数 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【答案】C 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】由集合中元素的互异性即可得解. 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 常见错误/必记结论 集合元素具备互异性，即集合中各元素互不相等，据此可判断几何图形边长必不相等，排除含等边的图形.已知元素属于集合，分类列方程求解参数后，务必代回检验元素互异性. 易错点：易忽略元素互不相等，误判存在等边长图形；求参数时遗漏互异性检验，导致增解. 题型08 根据两个集合相等求参数 已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 设集合，，若，则_____． 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】因为集合，，且，故，解得. 故答案为：. 设，.若集合，则______. 【答案】0 【分析】由集合相等的定义，结合元素的互异性，分类讨论求出，进而可得到答案. 【详解】由易知，， 由两个集合相等的定义可知包括两种情况： ①，得，经验证，符合题意； ②，易知该方程组无解， 综上，，， 则． 故答案为：0. 若集合，则的值为______ 【答案】12 【分析】根据集合相等的表示及二次方程求解元素即可. 【详解】因为， 所以集合可表示为，所以. 故答案为：12. 设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验，从而得出解法的正误． 【详解】解：不正确．原因为：由题意知， ①或②， 由①得，但此时，不满足互异性，故舍去． 由②得（舍）或，经检验符合题意． 综上所述，实数的值为． 常见错误/必记结论 两集合相等则所含元素完全相同，需分类讨论元素的对应关系，列方程求解参数，结果必须代回检验元素互异性，剔除增解。 易错点：分类讨论不全造成漏解；忽略互异性检验产生增解；错配元素对应关系导致结果失误。 基础过关 1．下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 【答案】A 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误； 故选：A. 2．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 3．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 【答案】C 【分析】根据集合的定义与整除的概念判断. 【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2， 故选：C. 4．下列命题中正确的是（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 5．由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得或（舍）， 所以，，， 故选：A． 6．已知集合，集合，且，则实数__________. 【答案】 【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 7．用符号或填空：________ 【答案】 【分析】由元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为为无理数，为有理数集， 所以， 故答案为： 8．已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，结合两个条件联立求解实数 的取值范围 【详解】当时，需满足，即，解得， 当时，需满足，即， 且 ，因此实数的取值范围为. 故答案为：. 9．若集合的子集只有两个，则实数________. 【答案】0或 【分析】由题意知中只含有一个元素，分和两种情况讨论即可； 【详解】因为集合的子集只有两个，所以中只含有一个元素． 当时，； 当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得． 综上，当或时，集合只有一个元素． 故答案为：或． 10．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 11．若集合，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合的互异性得，解出即可. 【详解】由集合的互异性有，解得且， 所以， 故答案为：. 12．集合有且仅有2个子集，则的取值集合为______ 【答案】 【分析】根据集合子集个数确定集合中元素个数，分和求解即可. 【详解】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素， 所以方程即只有一个根， 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，原方程化为，所以， 解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为. 故答案为：. 13．已知集合，，若中元素恰有一个，求的取值范围． 【答案】或. 【分析】根据题意，便知方程只有一个解，显然需讨论，当时，便可解出，符合方程有一个解；当时，方程便为一元二次方程，从而判别式，解出的范围，综合即可得出的取值范围. 【详解】解：由题可知，，，且中元素恰有一个， 当时，，，则， 即集合中只有一个元素，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，则，解得：， 综上可知，的取值范围为或. 【点睛】本题考查描述法表示集合，集合的元素的概念，以及一元二次方程恰有一个解时判别式的情况，不要漏了的情况． 14．若实数满足集合与集合相等，求的值． 【答案】 【分析】集合相等，即元素相同，先用真数大于0得到，从而，再分两种情况讨论，求得最终的值. 【详解】有可知，，故，，故，所以 若，显然与中都有两个1，舍去 若，此时，，符合要求 所以的值均为-1 15．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析. 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】解：（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集. （3）因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 能力提升 16．已知，则______． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，即可求解. 【详解】因为，所以或，解得. 当时，，符合题意； 当时，，不符合集合元素互异性，舍去， 综上所述，， 故答案为： 17．已知集合，且，则__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得且， 由，则，故. 故答案为： 18．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是______. 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 19．已知，，若，则______. 【答案】/ 【分析】由集合相等，列出等式，再结合集合元素的互异性即可. 【详解】因为， 当解得：或，都不符合集合元素的互异性， 当解得：或（结合集合元素的互异性舍去） 所以. 故答案为： 20．已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）当时，为一次方程，符合题意，当时，则可求得结果， （2）当，时，方程无解，当时，则可得答案. 【详解】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时， 因为中至多只有一个元素， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为或； （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时， 因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集． 挑战一刻 21．对于，设集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，正确的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．存在无数的，使得 D．若，则 【答案】C 【分析】先将分式方程转化为整式方程，确定方程有解的条件（分母不为零），然后对一元二次方程的判别式进行分类讨论，求出不同情况下集合的元素，进而计算和最后对各个选项进行判断即可. 【详解】根据已知，要使，只需且， 则由可得或， 对于一元二次方程，其判别式， 当，即时，集合，，； 当 ，即时，集合，； 当，即时，一元二次方程的解为， ①时，，则集合，则，， ②当时，，则集合，则，， ③当时，，则集合，则，， ④当时，，则集合，则，， ⑤当时，集合，则，. 选项A，当时，，所以A错误； 选项B，的可能值为（），无，所以B错误； 选项C，当，且时，，有无数个满足，所以C正确； 选项D，当时，有和满足，所以D错误. 故选：C. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合 预习目标 知识回顾 1.了解集合概念的产生背景，经历从生活实例与数学实例中抽象出集合定义的过程； 2.理解集合元素的确定性、互异性、无序性三大特征，能独立判断一组对象能否构成集合； 3.掌握元素与集合 “属于”“不属于” 的关系，熟记常用数集的专用表示符号； 4.掌握列举法、描述法两种集合表示方法，能根据场景选择合适的方法表示集合。 1. 初中已学数的分类：正整数、零、负整数统称整数，整数和分数统称有理数，有理数和无理数统称实数； 2. 初中一元一次不等式的所有解组成不等式的解集，解集本质是一类数的整体； 3. 初中可按特征对图形分类，例如三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 新知导图 预习精讲 知识点01 集合与元素的含义 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。 集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示 元素与集合的区别 元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的;元素与集合是相对的，如数0、1构成的一个集合记为A,0是集合A中的一个元素，但集合A也可以作为元素，如集合B中含有A，此时A表示集合B中的一个元素. 下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）. ①中国古代四大发明        ②地球上的小河流 ③方程的实数解    ④周长为10cm的三角形 ⑤接近于0的数 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2026～2027学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 知识点02 元素与集合的关系 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 已知，则__________． 知识点03 集合中元素的三个性质 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 集合中的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素,要么不是，两种关系有且只有一种成立;同时，应注意检查集合的元素是否满足互异性 集合中元素的三个性质的主要作用 (1)确定性 判断指定的一组对象能否组成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的. (2)互异性 提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否能使集合中的元素满足互异性 (3)无序性 方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，需分情况讨论. 由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A．4 B．5 C．3 D．2 已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 知识点04 两个集合相等 如果两个集合与的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 知识点05 集合的分类 元素个数有限的集合称为有限集,否则就称为无限集. 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 知识点06 常用数集的符号 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 知识点07 空集 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 下列各式中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③； ④；  ⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 题型速练 题型01 判断元素能否构成集合 下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合 B．方程的所有解的集合可表示为 C．和是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 若，则构成集合中的应满足的条件是______． 下列各对象的全体不能构成集合的有______.（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 常见错误/必记结论 判断对象能否构成集合，核心依据集合元素的确定性，标准模糊、描述主观的对象无法构成集合.同时需掌握元素的互异性与无序性，理解描述法代表元素含义，区分空集 与单元素集 ． 易错点：易误将主观模糊概念判定为确定对象；忽略元素互异性，出现重复元素；混淆描述法中代表元素的实际取值范围. 题型02 判断元素与集合的关系 已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 下列所给四个关系中：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 用适当符号填空：1______ 已知集合，，则__________． 常见错误/必记结论 判断元素与集合的从属关系，需验证元素是否符合集合的表达式约束，熟记常用数集 的定义，对描述法集合需准确拆解代表元素的取值规则。 易错点：易混淆各数集的范围，错判无理数、整数的所属类别；对集合表达式变形不熟练，无法匹配元素的结构形式。 题型03 根据元素与集合的关系求参数 已知，则的值为___________． 已知集合，若，则___________． 已知集合，且，则___________． 已知集合，若，则的值是______． 已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 已知元素属于列举法表示的集合，令集合中各元素分别等于已知元素，解方程求得参数，最后必须代回验证集合元素的互异性，剔除造成元素重复的取值. 易错点：易忽略元素互异性检验，产生增解；分类讨论时易遗漏匹配对象，造成缺解. 题型04 根据集合中元素的个数求参数 集合有且仅有一个元素，则实数___________ 设集合若集合为单元素集，则实数的值为_______. 12．已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为______． 常见错误/必记结论 方程型集合为单元素集，需分类讨论。二次项系数为 0 时，验证一次方程解的个数；二次项系数不为 0 时，令判别式 求解参数． 易错点：易遗漏二次项系数为 0 的情形，直接套用判别式导致漏解；判别式运算易出现符号失误． 题型05 利用集合元素的互异性求参数 集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 已知集合，则______ 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 若，则__________. 已知集合，且，则________． 常见错误/必记结论 求解参数先依据元素对应关系列方程，所得结果必须代回集合，按元素互异性检验，剔除使元素重复的取值.集合相等需分类讨论元素的匹配关系. 易错点：易忽略互异性检验产生增解；集合相等时分类不全，造成缺解. 题型06 利用集合中元素的性质求集合元素个数 已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 “notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 设是非零实数，那么可能取的值组成集合是______________； 常见错误/必记结论 求解需依据约束条件有序枚举所有符合要求的元素，严格遵循元素互异性去重计数.点集类问题先确定各分量取值范围，再按组合规则统计不同有序对的数量. 易错点：枚举时易遗漏边界取值；忽略元素互异性造成重复计数；点集平移类易错判坐标取值边界. 题型07 集合元素互异性的应用 若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 已知，则实数___________. 已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 已知集合，，且，求集合． 常见错误/必记结论 集合元素具备互异性，即集合中各元素互不相等，据此可判断几何图形边长必不相等，排除含等边的图形.已知元素属于集合，分类列方程求解参数后，务必代回检验元素互异性. 易错点：易忽略元素互不相等，误判存在等边长图形；求参数时遗漏互异性检验，导致增解. 题型08 根据两个集合相等求参数 已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 设集合，，若，则_____． 设，.若集合，则______. 若集合，则的值为______ 设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 常见错误/必记结论 两集合相等则所含元素完全相同，需分类讨论元素的对应关系，列方程求解参数，结果必须代回检验元素互异性，剔除增解。 易错点：分类讨论不全造成漏解；忽略互异性检验产生增解；错配元素对应关系导致结果失误。 基础过关 1．下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 2．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 4．下列命题中正确的是（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 5．由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 6．已知集合，集合，且，则实数__________. 7．用符号或填空：________ 8．已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 9．若集合的子集只有两个，则实数________. 10．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 11．若集合，则实数a的取值范围是________． 12．集合有且仅有2个子集，则的取值集合为______ 13．已知集合，，若中元素恰有一个，求的取值范围． 14．若实数满足集合与集合相等，求的值． 15．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 能力提升 16．已知，则______． 17．已知集合，且，则__________． 18．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是______. 19．已知，，若，则______. 20．已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 挑战一刻 21．对于，设集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，正确的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．存在无数的，使得 D．若，则 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $