专题01：集合的意义（6大知识点+12大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接沪教版（2020）数学

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题01 集合的意义 1、集合的意义 （1）定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集； （2）记法：集合通常用大写字母A、B、C、…来表示； （3）常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集； 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 名称 正整数集 记法 N Z Q R 符号 N＋或N* 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物； 2、元素 （1）定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element），简称元； （2）记法：通常用小写字母a、b、c、…来表示； （3）特性：确定性、互异性、无序性。 注意：一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的； 3、元素与集合的关系 关系 定义 记法 读法 属 于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a∉A a不属于A 4、集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等；记作A=B； 5、集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含有任何元素的集合，记作； 知识点一、集合的意义 题型一、集合的概念 【名师点拨】判断一组对象组成集合的依据：判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性；如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合。集合的元素有三个性质：（1）确定性：负责判断这组元素是否能构成集合；（2）互异性：负责判断构成集合的元素的个数；（3）无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关； 【例1】下列对象能组成集合的是 ①上海中学高一部分学生 ②倒数等于自身的实数 ③超过100页的书 ④世界知名艺术家 ⑤方程的全体解 【答案】②③⑤. 【分析】根据集合元素的三要素，确定性、互异性和无序性可判断. 【详解】①上海中学高一部分学生不符合确定性，不能构成集合； ②倒数等于自身的实数有和1，可构成集合； ③超过100页的书符合集合元素的特征，可以构成集合； ④世界知名艺术家，“知名”没有确定性，不能构成集合； ⑤方程无解，可构成空集. 因此，能构成集合的为②③⑤. 故答案为：②③⑤. 【跟踪训练】 1.不列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号） ①七宝中学高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念判断即可. 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 2.下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．上课迟到的学生 B．2025年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 【分析】根据集合元素的“确定性”，可知B项中的对象不符合集合的定义．而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项． 【解答】解：对于A，“上课迟到的学生”属于确定的概念，故能构成集合； 对于B，“2025年高考数学难题”界定不明确，不能构成集合； 对于C，任意给一个数都能判断是否为有理数，故能构成集合； 对于D，小于π的正整数分别为1，2，3，能够组成集合． 故选：B． 【点评】本题给出几组对象，要我们找出不能构成集合的对象，着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题． 3.下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【分析】根据集合中元素的特征即可判断选项是否正确． 【解答】解：因为集合中的元素具有确定性， 而对于A，B，C，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性； 所以A，B，C错误， 对于D，符合集合的定义，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的定义以及集合的元素的特征，属于基础题． 题型二、 两个集合相等 【名师点拨】对于含参数的据集合相等问题，一般根据集合相等的定义，建立等式或不等式解之；注意检验集合元素的互异性。 【例2】下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 【答案】①④ 【分析】根据相等集合的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，，所以； 对于②，，所以； 对于③，，所以； 对于④，由，得， 则，所以. 故答案为：①④. 【例3】已知集合，，且，则的值为________. 【提示】理解集合相等的定义； 【答案】； 【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可. 【详解】解：因为，，，所以，解得， 故答案为：0； 【例4】集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】利用集合中元素的互异性，结合，所以只有，再对剩下两个数对应相等情况分类，即可求解. 【详解】由集合中元素有意义知，由集合中元素的互异性知， ∵，∴或 解得或（舍去）． ∴． 【跟踪训练】 1．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 2.已知集合，，若，则 【答案】6 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合元素的性质可求的值，即可解答. 【详解】因为，故，故， 故答案为：6 3.已知集合，，若，则 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等求出，再代入计算即得. 【详解】由集合，得，又，， 则或，解得，此时 解得与矛盾， 所以. 故答案为： 4.已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 知识点二、元素的特征 题型三、元素的特征 【例5】若集合，，中的元素是的三边长，则一定不是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据集合元素的互异性，在集合，，中，必有、、互不相等，则不会是等腰三角形． 【解答】解：根据集合元素的互异性， 在集合，，中，必有、、互不相等， 故一定不是等腰三角形； 故选：． 【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可． 【跟踪训练】 1．若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 2．已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性可以得出答案 【详解】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 3．英文单词necessary的所有字母组成的集合共有 个元素. 【答案】7 【分析】根据英文单词necessary不同的字母和集合定义可得答案. 【详解】英文单词necessary不同的字母有n、e、c、s、a、r、y7个， 组成的集合为，共有7个元素. 故答案为：7. 故答案为：②③⑤. 题型四、求集合中的元素 【例6】集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________ 【提示】注意仔细审题，明确元素满足的性质； 【答案】0，3，4，5； 【解析】∵∈N，x∈N，∴即∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5. 当x分别为0,3,4,5时，相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5； 【例7】已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，， 因此，若都为正数，则； 若两正一负，则； 若一正两负，则； 若都为负数，则. 所以代数式表示的所有的值的集合是. 题型五、 根据元素的互异性求参数 【名师点拨】求解集合的过程中，首先需要根据集合的确定性确定元素，之后再根据集合的互异性将重复的元素剔除，最后将符合条件的全体元素的取值；其中，由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤：1、求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；2、检验：根据集合中元素的互异性，对以上解出的值进行检验；作答：写出所有符合题意的字母的取值。 【例8】已知集合A＝{a﹣1，2a2+5a+1，a2+1}，且﹣2∈A．求实数a的值． 【分析】根据﹣2∈A，便有a﹣1＝﹣2，或2a2+5a+1＝﹣2，而显然a2+1≠﹣2，对于每种情况求出a的值，带入集合A中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数a的值． 【解答】解：﹣2∈A； ∴①若a﹣1＝﹣2，则a＝﹣1； ∴此时A＝{﹣2，﹣2，2}，显然不满足集合元素的互异性； ②若2a2+5a+1＝﹣2，则； 由上面知a≠﹣1； ∴时，A＝{}，集合A表示正确； 而显然a2+1≠﹣2； ∴实数a的值为． 【点评】考查列举法表示集合，元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，不要忘了验证A是否满足集合元素的互异性． 【跟踪训练】 1.已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 2.已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 3.由实数所组成的集合，最多含　　个元素． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法，应对对分，，三种情况分类讨论，根据讨论结果可得答案． 【解答】解：当时，，，此时集合共有2个元素， 当时，，此时集合共有1个元素， 当时，，，此时集合共有2个元素， 综上的，此集合最多有2个元素， 故选：． 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值，其中解答本题的关键是利用分类讨论思想，对分三种情况进行讨论． 知识点三、元素与集合的关系 题型六、元素与集合的关系 【名师点拨】判断元素和集合关系的通常有两种方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的；（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件； 【例9】用符号“∈”或“∉”填空： ①设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B；1＋________B； ②设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C；5________C； ③设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D；(－1,1)________D. 【提示】判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征； 【答案】①∉　∈　②∉　∈　③∉　∈ 【解析】①因为2＝>，所以2∉B；因为(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11， 所以1＋<，∴1＋∈B； ②因为n是正整数，所以n2＋1≠3，所以3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C. ③因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，且－1是数，所以－1∉D；又(－1)2＝1，所以(－1,1)∈D； 【跟踪训练】 1．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 2．已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据元素与集合间的关系即可求解. 【详解】因为2∈A，所以或，即或. 故答案为：或 3.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)；则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 答案：选C；解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C. 题型七、根据元素与集合的关系求参数 【例10】若，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】利用元素与集合的关系，结合集合元素特性求解即得. 【详解】集合中，，即，解得且， 则，由，得，所以. 故答案为： 【例11】已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x为_______ 【分析】根据集合元素的互异性2∈M必有2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，解出后根据元素的互异性进行验证即可． 【解答】解：由题意得，2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4， 若2＝3x2+3x﹣4，即x2+x﹣2＝0， ∴x＝﹣2或x＝1， 检验：当x＝﹣2时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去； 当x＝1时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去． 若2＝x2+x﹣4，即x2+x﹣6＝0， ∴x＝2或x＝﹣3， 经验证x＝2或x＝﹣3为满足条件的实数x． 【点评】本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验． 【跟踪训练】 1．已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 2．设集合，且，则实数m的值为 ． 【答案】5 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 知识点四、集合的分类与常用数集 题型八、集合的分类 【例12】判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由： （1）6的正倍数的全体组成的集合； （2）600的正约数的全体组成的集合； （3）20世纪在上海出生的所有人组成的集合； （4）一条长度为１的线段上的所有点组成的集合。 【解析】：（1）6的正倍数可表示为6n，其中n是正整数；因为正整数有无限个，所以６的正倍数组成的集合是无限集； （2）600的正约数一定是小于或等于600的正数，其个数不超过600；所以600的正约数组成的集合是有限集； 【说明：“约数”：如果一个整数能被两个整数整除，那么这两个数就是这个数的约数；约数是有限的,一般用最大公约数，所有数都有约数1；正约数表示正的约数；正因数，或称为正约数，指的是一个整数中大于0的因数。如：12的正因数有1，2，3，4，6，12。因数必须是整数，所以任何整数的最小正因数都是1。】 （3）虽然20世纪出生在上海的人比较多，但总数还是有限的；所以20世纪在上海出生的人组成的集合是有限集； （4）在长度为１的线段AB上，存在与A的距离为的点，这里可以是任意正整数，因为正整数有无限个，所以一条长度为１的线段上的所有点组成的集合是无限集。 【方法归纳】在明确了集合中元素满足的确定性后，注意利用相关的代数与几何性质进行化简、表示；对于无限集，更应注意 用好“数轴”与“直角坐标系”。 【跟踪训练】 1.判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【知识点】判断元素能否构成集合、集合的分类 【分析】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【详解】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 2.判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【答案】(1)不能，不满足确定性 (2)能，为无限集 (3)能，为空集，也为有限集 (4)能，为有限集 (5)能，为无限集 【知识点】判断元素能否构成集合、集合的分类 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据题意，结合集合的定义，以及集合中元素的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集，也为有限集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 3.判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)无限集； (3)空集； (4)无限集； (5)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集． 题型九、空集的理解与应用 【例13】已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到方程无实根，结合，即可求解. 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 2.已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________． 答案：a>1；解析：Δ＝4－4a<0得a>1. 3．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 题型十：常用数集或数集关系应用 【例14】下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】常用数集或数集关系应用 【分析】根据常用数集的记法做题即可. 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 【跟踪训练】 1. ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】由元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为为无理数，所以 故答案为： 2.用符号“”或“”填空： （1） ；（2）5 ；（3） ；（4） ． 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据元素与集合之间的关系，结合常用数集分析判断. 【详解】因为为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以；；；. 故答案为：；；；. 3.用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据集合定义，确定元素与集合关系. 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 4.用符号“”或“”填空． （1）0 ；    （2）0 ； （3） ；    （4） ． 【答案】 【分析】略 知识点五、综合素养提升 题型十一、新定义问题 【例15】设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（　　） A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16 【分析】由集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，知A⊗B＝{2，﹣4，﹣1}，由此能求出A⊗B中所有元素之积． 【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}， 定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}， ∴A⊗B＝{2，﹣4，﹣1}， 故A⊗B中所有元素之积为：2×（﹣4）×（﹣1）＝8． 故选：C． 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意A⊗B的定义和求法． 【跟踪训练】 1.已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M，②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M． 下列结论中正确的是　 　． （1）∈M； （2）﹣1∉M； （3）若x，y∈M，则x+y∈M； （4）若x，y∈M，则xy∈M． 【分析】根据条件①②可知﹣1∈M所以（2）错误，．由﹣1∈M、1∈M由条件②③可推出∈M所以（1）成立．由0﹣y∈M可知﹣y∈M，由条件②可推出x﹣（﹣y）＝x+y∈M所以（3）成立．由1∈M、x∈M得x﹣1∈M，由条件③可知∈M、可得∈M、∈M，由条件③得∈M、x﹣x2∈M可知x2∈M，若y∈M，则y2∈M、x+y∈M，所以（x+y）2∈M、x2+y2∈M，所以∈M、∈M，所以xy∈M所以（4）成立． 【解答】解：∵0∈M，1∈M，∴0﹣1＝﹣1∈M．故（2）不成立． ∵1∈M，﹣1∈M，∴1﹣（﹣1）＝2∈M，∴2﹣（﹣1）＝3∈M，∴∈M．故（1）成立． ∵y∈M，∴﹣y∈M，又∵x∈M，∴x﹣（﹣y）＝x+y∈M．故（3）成立． ∵x∈M，∴x﹣1∈M，∴∈M、∈M，∴∈M、∈M ∴∈M、x﹣x2∈M，∴x2∈M，∴∈M，同理∈M，∴∈M，∈M ∴，故（4）成立． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点评】考查元素与集合的关系、分式运算、整式运算、运算能力和逻辑推理能力． 2.已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 题型十二、综合提升 【例16】已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x. （1）若－3∈A，求a的值；（2）若x2∈B，求实数x的值． 解析：(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3， 当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1；经检验，0与－1都符合要求．得a＝0或－1. (2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B， 但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1. 【说明】利用集合元素互异性求参数问题：（1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验；（也是易错问题）；（2）利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用； 【例17】已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 【例18】已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 【例19】已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 解析：（1）因为若，则，， 所以，，，所以. （2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集. （3）因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 一、填空题 1．（2023·全国·高一假期作业）下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号） ①高一（1）班优秀的学生；            ②高一年级身高超过1.60m的男生； ③高一（2）班个子较高的女生；        ④数学课本中的难题． 【答案】② 【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案. 【详解】①中“优秀”，③中“个子较高”，④中“难题”不满足构成集合元素的确定性，而②满足集合元素的性质，故②正确， 故答案为：②. 2．（2023·上海·高三统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 【答案】7 【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素. 【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 3．（2024位育中学高一月考）已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 【答案】①③ 【分析】由元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】；；；，故①③正确. 故答案为：①③ 4．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用集合的互异性及集合相等，求出即得. 【详解】由，得且，当时，显然，于是， 解得，，所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，元素的特点，求出的值即可． 【详解】集合，且， ， 故答案为：． 6．（2023秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则______. 【答案】0或1 【分析】由求得，进行检验后确定的值. 【详解】由于，所以，解得0或1. 当时，， 当时，. 所以的值为0或1. 故答案为：0或1 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于实数、的等式组，解出、的值，即可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，所以，，可得， 从而，所以，，且，解得， 因此，. 故答案为：. 9．（2024华师大二附中高一月考）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 10．（2022•浦东新区校级开学）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若3﹣m∈A，n+1∈A，则非零实数m+n的可能取值集合是 　　． 【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m，n的数值，即可求得答案． 【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，3﹣m∈A，n+1∈A， ∴当3﹣m＝1，m＝2时， n+1＝1，得n＝0， n+1＝2，得n＝1， n+1＝3，得n＝2， 由函数互异性得n＝0， 故m+n＝2， 当3﹣m＝2，m＝1时，由函数互异性得m≠1， 当3﹣m＝3，m＝0时， n+1＝1，得n＝0， n+1＝2，得n＝1， n+1＝3，得n＝2， 由函数互异性得n＝2， 故m+n＝2， ∴非零实数m+n的可能取值集合是{2}， 故答案为：{2}． 【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，属于基础题． 11．（2024复旦附中高一月考）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案. 【解析】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 12．（22-23高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】设，结合题意与集合的性质分析即可. 【详解】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的． 若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时． 若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时． 综上，或． 故答案为：（或） 二、选择题 13．（2024宝山中学课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【解析】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 14．（2024上师大开学考试）下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．{高个子男生} 【答案】B 【分析】由集合中元素的性质以及集合的表示方法判断可得结果. 【解析】A选项，不符合集合中元素的互异性，故A不正确；B选项由集合的定义可知B正确；C选项，集合的表示方式不正确；D选项不符合集合中元素的确定性，故D不正确. 故选：B 15．（2024延安中学高一月考）数集中的x不能取的数值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质列出关于x的不等式，解之即可得到x不能取的数值的集合． 【解析】由解得；由解得． ∴x不能取的值的集合为． 故选：C． 16．（2024宜山中学高一月考）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】C 【分析】根据集合A、B的元素的个数，判断集合的类型. 【解析】由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集， 而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集，所以C正确； 故选：C． 3、 解答题 17．（2024闵行中学高一月考）设是实数集，满足若，则，，且. (1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 【答案】(1)至少还有两个元素-1和 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据题意逐个代入验证即可求得A中的元素； （2）用反证法假设集合中只含有一个元素，然后利用方程无解即可证明. （1） ，，，， 因此A中至少还有两个元素：和； （2） 不能.用反证法证明： 如果集合中只含有一个元素，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，集合中不可能只含有一个元素 18．（2022•杨浦区校级开学）若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①0∈A，l∈A；②若x、y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，． （1）分别判断集合B＝{﹣1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合A是“好集”，求证：若x、y∈A，则x+y∈A； （3）对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若x、y∈A，则必有xy∈A． 【分析】（1）由﹣1∈B，1∈B便可得出﹣1﹣1＝﹣2∈B，从而得出集合B不是“好集”； （2）由0∈A，y∈A即可得出﹣y∈A，从而得出x﹣y∈A； （3）x，y中有0，1时，显然有xy∈A，可设x，y中不存在0，1，可得出，∈A，进而得出x（x﹣1）∈A，由（2）即可得出x2∈A，同理y2∈A，进而得出（x+y）2∈A，从而有2xy∈A，∈A，从而可得出∈A，即得出xy∈A． 【解答】解：（1）集合B不是“好集“，理由是：﹣1∈B，1∈B，而﹣1﹣1＝﹣2∉B； ∴B不是“好集”； 有理数集Q是“好集”，理由是： 0∈Q，1∈Q； 对任意x∈Q，y∈Q，有x﹣y∈Q，且x≠0时，∈Q； ∴有理数集Q是“好集， （2）因为集合A是“好集”，所以0∈A， 若x、y∈A，则0﹣y∈A，即﹣y∈A，所以x﹣（﹣y）∈A，即x+y∈A； （3）对任意一个“好集”A，任取x、y∈A，若x、y中有0和1时，显然xy∈A， 下设x、y均不含0，1，由定义得x﹣1，，， 所以，所以x（x﹣1）∈A， 由（2）得x（x﹣1）+x＝x2∈A，同理y2∈A， 若x+y＝0，或x+y＝1．显然（x+y）2∈A， 若x+y≠0，且x+y≠1，则（x+y）2∈A，可得2xy＝（x+y）2﹣x2﹣y2∈A，所以， 由（2）得， 所以xy∈A， 综上，xy∈A． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，理解“好集”的定义是解题的关键，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题01 集合的意义 1、集合的意义 （1）定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集； （2）记法：集合通常用大写字母A、B、C、…来表示； （3）常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集； 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 名称 正整数集 记法 N Z Q R 符号 N＋或N* 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物； 2、元素 （1）定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element），简称元； （2）记法：通常用小写字母a、b、c、…来表示； （3）特性：确定性、互异性、无序性。 注意：一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的； 3、元素与集合的关系 关系 定义 记法 读法 属 于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a∉A a不属于A 4、集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等；记作A=B； 5、集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含有任何元素的集合，记作； 知识点一、集合的意义 题型一、集合的概念 【名师点拨】判断一组对象组成集合的依据：判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性；如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合。集合的元素有三个性质：（1）确定性：负责判断这组元素是否能构成集合；（2）互异性：负责判断构成集合的元素的个数；（3）无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关； 【例1】下列对象能组成集合的是 ①上海中学高一部分学生 ②倒数等于自身的实数 ③超过100页的书 ④世界知名艺术家 ⑤方程的全体解 【跟踪训练】 1.不列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号） ①七宝中学高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 2.下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．上课迟到的学生 B．2025年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 3.下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 题型二、 两个集合相等 【名师点拨】对于含参数的据集合相等问题，一般根据集合相等的定义，建立等式或不等式解之；注意检验集合元素的互异性。 【例2】下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 【例3】已知集合，，且，则的值为________. 【例4】集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 【跟踪训练】 1．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 2.已知集合，，若，则 3.已知集合，，若，则 4.已知集合，，且，则实数的值为 . 知识点二、元素的特征 题型三、元素的特征 【例5】若集合，，中的元素是的三边长，则一定不是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【跟踪训练】 1．若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 2．已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．英文单词necessary的所有字母组成的集合共有 个元素. 题型四、求集合中的元素 【例6】集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________ 【例7】已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 题型五、 根据元素的互异性求参数 【名师点拨】求解集合的过程中，首先需要根据集合的确定性确定元素，之后再根据集合的互异性将重复的元素剔除，最后将符合条件的全体元素的取值；其中，由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤：1、求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；2、检验：根据集合中元素的互异性，对以上解出的值进行检验；作答：写出所有符合题意的字母的取值。 【例8】已知集合A＝{a﹣1，2a2+5a+1，a2+1}，且﹣2∈A．求实数a的值． 【跟踪训练】 1.已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 2.已知，则实数 . 3.由实数所组成的集合，最多含　　个元素． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点三、元素与集合的关系 题型六、元素与集合的关系 【名师点拨】判断元素和集合关系的通常有两种方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的；（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件； 【例9】用符号“∈”或“∉”填空： ①设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B；1＋________B； ②设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C；5________C； ③设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D；(－1,1)________D. 【跟踪训练】 1．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 2．已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为 ． 3.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)；则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 题型七、根据元素与集合的关系求参数 【例10】若，则实数 . 【例11】已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x为_______ 【跟踪训练】 1．已知集合，则实数a的值为 ． 2．设集合，且，则实数m的值为 ． 知识点四、集合的分类与常用数集 题型八、集合的分类 【例12】判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由： （1）6的正倍数的全体组成的集合； （2）600的正约数的全体组成的集合； （3）20世纪在上海出生的所有人组成的集合； （4）一条长度为１的线段上的所有点组成的集合。 【跟踪训练】 1.判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 2.判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 3.判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 题型九、空集的理解与应用 【例13】已知，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1．若集合，则实数a的值的集合为 ． 2.已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________． 3．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 题型十：常用数集或数集关系应用 【例14】下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪训练】 1. ．（填“”或“”） 2.用符号“”或“”填空： （1） ；（2）5 ；（3） ；（4） ． 3.用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 4.用符号“”或“”填空． （1）0 ；    （2）0 ；（3） ；    （4） ． 知识点五、综合素养提升 题型十一、新定义问题 【例15】设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（　　） A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16 【跟踪训练】 1.已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M，②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M． 下列结论中正确的是　 　． （1）∈M； （2）﹣1∉M； （3）若x，y∈M，则x+y∈M； （4）若x，y∈M，则xy∈M． 2.已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十二、综合提升 【例16】已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x. （1）若－3∈A，求a的值；（2）若x2∈B，求实数x的值． 【例17】已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【例18】已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【例19】已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 一、填空题 1．（2023·全国·高一假期作业）下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号） ①高一（1）班优秀的学生；            ②高一年级身高超过1.60m的男生； ③高一（2）班个子较高的女生；        ④数学课本中的难题． 2．（2023·上海·高三统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 3．（2024位育中学高一月考）已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 4．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且，则实数 . 6．（2023秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则______. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 9．（2024华师大二附中高一月考）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 10．（2022•浦东新区校级开学）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若3﹣m∈A，n+1∈A，则非零实数m+n的可能取值集合是 　　． 11．（2024复旦附中高一月考）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是________ 12．（22-23高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 二、选择题 13．（2024宝山中学课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（2024上师大开学考试）下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．{高个子男生} 15．（2024延安中学高一月考）数集中的x不能取的数值的集合是（    ） A． B． C． D． 16．（2024宜山中学高一月考）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 3、 解答题 17．（2024闵行中学高一月考）设是实数集，满足若，则，，且. (1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 18．（2022•杨浦区校级开学）若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①0∈A，l∈A；②若x、y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，． （1）分别判断集合B＝{﹣1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合A是“好集”，求证：若x、y∈A，则x+y∈A； （3）对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若x、y∈A，则必有xy∈A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$