第07讲 代数式的值（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第07讲 代数式的值（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.代数式的值 2.常见公式的代数式表示及应用 题型巩固 一、已知字母的值 ，求代数式的值 二、已知式子的值，求代数式的值 三、程序流程图与代数式求值 四、数字类规律探索 五、图形类规律探索 强化训练 单选题（6） 填空题（4） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.代数式的值 1. 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值. 2. 求代数式值的步骤 知识点2.常见公式的代数式表示及应用 公式的应用：对于有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述，在解决相关问题时，可以用这些公式进行计算. 常用的几何图形公式 三角形 设底边长为a、高为h，则面积S=ah. 长方形 设长为a、宽为b，则周长l=2(a+b)，面积S=ab. 圆 设半径为r，则周长l=2πr，面积S=πr2. 长方体 设长为a、宽为b、高为h，则体积V=abh. 柱体 设底面积为S、高为h，则体积V=Sh. 圆锥 设底面积为S、高为h，则体积V= Sh. 题型巩固 题型一、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）当，时，代数式的值是（   ） A．1 B．9 C．4 D．25 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，把a与b的值代入计算即可得到结果． 【详解】解：当，时， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）当，时，的值是 ． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数求值，包括有理数的乘方运算，乘法运算和加法运算，解题的关键是掌握各运算法则． 将字母的值代入代数式中，利用有理数的乘方运算，乘法运算和加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明今年岁，爸爸的岁数是小明的4倍，妈妈比爸爸小2岁，则妈妈今年 岁．如果小明今年12岁，那么妈妈今年 岁． 【答案】 46 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值．根据题中数量关系表示出爸爸的岁数，再表示出妈妈的岁数，最后令即可计算得到答案． 【详解】解：∵小明今年岁，爸爸的岁数是小明的4倍， ∴爸爸的岁数是岁， 又∵妈妈比爸爸小2岁， ∴妈妈今年岁； 如果小明今年12岁，即， ∴妈妈今年的岁数是． 故答案为：，46． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为，线段的长是线段的长是3． (1)用含、的代数式表示： ； ； (2)根据图中数据，用含、的代数式表示阴影部分的面积； (3)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)； (3)33 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据正方形的一半减去左下角的小三角形的面积，即可求解； （3）将，代入（2）中代数式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， ，， 故答案为：，； （2）阴影部分的面积= ； （3）当时，阴影部分的面积为： ， 所以阴影部分的面积为33． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 5．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将所求的代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：当时， ． 故选：A． 6．（2025七年级上·四川·专题练习）若的值是9．那么代数式的值是 ． 【答案】8 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，直接把代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：8． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】通过对所求代数式进行变形，将已知条件整体代入，逐步化简求值．本题主要考查代数式的化简求值，熟练掌握通过变形将已知条件整体代入的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 8．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)2024 (2)10 (3)5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，理解题意，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）将整体代入计算即可得解； （2）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：，， ． 题型三、程序流程图与代数式求值 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在如图所示的运算程序中，若第1次输入x的值为2，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查程序图与代数式求值，数字规律，将的值代入按照指定的运算进行多次计算后，由每次运算的结果所呈现的规律：从第2次开始，结果按，，的顺序循环出现，再结合第2024次进行解答即可． 【详解】解：根据所提供运算程序可得， 第1次输入，则第1次输出的结果为， 第2次输入，则第2次输出的结果为， 第3次输入，则第3次输出的结果为， 第4次输入，则第4次输出的结果为， 第5次输入，则第5次输出的结果为， 第6次输入，则第6次输出的结果为， 第7次输入，则第7次输出的结果为， 第8次输入，则第8次输出的结果为， ， ∴从第2次开始，结果按，，的顺序循环出现， ， 第2024次输出的结果为． 故选：B． 10．（22-23七年级上·全国·期中）如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，利用程序图中的程序得到代数式是解题的关键．由题意得到程序运算的代数式，分别将，y的值代入，运算即可． 【详解】解：由题意得 图中运算程序为 当输入的值为3，y的值为时， ． 故选：B 11．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）根据如图所示的计算程序，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了流程图与代数式的计算，按照运算流程计算即可，正确理解流程图，根据题目条件，选对数学表达式是解题的关键． 【详解】解：∵输入的值为， ∴输出的值为， 故答案为：． 12．（22-23七年级上·吉林·期中）如图是数值转换机示意图． (1)写出输出结果______（用含的式子表示）； (2)填写下表； 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … ______ 13 ______ 1 ______ ______ 28 … (3)输出结果的值有什么特征？写出一个你的发现． 【答案】(1) (2)，，， (3)见解析 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，读懂程序流程图是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）把相应的的值代入（1）中的式子计算即可得出答案； （3）根据表格得出结论即可． 【详解】（1）解：由题意得：输出结果为：； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填写表格如下： 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … 13 1 28 … （3）解：由表格可得，互为相反数的的输出结果相等． 题型四、数字类规律探索 13．（25-26七年级上·江苏·期末）观察下列两组数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…．探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…．若第2025个相同的数是n，则n等于（   ） A．12140 B．12146 C．12152 D．12158 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数的排列规律，能由所给的数列得出两列数相同的数是依次增加6是解题的关键．先找出第2025个相同的数是多少，再判断其在第一列的位置即可． 【详解】解：观察题中2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 是从2开始的连续偶数， 观察题中2，5，8，11，14，17，20，23，26，…． 是从2开始依次增加3的数列， 所以它们第1个相同的数是， 第2个相同的数是， 第3个相同的数是， 第4个相同的数是， 所以第2025个相同的数是：， 故选：B． 14．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 15．（25-26七年级上·浙江·期中）南京航空航天大学的网红食堂，火的不仅仅是美味菜品，还有来自后勤人员跟学生们开的一个善意玩笑——他们把密码做成了高数题和音乐题．受此影响，某校园“回味餐厅”也把密码做成了数学题，如图，小姚在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了“回味餐厅”的网络，那么他输入的密码是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，仔细观察题目所给式子，总结出一般规律，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： 第一个式子：， 即，，， 第二个式子：， 即，，， 第三个式子：， 即，，， ∴密码的前两位是三个数之和，中间两位是第一个数与后两个数和的积，最后两位是底数为第二个数，指数为第三个数的幂， ∴第四个式子：，，， ， 故答案为：． 16．（22-23七年级上·全国·期中）观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)201 【知识点】乘方运算的符号规律、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用． （1）根据规律进行计算便可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意分n为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断； （3）分k为奇数和偶数，分别列出方程进行解答． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第15个数是； 故答案为：；； （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍）， 当n为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001； （3）解：当k为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当k为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 题型五、图形类规律探索 17．（25-26七年级上·吉林长春·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1，5，12，22…这样的数称为五边形数（如图所示），古希腊人也常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，则第6个五边形数是（    ） A．35 B．50 C．51 D．56 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3是解题的关键．计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，根据此规律依次进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3， ∴第5个五边形数是， ∴第6个五边形数是． 故选：C． 18．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，用围棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，第n个图形共用 枚棋子． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律问题．求出棋子的数目n和3的关系即可． 【详解】解：时，有棋子（个）； 当时，有棋子（个）； 当时，有棋子（个）； …， 第n个图形用了个棋子， 故答案为：． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖多少块？第（）个图形中需要黑色瓷砖多少块（用含的代数式表示）？ 【答案】第（3）个图形中有黑色瓷砖10块，第（）个图形中需要黑色瓷砖块 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索题，观察图形得出规律即可求解，准确找出规律是解题的关键．根据已知图形得出图形中黑色瓷砖的规律，得出答案即可． 【详解】解：观察图形得： 第（1）个图形中有黑色瓷砖块， 第（2）个图形中有黑色瓷砖块 第（3）个图形中有黑色瓷砖块， 由此可得， 第（n）个图形中有黑色瓷砖块． 20．（2023七年级上·北京·竞赛）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成下列图案： （1）第8个图案中有白色纸片 张； （2）第n个图案中有白色纸片 张． 【答案】 25 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的规律探究，根据图形规律转化为数字规律是解题的关键； 从第1个图案、第2个图案、第3个图案白色纸片的张数发现规律，据此规律计算即可． 【详解】第1个图案中有白色纸片张，第2个图案中有白色纸片张， 第3个图案中有白色纸片张，……，以此类推，第8个图案中有白色纸片张， 第n个图案中有白色纸片张． 故答案为：25；． 强化训练 一、单选题 1．当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．9 D． 【答案】B 【分析】把直接代入，计算即可 【详解】解：当时， ， 故选：B 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，把已知直接代入所求的代数式正确地计算是解题的关键． 2．如图，根据流程图中的程序，当输入数值为时，输出数值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 将代入，得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了流程图及求代数式的值，解题的关键是弄懂流程图的计算流程． 3．如果代数式的值为5，那么代数式的值为（  ） A． B．11 C．7 D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到，然后整体代入到中进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为5， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确得到是解题的关键． 4．如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到，再由进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 将代入得：原式， 故选：B． 5．观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 【答案】D 【分析】此题考查图形的变化规律，找出数字循环的规律，利用规律解决问题． 先求出，再根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序求解即可． 【详解】解：∵ 根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序可知，数2024在第405个五角星上的位置， 故选：D． 6．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 7．已知代数式，则代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了代数式求值，代数式求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简．已知，则，则，代入求值的代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 8．已知，则 ． 【答案】2 【分析】将变形为即可计算出答案． 【详解】 ∵ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查代数式的性质，解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识． 9．已知的相反数是它本身，且．式子的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相反数，绝对值的非负性，代数式求值．熟练掌握相反数，绝对值的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，可求，然后代值求解即可． 【详解】解：∵的相反数是它本身，且， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：8． 10．学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 【答案】 买个足球和个篮球一共的价钱 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，求代数式的值，根据单价数量总价，确定，分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义，把的值代入代数式，求出结果即可，熟练掌握知识点额应用是解题的关键． 【详解】表示买个足球的价钱； 表示买个篮球的价钱； 故答案为：买个足球和个篮球一共的价钱， 当，时， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．当时，求下列代数式的值． 【答案】13 【分析】本题考查求代数式的值，正确计算是解题的关键；把已知数代入所求计算即可． 【详解】解：当时，， 所以． 12．如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，若圆形的半径为米，广场长为米，宽为米．    (1)请列式表示广场空地的面积； (2)若休闲广场的长为米，宽为米，圆形花坛的半径为米，求广场空地的面积（计算结果保留π）． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）本问考查的是列代数式，广场空地的面积=长方形的面积四个半径相同的四分之一圆的花坛面积； （2）本问考查的是求解代数式的值，将数据代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：因为长方形的面积， 四个半径相同的四分之一圆的花坛面积， 所以，广场空地的面积； （2）当，，时， 广场空地的面积 （平方米）． 13．如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如右图所示，中心圆的半径为，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的． (1)请用的式子表示右图中阴影部分的面积（注意化简）； (2)当时，计算右图中阴影部分的面积（取，结果精确到）． 【答案】(1)阴影部分的面积为 (2)阴影部分的面积约为 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式， （1）用大圆的面积减去5个小圆的面积得出结果即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ． 答：阴影部分的面积为． （2）解：当时， ． 答：阴影部分的面积约为． 14．综合与实践，操作探究 【素材】如图甲是某校操场实物图，图乙是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，最内侧半圆形跑道的半径是a米，最外侧半圆形跑道的半径是b米，每条直道的长度都是c米． 【任务】 （1）列式表示最内侧一圈跑道的长度为_______米； （2）新学期，学校为了给学生们提供优美的校园环境和锻炼场所，改造并美化操场，跑道内部的长方形部分（图中阴影部分）设计成足球场，这部分地面铺设草坪，其余部分（即长方形外部与最外侧跑道之间的部分）铺设塑胶．兴趣小组测得米，米，米．若草坪每平方米60元，塑胶每平方米80元，请计算铺设草坪和塑胶总共大约需花多少钱？（取3） 【答案】（1）；（2）铺设草坪和塑胶总共大约花了884000元 【分析】本题考查了代数式求值，列代数式． （1）根据圆的周长公式加直道即可得出结论； （2）根据题意列式即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意可知跑道的长度为圆的周长加直道组成， 即 （2）铺设草坪的面积为平方米，铺设塑胶的面积为平方米． 总费用为： 元． 答：铺设草坪和塑胶总共大约花了884000元 15．【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值； (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对代数式适当变形将整体代入即可； （2）将代入代数式求得，再将代入，对所得代数式进行变形，整体代入即可； （3）将代入代数式求得，再将代入，对所得代数式适当变形，整体代入即可． 【详解】（1）解：； （2）解：将代入得， 化简得． 将代入得 将代入得=； （3）解：当时，， 即， 所以． 当时， ． 【点睛】本题考查代数式求值——整体代入法．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可以把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含这几个式子的代数式，再将式子看成一个整体代入求值．运用整体代换，往往使问题得到简化． 16．如图，将长和宽分别是a、b的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． (1)用含a、b、x的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当，且剪去部分的正方形的边长为最小的正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积； (3)当，若x取整数，以x作为高，将纸片剩余部分折成无盖长方体，求长方体的体积最大值． 【答案】(1) (2)48 (3)48 【分析】（1）根据图形可知剩余部分的面积＝长方形的面积﹣4个小正方形的面积，从而可以用代数式表示出来； （2）根据题意可以求得正方形边长x的值，从而求出长方体纸盒的底面积． （3）根据题意可以求得x的取值范围，然后由x取整数，从而可以分别求各种情况下长方体的体积，进而求出长方体体积的最大值． 【详解】（1）由题意得， 纸片剩余部分的面积是ab﹣4x2； （2）设：正方形边长为x 由已知得，当a＝10，b＝8时， S＝（a﹣2x）（b﹣2x） ＝（10﹣2x）×（8﹣2x） ∵边长为最小的正整数时 ∴x＝1， 当x＝1时，S＝（10﹣2×1）（8﹣2×1）＝48， 即底面积是48． （3）由已知得，当a＝10，b＝8时， V＝（a﹣2x）（b﹣2x）x ＝（10﹣2x）×（8﹣2x）×x ∵10﹣2x＞0且8﹣2x＞0， 解得，x＜4， ∵x取整数， ∴x＝1或x＝2或x＝3， 当x＝1时，V＝（10﹣2×1）（8﹣2×1）×1＝48， 当x＝2时，V＝（10﹣2×2）（8﹣2×2）×2＝48， 当x＝3时，V＝（10﹣2×3）（8﹣2×3）×3＝24， 即长方体的体积最大值是48． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 17．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”． 【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第（1）个图形中有2张正方形纸片： 第（2）个图形中有张正方形纸片： 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片： 请你观察图形与算式，完成下列问题： 【规律归纳】 （1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）； （2）根据上面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）： 【规律应用】根据你的发现计算： （3）①； ②． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据前四个图形的排列规律，第七个图形有张正方形纸片，计算得出答案． （2）根据前面的发现，，可以写成：的形式，化简计算得出答案． （3）①直接用发现的规律代入计算求解； ②运用添项法，原式加上然后再减去，计算结果不变；原式可变为：，运用发现的规律计算求解． 【详解】解：（1）由题意观察可得：， 故答案为； （2） 故答案为； （3）① ②原式 ． 18．在传输信息时，需要采用密码．有一种密码的明文（真实文）是按计算机键盘字母排列，如Q，W，E，…，N，M这26个字母依次对应1，2，3，…，25，26． Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 加密的过程是这样的：①将明文字母对应的数字设为x，②将加密后的密文字母设为．③当x被3整除时， ；当x被3除余1时，；当x被3除余2时，．如：字母A对应为11，经过加密，12对应字母S．也就是说，按照上述方式加密1次，明文A对应的密文为S．以上加密方式可以重复进行． (1)按照上述方式加密1次，直接写出明文YUAN对应的密文； (2)按照上述方式加密100次，直接写出明文A对应的密文． (3)是否存在这样的字母，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是本身？如果存在，请找出所有这样的字母；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)WZSM (2)B (3)存在字母H和V，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是本身 【分析】（1）根据题意，依次找出字母对应的数字，再根据题设条件，计算出加密后的数字，最后转化为对应字母即可．（2）根据题意，对字母A连续加密，探究发现字母A经过6次加密后进入循环，故字母A经过100次加密后，明文A对应的密文为B；（3）根据题意，进行探究即可． 【详解】（1）解：字母Y对应的数字为6，6能被3整除，经过加密，2对应字母W； 字母U对应的数字为7，7被3除余1，经过加密，20对应字母Z； 字母A对应的数字为11，11被3除余2，经过加密，12对应字母S； 字母N对应的数字为25，25被3除余1，经过加密，26对应字母M； 故明文YUAN对应的密文为WZSM． （2）解：字母A对应数字为11，经过第1次加密，12对应字母S； 字母A，经过第2次加密，4对应字母R； 字母A，经过第3次加密，19对应字母L； 字母A，经过第4次加密，24对应字母B； 字母A，经过第5次加密，8对应字母I； 字母A，经过第6次加密，11对应字母A； 由此可见，字母A经过6次加密后进入循环， ∵， ∴字母A经过100次加密后，明文A对应的密文为B． （3）解：字母H对应数字为16，经过第1次加密，经过第2次加密； ∴字母H经过100次加密后，得到的密文为H． 同理，字母V对应为23，经过100次加密后，得到的密文为V． 综上，存在字母H和V，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是本身． 【点睛】本题考查了代数式求值以及规律探索，准确理解题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 代数式的值（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.代数式的值 2.常见公式的代数式表示及应用 题型巩固 一、已知字母的值 ，求代数式的值 二、已知式子的值，求代数式的值 三、程序流程图与代数式求值 四、数字类规律探索 五、图形类规律探索 强化训练 单选题（6） 填空题（4） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.代数式的值 1. 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值. 2. 求代数式值的步骤 知识点2.常见公式的代数式表示及应用 公式的应用：对于有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述，在解决相关问题时，可以用这些公式进行计算. 常用的几何图形公式 三角形 设底边长为a、高为h，则面积S=ah. 长方形 设长为a、宽为b，则周长l=2(a+b)，面积S=ab. 圆 设半径为r，则周长l=2πr，面积S=πr2. 长方体 设长为a、宽为b、高为h，则体积V=abh. 柱体 设底面积为S、高为h，则体积V=Sh. 圆锥 设底面积为S、高为h，则体积V= Sh. 题型巩固 题型一、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）当，时，代数式的值是（   ） A．1 B．9 C．4 D．25 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）当，时，的值是 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明今年岁，爸爸的岁数是小明的4倍，妈妈比爸爸小2岁，则妈妈今年 岁．如果小明今年12岁，那么妈妈今年 岁． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为，线段的长是线段的长是3． (1)用含、的代数式表示： ； ； (2)根据图中数据，用含、的代数式表示阴影部分的面积； (3)当，时，求阴影部分的面积． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 5．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025七年级上·四川·专题练习）若的值是9．那么代数式的值是 ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 8．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 题型三、程序流程图与代数式求值 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在如图所示的运算程序中，若第1次输入x的值为2，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C． D．1 10．（22-23七年级上·全国·期中）如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．6 11．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）根据如图所示的计算程序，若输入的值为，则输出的值为 ． 12．（22-23七年级上·吉林·期中）如图是数值转换机示意图． (1)写出输出结果______（用含的式子表示）； (2)填写下表； 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … ______ 13 ______ 1 ______ ______ 28 … (3)输出结果的值有什么特征？写出一个你的发现． 题型四、数字类规律探索 13．（25-26七年级上·江苏·期末）观察下列两组数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…．探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…．若第2025个相同的数是n，则n等于（   ） A．12140 B．12146 C．12152 D．12158 14．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 15．（25-26七年级上·浙江·期中）南京航空航天大学的网红食堂，火的不仅仅是美味菜品，还有来自后勤人员跟学生们开的一个善意玩笑——他们把密码做成了高数题和音乐题．受此影响，某校园“回味餐厅”也把密码做成了数学题，如图，小姚在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了“回味餐厅”的网络，那么他输入的密码是 ． 16．（22-23七年级上·全国·期中）观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 题型五、图形类规律探索 17．（25-26七年级上·吉林长春·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1，5，12，22…这样的数称为五边形数（如图所示），古希腊人也常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，则第6个五边形数是（    ） A．35 B．50 C．51 D．56 18．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，用围棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，第n个图形共用 枚棋子． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖多少块？第（）个图形中需要黑色瓷砖多少块（用含的代数式表示）？ 20．（2023七年级上·北京·竞赛）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成下列图案： （1）第8个图案中有白色纸片 张； （2）第n个图案中有白色纸片 张． 强化训练 一、单选题 1．当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．9 D． 2．如图，根据流程图中的程序，当输入数值为时，输出数值是（    ）    A． B． C． D． 3．如果代数式的值为5，那么代数式的值为（  ） A． B．11 C．7 D． 4．如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 5．观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 6．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知代数式，则代数式的值是 ． 8．已知，则 ． 9．已知的相反数是它本身，且．式子的值为 ． 10．学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 三、解答题 11．当时，求下列代数式的值． 12．如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，若圆形的半径为米，广场长为米，宽为米．    (1)请列式表示广场空地的面积； (2)若休闲广场的长为米，宽为米，圆形花坛的半径为米，求广场空地的面积（计算结果保留π）． 13．如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如右图所示，中心圆的半径为，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的． (1)请用的式子表示右图中阴影部分的面积（注意化简）； (2)当时，计算右图中阴影部分的面积（取，结果精确到）． 14．综合与实践，操作探究 【素材】如图甲是某校操场实物图，图乙是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，最内侧半圆形跑道的半径是a米，最外侧半圆形跑道的半径是b米，每条直道的长度都是c米． 【任务】 （1）列式表示最内侧一圈跑道的长度为_______米； （2）新学期，学校为了给学生们提供优美的校园环境和锻炼场所，改造并美化操场，跑道内部的长方形部分（图中阴影部分）设计成足球场，这部分地面铺设草坪，其余部分（即长方形外部与最外侧跑道之间的部分）铺设塑胶．兴趣小组测得米，米，米．若草坪每平方米60元，塑胶每平方米80元，请计算铺设草坪和塑胶总共大约需花多少钱？（取3） 15．【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值； (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 16．如图，将长和宽分别是a、b的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． (1)用含a、b、x的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当，且剪去部分的正方形的边长为最小的正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积； (3)当，若x取整数，以x作为高，将纸片剩余部分折成无盖长方体，求长方体的体积最大值． 17．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”． 【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第（1）个图形中有2张正方形纸片： 第（2）个图形中有张正方形纸片： 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片： 请你观察图形与算式，完成下列问题： 【规律归纳】 （1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）； （2）根据上面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）： 【规律应用】根据你的发现计算： （3）①； ②． 18．在传输信息时，需要采用密码．有一种密码的明文（真实文）是按计算机键盘字母排列，如Q，W，E，…，N，M这26个字母依次对应1，2，3，…，25，26． Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 加密的过程是这样的：①将明文字母对应的数字设为x，②将加密后的密文字母设为．③当x被3整除时， ；当x被3除余1时，；当x被3除余2时，．如：字母A对应为11，经过加密，12对应字母S．也就是说，按照上述方式加密1次，明文A对应的密文为S．以上加密方式可以重复进行． (1)按照上述方式加密1次，直接写出明文YUAN对应的密文； (2)按照上述方式加密100次，直接写出明文A对应的密文． (3)是否存在这样的字母，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是本身？如果存在，请找出所有这样的字母；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $