精品解析：重庆市九龙坡区2025—2026学年七年级下学期期末学业测评数学试题

2025-2026学年学业质量测评（中学） 七年级（下）数学试题 （全卷满分150分考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案请书写在答题卡上，作答前请认真阅读答题卡上的注意事项． 2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答题卡上正确答案的代号涂黑． 1. 从无理数的角度观察下列各数，符合无理数特征的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查全国游客对重庆“轻轨穿楼”景观的知晓情况 B. 了解重庆市所有中学生的视力情况 C. 调查从重庆机场登机的旅客所携带的充电宝有无安全标志 D. 调查全部重庆制造的新能源汽车的使用寿命 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”这首诗的意思是：几个客人分银子，每人分7两就多出4两，每人分9两就差8两（旧制1斤两，半斤两）．问：有多少位客人？多少两银子？若设人数为人，银子数为两．则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，点，在轴上，若点，的坐标中，满足，，．点在线段上，线段在线段上，且（在的左边），点为线段上任意一点，则三角形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 10. 对两个整式，进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，将所得的结果放在这两个整式之间，得到三个整式，，，称为第一次操作．将第一次操作后所得的三个整式中再进行这样的操作，得到五个整式，，，，，称为第二次操作．以此进行下去．下列说法： ①将第一次操作后的三个整式的和记为，若，则； ②若第三次操作后从左起第4个整式的值为6，第四次操作后从右起第2个整式的值为8，则； ③以此进行下去，第2026次操作后的所有整式的和为，则，，之间的关系为． 其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若是关于、的二元一次方程的一个解，则__________． 12. 为备战区运动会，乒乓球队的小明刻苦训练，训练结束后小明想知道乒乓球池中的乒乓球大约有多少个．聪明的小明想到了数学上的统计方法，于是他先抓出20个乒乓球作上标记，然后放回乒乓球池，并搅匀乒乓球，再抓出40个乒乓球，数出了有标记的乒乓球2个，则乒乓球池中的乒乓球约有__________个． 13. 已知（为整数），则的值是__________． 14. 若实数、同时满足，，则__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 16. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若，则称这个四位数为“九和数”．若“九和数”的十位数字为1，个位数字为十位数字的3倍，则__________；若是“九和数”，去掉的每一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和与9的商记为，当“九和数”的千位上的数字与个位上的数字之和为5，且能被11整除时，则满足条件的“九和数”__________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18每题8分，第19-25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上． 17. 求不等式组的解． 解：解不等式①，得______________________； 解不等式②，得______________________； 不等式①和②的解集在数轴上的表示为： 原不等式组的解集为__________________． 18. 在学习了平行线的判定和性质后，某校“数学兴趣小组”想探究“在同一平面内，过角一边上的点作这个角的角平分线的平行线，这条直线与角的一边及另一条边的反向延长线相交所得的钝角之间的数量关系”．若你是这个小组的成员，请根据他们的思路，完成下面的作图和推理过程． （1）第一步：如图，射线平分，点是边上一点，是的反向延长线，过点作的平行线，交于点，请画出直线； （2）第二步：逻辑推理（请补全推理过程）． 因为， 所以__________①____________（两直线平行，内错角相等）． （依据：__________②__________） 因为是的平分线， 所以__________③__________ 所以（等量代换）． 因为__________④__________ __________⑤__________（邻补角的定义）， 所以． 19. 随着科技的发展，人工智能正深度融入各行各业，、扣子、、豆包等主流模型备受瞩目．为了解人们对这四个主流模型的兴趣，某学校就你最关注的主流人工智能模型进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题 （1）此次共调查了__________人，条形统计图中豆包所对应的人数为__________，所对应的人数为__________； （2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中豆包对应圆心角的度数； （3）若该学校共有学生1500人，请根据本次调查结果，估计全校最关注和豆包的学生共有多少人？ 20. 我国古代《九章算术》中记载了“方田”、“圆田”面积计算方法，并提出“周三径一”的圆周率．结合所学知识，解决下列问题： 已知：一个圆与一个正方形的面积都是． （1）求圆的半径和正方形的边长（用含的式子表示） （2）圆和正方形中哪一个的周长较大？通过计算说明理由（精确到0.1）．（参考数据：，，） 21. 先化简，再求值：，其中，是二元一次方程组的解． 22. 如图，在一次运动会表演中，，，三人手拉彩带编队表演，且保持队形不变． （1）请写出，，三人的坐标； （2）求出三角形的面积； （3）当在表演过程中平移到处时，其他两人在什么位置？请在图上标出和两人的新位置和，并写出他们的坐标． 23. 2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资25万元；若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资21万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司计划用不超过220万元的资金购进60台机器人，且乙型机器人的数量不超过43台，则共有几种购买方案？并列出所有方案． 24. 【回归教材】在平面直角坐标系中，将方程的一个解作为点的坐标，表示为，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，发现其它点也都在这条直线上，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． 【实践操作】探究方程的解与点的坐标关系： （1）方程的解对应点的坐标是__________，坐标对应方程的解是__________； （2）下表中列出方程的部分解，请以这些解为坐标在图1的平面直角坐标系中描出这些点，并连接任意两点． 0 1 2 3 2 1 0 【探究结论】 （3）通过以上探究，发现方程的图象是一条直线，若点在这条直线上，则__________． 【进阶思维】 （4）图象法求两个方程的解：参照实践操作，请在图1的坐标系中画出方程的图象，直接写出方程组的解； （5）探索方程图象恒过定点：在作关于、的二元一次方程的图象时，由于的值不确定，我们可以从，，1，2中任选三个数作为的值，再作它的图象，通过作图，发现这些方程的图象相交于同一点（即定点）．请在图2的直角坐标系中画出你探索二元一次方程的图象，并直接写出定点的坐标． 25. 图1是一副三角板的形状及各个角的度数． （1）如图2，现将这副三角板放置在两条直线和之间，点，点在直线上，点在直线上，边与边在同一直线上，若，求的度数； （2）图2中三角板的位置保持不变，将三角板沿方向平移，使点落在直线上，如图3，，的平分线与的三等分线交于点，且，求的度数； （3）如图4，图3中三角板的位置不变，，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转到首次与重合的过程中，设旋转的时间为（秒），当三角板的边所在直线与三角板任一边所在直线垂直时，请直接写出符合条件的时间的值（起始位置不计）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年学业质量测评（中学） 七年级（下）数学试题 （全卷满分150分考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案请书写在答题卡上，作答前请认真阅读答题卡上的注意事项． 2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答题卡上正确答案的代号涂黑． 1. 从无理数的角度观察下列各数，符合无理数特征的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵ 0是整数，是无限循环小数，可化为分数，是分数，都属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 ∴ 符合无理数特征的数是D选项． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查全国游客对重庆“轻轨穿楼”景观的知晓情况 B. 了解重庆市所有中学生的视力情况 C. 调查从重庆机场登机的旅客所携带的充电宝有无安全标志 D. 调查全部重庆制造的新能源汽车的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】普查得到结果准确，适合范围可控，对准确性要求高，事关安全的调查，范围过大或具有破坏性的调查适合抽样调查，根据适用条件判断即可． 【详解】解：选项A调查范围为全国游客，范围过大，不适合普查； 选项B调查对象为重庆市所有中学生，人数多，工作量大，不适合普查； 选项C调查关系飞行安全，需要对每一名旅客逐一检查，范围可控，适合普查； 选项D调查新能源汽车使用寿命的过程具有破坏性，不适合普查． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、表示算术平方根，，选项错误，不符合题意； B、，，选项正确，符合题意； C、根据性质，，选项错误，不符合题意； D、，，8是64的算术平方根，选项错误，不符合题意． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、两点之间，线段最短是几何基本公理，是真命题，不符合题意； B、在同一平面内，同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理，是真命题，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是平行公理，是真命题，不符合题意； D、点到直线的距离的定义为：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题混淆了垂线段与垂线段的长度，因此是假命题，符合题意． 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式两边同时，不等号方向不变，则，错误； B、不等式两边同时，不等号方向不变，则，错误； C、不等式两边同时，不等号方向改变，则，错误； D、不等式两边同时，不等号方向不变，则，移项得，正确． 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到点A的横坐标，再根据各象限内点的坐标符号特点判断即可．平面直角坐标系中各象限点的符号为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：，， ， 又点的纵坐标为，点的横纵坐标都为正数，符合第一象限点的特征， 点位于第一象限． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”这首诗的意思是：几个客人分银子，每人分7两就多出4两，每人分9两就差8两（旧制1斤两，半斤两）．问：有多少位客人？多少两银子？若设人数为人，银子数为两．则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：当每人分7两时，多出4两银子，可得方程； 当每人分9两时，少8两银子，可得方程； 因此所列方程组为． 8. 如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点N作，得出，则，，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ， ， ，， ∵，， ∴，， ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，点，在轴上，若点，的坐标中，满足，，．点在线段上，线段在线段上，且（在的左边），点为线段上任意一点，则三角形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据绝对值和平方的非负性求出，，得到，，，即，，设点C到的距离为h，然后利用等面积法求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，，即， ∴轴， ∵， 设点C到的距离为h， ∴，即， 解得， ∴三角形的面积为． 10. 对两个整式，进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，将所得的结果放在这两个整式之间，得到三个整式，，，称为第一次操作．将第一次操作后所得的三个整式中再进行这样的操作，得到五个整式，，，，，称为第二次操作．以此进行下去．下列说法： ①将第一次操作后的三个整式的和记为，若，则； ②若第三次操作后从左起第4个整式的值为6，第四次操作后从右起第2个整式的值为8，则； ③以此进行下去，第2026次操作后的所有整式的和为，则，，之间的关系为． 其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据操作规则，逐个验证三个说法，通过整式加减计算，推导总和规律，判断结论是否正确． 【详解】解：①第一次操作后三个整式为，，， 和为： ∵， ∴， 解得，故①正确； ②第三次操作得到：，，，，，，，，， 第四次操作后从右起第2个整式为：， ∵第三次操作后从左起第4个整式的值为6，第四次操作后从右起第2个整式的值为8， ∴， 解得， ∴，故②错误； ③∵原来两个整式的和：， 第一次操作后的和：， 第二次操作后的和：， …， ∴第一次操作后和增加：， 第二次操作后和增加：， …， ∴每次操作后和增加， ∴n次操作后的和为：， ∴， ∴， ∵对任意n都成立， ∴时，也成立，故③正确． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若是关于、的二元一次方程的一个解，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 12. 为备战区运动会，乒乓球队的小明刻苦训练，训练结束后小明想知道乒乓球池中的乒乓球大约有多少个．聪明的小明想到了数学上的统计方法，于是他先抓出20个乒乓球作上标记，然后放回乒乓球池，并搅匀乒乓球，再抓出40个乒乓球，数出了有标记的乒乓球2个，则乒乓球池中的乒乓球约有__________个． 【答案】 【解析】 【详解】解：（个）， 答：乒乓球池中的乒乓球约有400个． 13. 已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式即可求出整数的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 14. 若实数、同时满足，，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，然后解二元一次方程组即可． 【详解】解：当，时，，， 原方程变为， 解得， ∴； 当，时，， 原方程变为， 方程组无解； 当，时，， 原方程变为， 方程组无解； 当，时，， 原方程变为， 解得（舍去） 综上： 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】由平移的性质可得，，由题意可得，，则，设，则，连接，最后根据，计算即可得出结果． 【详解】解：连接， 由平移的性质可得，， ∵点恰好落在轴上，若点的纵坐标为， ∴，， ∴， 设，则， ∵图中阴影部分面积是18， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 16. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若，则称这个四位数为“九和数”．若“九和数”的十位数字为1，个位数字为十位数字的3倍，则__________；若是“九和数”，去掉的每一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和与9的商记为，当“九和数”的千位上的数字与个位上的数字之和为5，且能被11整除时，则满足条件的“九和数”__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空根据定义直接计算各数位数字即可得到结果；第二空先计算四个三位数的和得到，进而求出，根据能被11整除，根据整除性质确定的值，进而得到． 【详解】解：①∵“九和数”的十位数字为1，个位数字为十位数字的3倍， ∴m的千位数字为，个位数字为3， ∴m的百位数字为， ∴； ②去掉的任意一个数位上的数字，得到的四个三位数分别为，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵“九和数”的千位上的数字与个位上的数字之和为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵， ∴， ∴， 当时，解得，不符合题意， 当时，解得，则， ∴． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18每题8分，第19-25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上． 17. 求不等式组的解． 解：解不等式①，得______________________； 解不等式②，得______________________； 不等式①和②的解集在数轴上的表示为： 原不等式组的解集为__________________． 【答案】；；； 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式①和②的解集在数轴上的表示为： 原不等式组的解集为． 18. 在学习了平行线的判定和性质后，某校“数学兴趣小组”想探究“在同一平面内，过角一边上的点作这个角的角平分线的平行线，这条直线与角的一边及另一条边的反向延长线相交所得的钝角之间的数量关系”．若你是这个小组的成员，请根据他们的思路，完成下面的作图和推理过程． （1）第一步：如图，射线平分，点是边上一点，是的反向延长线，过点作的平行线，交于点，请画出直线； （2）第二步：逻辑推理（请补全推理过程）． 因为， 所以__________①____________（两直线平行，内错角相等）． （依据：__________②__________） 因为是的平分线， 所以__________③__________ 所以（等量代换）． 因为__________④__________ __________⑤__________（邻补角的定义）， 所以． 【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）；两直线平行，同位角相等；；； 【解析】 【分析】（1）根据三角板与直尺作平行线的方法作图即可； （2）根据平行线的判定与性质，角平分线，邻补角的定义进行分析求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． （两直线平行，同位角相等） 因为是的平分线， 所以， 所以（等量代换）． 因为， （邻补角的定义）， 所以． 19. 随着科技的发展，人工智能正深度融入各行各业，、扣子、、豆包等主流模型备受瞩目．为了解人们对这四个主流模型的兴趣，某学校就你最关注的主流人工智能模型进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题 （1）此次共调查了__________人，条形统计图中豆包所对应的人数为__________，所对应的人数为__________； （2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中豆包对应圆心角的度数； （3）若该学校共有学生1500人，请根据本次调查结果，估计全校最关注和豆包的学生共有多少人？ 【答案】（1）；；． （2）补条形统计图如下， （3）人． 【解析】 【分析】（1）由人数与对应占比求出总调查人数，再用总人数乘豆包占比得到豆包人数，总人数减去其余三类人数得到人数． （2）根据豆包、人数补全条形图，用豆包占比乘算出对应圆心角度数． （3）先求出与豆包的总占比，再乘以全校总人数得到估计人数． 【小问1详解】 解：总人数（人），豆包人数（人）， 人数（人）； 【小问2详解】 解：豆包对应圆心角度数 【小问3详解】 解：占比， 和豆包的学生合计占比， 估计总人数（人）． 答：全校最关注和豆包的学生共有人． 20. 我国古代《九章算术》中记载了“方田”、“圆田”面积计算方法，并提出“周三径一”的圆周率．结合所学知识，解决下列问题： 已知：一个圆与一个正方形的面积都是． （1）求圆的半径和正方形的边长（用含的式子表示） （2）圆和正方形中哪一个的周长较大？通过计算说明理由（精确到0.1）．（参考数据：，，） 【答案】（1）圆的半径为，正方形的边长为 （2） 解：圆的周长为，正方形的周长为， ∵， ∴正方形的周长较大． 【解析】 【分析】（1）根据圆和正方形的面积公式求解； （2）分别计算圆和正方形的周长比较即可． 【小问1详解】 解：∵一个圆与一个正方形的面积都是，设圆的半径为r，正方形的边长为a， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 略 21. 先化简，再求值：，其中，是二元一次方程组的解． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为， ∴原式． 22. 如图，在一次运动会表演中，，，三人手拉彩带编队表演，且保持队形不变． （1）请写出，，三人的坐标； （2）求出三角形的面积； （3）当在表演过程中平移到处时，其他两人在什么位置？请在图上标出和两人的新位置和，并写出他们的坐标． 【答案】（1） （2） （3）解：∵先向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度得到， ∴点B，C先向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度得到，， 如图所示 ∴点在，在，即，． 【解析】 【分析】（1）由平面直角坐标系直接得到点的坐标即可； （2）根据割补法进行求解即可； （3）先确定点A的平移方式，再根据平移的性质得到和的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系，可得 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 23. 2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资25万元；若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资21万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司计划用不超过220万元的资金购进60台机器人，且乙型机器人的数量不超过43台，则共有几种购买方案？并列出所有方案． 【答案】（1）甲型机器人进价为5万元，乙型机器人进价为3万元． （2）共有4种购买方案，分别是：①购进甲型17台，乙型43台；②购进甲型18台，乙型42台；③购进甲型19台，乙型41台；④购进甲型20台，乙型40台． 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人进价为x万元，乙型机器人进价为y万元，根据“购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资25万元；若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资21万元”列出方程组求解； （2）设购进甲型机器人m台，则购进乙型机器人台，根据题意列出不等式组求解． 【小问1详解】 解：设甲型机器人进价为x万元，乙型机器人进价为y万元， 根据题意得， 解得 答：甲型机器人进价为5万元，乙型机器人进价为3万元； 【小问2详解】 解：设购进甲型机器人m台，则购进乙型机器人台， 根据题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m可以为17，18，19，20， ∴，42，41，40， ∴共有4种购买方案，分别是：①购进甲型17台，乙型43台；②购进甲型18台，乙型42台；③购进甲型19台，乙型41台；④购进甲型20台，乙型40台． 24. 【回归教材】在平面直角坐标系中，将方程的一个解作为点的坐标，表示为，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，发现其它点也都在这条直线上，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． 【实践操作】探究方程的解与点的坐标关系： （1）方程的解对应点的坐标是__________，坐标对应方程的解是__________； （2）下表中列出方程的部分解，请以这些解为坐标在图1的平面直角坐标系中描出这些点，并连接任意两点． 0 1 2 3 2 1 0 【探究结论】 （3）通过以上探究，发现方程的图象是一条直线，若点在这条直线上，则__________． 【进阶思维】 （4）图象法求两个方程的解：参照实践操作，请在图1的坐标系中画出方程的图象，直接写出方程组的解； （5）探索方程图象恒过定点：在作关于、的二元一次方程的图象时，由于的值不确定，我们可以从，，1，2中任选三个数作为的值，再作它的图象，通过作图，发现这些方程的图象相交于同一点（即定点）．请在图2的直角坐标系中画出你探索二元一次方程的图象，并直接写出定点的坐标． 【答案】（1），； （2） （3） （4）；； （5）； 【解析】 【分析】（1）根据题意直接作答即可； （2）根据表格中的部分解描点连线即可； （3）点对应方程的解为，代入计算求解即可； （4）根据方程的部分解描点连线，两直线的交点即为方程组的解； （5）根据不同值的方程的部分解描点连线，发现图象始终交于一点，即为定点． 【小问1详解】 解：方程的解对应点的坐标是，坐标对应方程的解是； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：若点在直线上，则， 解得：； 【小问4详解】 解：下表为方程的部分解， 0 0 2 4 【小问5详解】解：当时，方程的部分解如下： 1 1 3 5 当时，方程的部分解如下： 0 0 1 2 当时，方程的部分解如下： 1 4 3 2 当时，方程的部分解如下： 2 3 1 25. 图1是一副三角板的形状及各个角的度数． （1）如图2，现将这副三角板放置在两条直线和之间，点，点在直线上，点在直线上，边与边在同一直线上，若，求的度数； （2）图2中三角板的位置保持不变，将三角板沿方向平移，使点落在直线上，如图3，，的平分线与的三等分线交于点，且，求的度数； （3）如图4，图3中三角板的位置不变，，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转到首次与重合的过程中，设旋转的时间为（秒），当三角板的边所在直线与三角板任一边所在直线垂直时，请直接写出符合条件的时间的值（起始位置不计）． 【答案】（1） （2） （3）的值为6秒或24秒或36秒 【解析】 【分析】（1）过点E作，证明，求出，然后结合平行线的性质求解； （2）如图，过点H作，根据平行线的性质和角平分线求出，求出，证明，得到，进而求解即可； （3）根据题意分三种情况讨论，分别利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点H作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（秒）； 如图，当时，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ∵，点E，F，A三点共线， ∴， ∵， ∴点F，A，C三点共线， ∵， ∴点M，A，N，B四点共线， ∴（秒） 综上所述，的值为6秒或24秒或36秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $