精品解析：山西省榆次第一中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

榆次一中高一年级第二学期期末考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先将原式化简，再看实部和虚部的正负判断所在复平面的象限即可. 【详解】，在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解. 【详解】向量，，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A. ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确， 故选：A. 4. 已知数据的平均数是，方差是4，则数据的方差是（ ） A. 3.4 B. 3.6 C. 3.8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的定义即可解得. 【详解】由方差的定义，， 则， 所以数据的方差为： . 故选：B 5. 点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 6. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，在中，，且， 由余弦定理得， 设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即 再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为， 在直角中，可得， 所以球的表面积为. 故选：B. 7. 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， ， 当且仅当，结合，，即时取等号， 的最小值为. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，则此三角形有2解 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】运用余弦定理可判断A项，运用大边对大角及正弦定理可判断B项，作图可判断C项，解三角函数方程可判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以， 所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立； 对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确； 对于C项，如图所示， 因为， 所以此三角形有2解，故C项正确； 对于D项，因为，， 所以或，即：或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立. 故选：BC. 10. 已知，是随机事件，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，是对立事件，则，是互斥事件 B. 若事件，相互独立，则 C. 假如，，若事件，相互独立，则与不互斥 D. 假如，，若事件，互斥，则与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的意义对各选项逐一分析判断作答. 【详解】对于A，由对立事件定义知，，是对立事件，则，是互斥事件，A正确； 对于B，事件，相互独立，则，而不一定成立，B不正确； 对于C，因，，事件，相互独立，则，即与可以同时发生，它们不互斥，C正确； 对于D，因事件，互斥，则，而，，即，于是得与不相互独立，D不正确. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则以下命题正确的是（ ） A. 取得最小值 B. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C. 四面体的外接球的表面积为时， D. 当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项 A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面，进而得到的最小值. 选项B，取中点，通过计算得到四边形是菱形，即可判断；选项C，当时得到两两垂直，则四面体的外接球的直径，从而得到，求出外接球表面积；选项 D，正方体外接球的球心为体对角线中点，求出球的半径，当截面垂直于时，截面圆半径最小，求的最大值为球心到的距离，从而得到即可判断. 【详解】选项 A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面， 则， 此时、、三点共线时，等号成立，则取得最小值， 故A正确. 选项B，取中点，连接，正方体的棱长为2，为线段中点， 则，则四边形是菱形， 则平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确. 选项C，当时，因为两两垂直， 所以四面体的外接球的直径, 则，此时外接球表面积为，故C错误. 选项 D，正方体外接球的球心为体对角线中点， 半径， 当截面垂直于时，截面圆半径最小，， 的最大值为球心到的距离， 即，故， 截面面积最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与共线，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示式计算即得. 【详解】因，， 则由与共线可得，，解得. 故答案为：. 13. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合余弦定理可得或，代入面积公式即可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，可知， 由余弦定理可得， 即，解得或， 所以的面积为 或. 故答案为：或. 14. 已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定，取的中点，连接，以为坐标原点，建立直角坐标系，通过向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以向量所在直线与的平分线重合， 又，即与垂直， 由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则， 又， 其中， 所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系 ，， 设， ， 当时 的最小值为，故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求样本成绩的平均数和第62百分位数； （2）用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 【答案】（1）平均数为74，第62百分位数79 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中点值来计算样本平均数，利用百分位数的定义来求第62百分位数； （2）利用分层抽样，再用列举法来求古典概型概率即可. 【小问1详解】 由频率和为1可得：，则； 利用中点值来计算样本成绩的平均数为：； 前三组的频率之和为； 前四组的频率之和为； 所以第62百分位数在第四组，即第62百分位数为； 【小问2详解】 落在内的样本容量为：， 落在内的样本容量为：. 则应从中抽2个，从中抽3个. 设中的样本为：，中的样本为：. 则从中任取2份的情况有： ，，共10种. 分数最多一个在内有：共7种， 则至多有1份答卷的分数在内的概率为：. 16. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①；②，i为虚数单位；③△ABC的面积为3． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，cosA＝，_____． （1）求a； （2）求sin(C－)的值． 【答案】（1）8；（2）. 【解析】 【分析】选择①，由向量的数量积的定义得到的值；选择②，由复数的模求得的平方和；选择③，由三角形的面积公式求得的值. (1)结合的值，求出的值，进一步利用余弦定理求出. (2)利用余弦定理求出,进而求得,再利用两角差的正弦公式计算即得. 【详解】方案一：选择条件①： （1）∵，， ∴ 由，解得或（舍去）， ∴，∴. 方案二：选择条件②： （1）由，解得或（舍去）， ∴，∴. 方案三：选择条件③： （1）∵，∴， 又∵，∴， 由，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）， ∴， sin(C－)=. 17. 已知函数. （1）求的对称轴和在上的值域； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】（1）对称轴； （2） ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变形化简可得，再利用整体法求对称轴及值域； （2）先由三角函数平移变换得到，再整体代入求单调区间即可． 【小问1详解】 由题意得 ， 令，，则 ， 所以对称轴为 ， 因为，所以，所以， 则的对称轴为 ，在上的值域； 【小问2详解】 向右平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到， 令， 解得， 所以的单调递增区间为 ． 18. 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明：如图，过作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）由定义可得为二面角的平面角，从而，求出可得结果； （3）依题意有，，分别讨论在线段上和在线段的延长线上即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 所以二面角的正弦值为． 【小问3详解】 因为平面，平面，平面平面，所以，故与所成角等于与所成角． 由（2）知，所以． 由题意得，则． ①如图，当在线段上时， 因为，， 所以 ． 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，故． ②如图，当在线段的延长线上时， 因为，， 由图知， 则， 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，． 综上得，或． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种.设 ，则欧几里得距离 曼哈顿距离， 余 弦 距 离 其 中 （为坐标原点）. （1）若，， 求，之间的曼哈顿距离和余弦距离; （2）若点，， 求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目中的公式，直接计算，可得答案； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，，所以，，， 所以， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即， 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆次一中高一年级第二学期期末考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A. ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 4. 已知数据的平均数是，方差是4，则数据的方差是（ ） A. 3.4 B. 3.6 C. 3.8 D. 4 5. 点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，则此三角形有2解 D. 若，则为等腰三角形 10. 已知，是随机事件，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，是对立事件，则，是互斥事件 B. 若事件，相互独立，则 C. 假如，，若事件，相互独立，则与不互斥 D. 假如，，若事件，互斥，则与相互独立 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则以下命题正确的是（ ） A. 取得最小值 B. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C. 四面体的外接球的表面积为时， D. 当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与共线，则实数__________. 13. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为__________. 14. 已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求样本成绩的平均数和第62百分位数； （2）用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 16. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①；②，i为虚数单位；③△ABC的面积为3． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，cosA＝，_____． （1）求a； （2）求sin(C－)的值． 17. 已知函数. （1）求的对称轴和在上的值域； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 18. 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若与所成角的余弦值为，求的值． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种.设 ，则欧几里得距离 曼哈顿距离， 余 弦 距 离 其 中 （为坐标原点）. （1）若，， 求，之间的曼哈顿距离和余弦距离; （2）若点，， 求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $