山西运城市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期期末 高一数学试题 2026.7 本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知复数z=1-2i,则z(z+2i)= A.1-2i B.9+2i C.7-4i D.1+2i 2.已知L,m是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列选项中，“1⊥m”的充分条件是 A.x⊥B,L⊥a,m⊥B B.x∥B,l⊥x,m⊥B C.⊥B,l⊥&，m∥B D.a⊥B,l∥，m∥B 3.已知事件A,B,C满足：P(A)=0.3,P(B)=0.5,则下列结论正确的为 A.若P(B)+P(C)=1,则C与B相互对立 B.若事件A与B互斥，则P(AUB)=0.15 C.若事件A与B相互独立，则P(AUB)=0.8 D.若P(AB)=0.15,则事件A与B相互独立 4.抽样调查得到20个样本数据，记作x1,x2,…,x20,样本数据的平均数为8，方差为5.现去掉 一个最大值12和一个最小值4，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是 A.中位数一定不变 B.平均数一定不变 C.方差一定变小 D.极差一定不变 5.已知正三棱台ABC-A1B,C,中，A1B,=4,AB=8,侧棱AA1=2√2，则该棱台的体积为 A79 B.② c.562 3 D. 5 高一数学试题第1页（共4页） 6.如图，某建筑物的高度BC=150m,一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测 到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°， 且∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度PQ为 456-5 ◇ A.50m B.100m 人60° C.150m D.200m A 7.已知在△ABC中，点D满足BD=三BC,点E在线段AD(不含端点A,D)上移动， 若=入店+μAC,则片= A.2 B.3 c写 D.4 8.在三棱P-ABC中，PA=PC=BC=2,AB=4,PB=2√2，平面PAC⊥平面ABC, 则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 A.5T B.16m C.20m D.100m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是 A.若复数z的共轭复数为z,则z·z=|z|2=|z|2 B若二为虚数，则z也为虚数 C.若z3-1=0,则z=1 D.若复数z满足z-i|=1,则|z的最大值为2 10.某运动队由足球运动员12人，篮球运动员18人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一 项)，现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方 法，且不用删除个体，则样本量n的取值可能是 A.26 B.6 C.20 D.18 11.如图，正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为2，M是侧面ADD'A'上的一个动点（含边界）， 点P在棱CC'上，则下列结论正确的有 0 A.三棱锥C-C'BM的体积为定值 B.若|PC'|=1,沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为√7 C.若1PC1=1,平面4DP被正方体裁得截面面积为号 D D.若|PC|=3,BD'⊥PM,则点M的运动轨迹长度为 2 高一数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知一组数据：80,85,95,96,110,120,126,134，则这组数据的下四分位数为 13.小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知 小张每轮答对的概率为了，小胡每轮答对的概率为子，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否 互不影响，各轮结果也互不影响.在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为 14.在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2AB=2BC=4,点P为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则P·PB的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知a=(m-6,1),b=(m-2,3),c=(m+1,4m),复数 z=a·b+a·ci(i为虚数单位，m∈R),已知复数z为纯虚数 (1)求m的值； (2)求向量c在向量α方向上的投影向量的坐标. 16.（本小题满分15分)已知△ABC为锐角三角形，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bsin A +atan Acos B 2asin C. (1)求A; (2)求cosB+cosC的取值范围， 17.（本小题满分15分)某校高一年级对一个教学单元进行段测试，满分为100分.现通过 简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进 频率/组距 行质量分析，进行适当分组后，画出如图所示的频率分 0.025 布直方图. 0.020 (1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值.在本次测 0.015 0.010 试中，拟将排在前60%的学生成绩定为合格成绩， 0.005 试估计合格成绩的分数线； 05060708090100成绩 (2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90) 内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少 有一人成绩来自[80,90)的概率； (3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平 均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差 附：若数据x1,x2,…,xm的平均数为x,方差为s子，数据y1,y2,…,yn的平均数为y,方差为s, 将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为z,则新数据的方差 62=m-[+(x-2)2]+[好+(y-2)2] m n m tn 高一数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=之AP=1, D是AP的中点，E,G分别为PC,CB的中点，点F是线段PD上一动点，将△PCD沿CD折 起，使得平面PCD⊥平面ACD. B D D (1)证明：AC⊥BF; (2)若点F为PD的中点，求三棱锥P-EFG的体积； (3)求平面DPB与平面PBA的夹角的大小. 19.(本小题满分17分)定义：函数f(x)=入sinx+ucosx为向量a=(入，)的“跟随函数”， 向量a=（入，)为函数f(x)=Asinx+ucosx的“原向量”. (1)设函数fx)=2c0s(x-3平），g()=2sinx+cos的“原向量”分别为m,n若m, n的夹角为锐角，求实数t的取值范围， (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=√3，向量i=(V3,1)的“跟 随函数”为h(x),且h(A)=2. (i)若AD平分∠BAC,并与BC交于点D,且sinB+sinC=1,求AD的长； (i)若△ABC外接圆半径是R,内切圆半径是r,求的取值范围. 高一数学试题第4页（共4页）2025~2026学年度运城市高一年级下学期期末考试 数学答案 1.D2.A3.D4D.5.C6.B.7.B.8.C9.ABD 10.BD 11.ACD 129013.914.16 15.解：(1)由题意得 ==(m-6(m-2)+3+[m-6Xm+1+4m=m2-8m+15+(m2-m-6,3分 若复数=为纯虚数，则m2-8m+15=0且m2-m-6≠0，解得=5， .6分 (2)当m=5时 a=(-l,1,c=(6,20) 8分 所以c在a上的投影向量 aa=14(-110=(7,7） -pa= 13分 16.解：(1)由bsinA+atan Acos B=2 asin C及正弦定理得， sin Bsin A+sin Atan Acos B=2sin Asin C 1分 因为sinA>0,所以sinB+sin4. cosB=2sinC,即 cosA sin B cos A+sinA.cos B=2sin CcosA. 3分 所以sin(B+A)=2 sinCcosA,即sinC=2 sinC cosA 飞.一a(L‘0)￥☒·=s0oM'0<○LS田 .6分 1 (2)cos B+cos C cos B-cos +B 3 cos B- 2 c0s B+v3 2 inB=simB+ 6 8分 0<B< 因为△4BC为锐角三角形，且A=- ,所以 2 0<C= 3 所以B∈ 62 .10分 所以B+刀∈2） 14分 6 (33 所以cosB+cosC的取值范围 15分 17.解：(1)由直方图知(0.010+0.015+0.020+t+0.025)×10=1,可得t=0.030,2分 由题设及图知，合格成绩的分数线在[7080)内，设为x, 则(80-x)×0.02+0.25+0.3=0.6,所以x=77.5分： …4分 (2)由(1)知，5人中来自[70,80)，[80,90)分别为2人、3人， 从[70,80)抽取的两个人分别记为4，b,从[80,90)抽取的三个人分别记为1,2,3， 记“抽取的两人均来自[70,80)”为事件A, 则2={al,a2,a3,ab,b1,b2,b3,12,13,23},A={ab} 若抽取的两人都来白[0,0)的概率为)0 .7分 所以两人中至少有一人成绩来自[80,90)的概率为1-1-9 1010 .9分 (3)由题设，区间[70,80)，[80,90)内的学生人数分别为20人、30人， 所以[70,90内的学生成绩的平均数为20x75+30×85=81分， 12分 50 由[70,80)内的学生成绩方差为6，学生成绩的平均数为75， 由[80,90)内的学生成绩方差为1，学生成绩的平均数为85， 所以[70,90)内的学生成绩的方差为 。86-05-8]8+5-s2 .15分 18.解：(1)连接BD,易知四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC, 1分 平面PCD⊥平面ACD,PD⊥CD, PD⊥平面ABCD,又ACc平面ABCD,AC⊥PD 3分 又BD∩PD=D,.AC⊥平面PBD. .4分 又，BFC平面PBD,AC⊥BF 5分 (2)由(1)知PD⊥底面ABCD,CGc平面ABCD,所以PD⊥CG. 又CD⊥LCG,PDOCD=D,所以CG⊥平面PEF. .7分 4w=6-n化 Su-1.EF.PR-1.CG-1 2 8 2 9分 1111 故W-a=Va-即=Sam·CGX。》 -38248 10分 (3)设BD与AC的交点为O,在△PBD中过点O作OM⊥PB,交PB于点M,连接AM 由(1)知AO⊥平面PBD.AO⊥PB又：OM⊥PB.PB⊥平面OAM.PB⊥AM .∠AMO即为面DPB与平面PBA的夹角 .12分 在△PBD中，PD=1,BD=√2，PD⊥BD,.PB=√3， 设DPB的距离为h则h=1-6:OM- 14分 √33 6 2 “A0② 卡2，tan∠AMo4O=2=V3∠Aoπ OM√6 3 16分 6 所以平面DP8与平面PA的夹角大小为号 .17分 19.解：1)f(x)=V2cosx-3π=√2 cos x cos3π+V2 sin xsin3π=-cosx+sinx 4 4 4 m=0,-1 由g(x)=2sinx+fcos x,得n=(2,t) 2分 因为的夹角为锐角，所以mn>0,且m,n不同向， 则2-1>0解得1<2且1-2 t+2≠0 4分 故实数t的取值范围为(-o,-2U仁2,2) 5分 (2)因为向量i=（√3,1)的"跟随函数"为h(x), 所以h(x)=V3sinx+cosx=2sinx+ 6分 6 π 又hA)=2,所以sinA+ 6 =1,因为A∈(0，)，所以A=T 3 .7分 @因为a=√3，所以由正弦定理可得a b =2 sin4 sinB sinC b+c=a（simB+sinC)=2 9分 sin A 雨余弦定理得3=b:+c-bc=6+c-36c=4-36c,则bc三 710分 2 12 DRDCDsinCD)Dsin AD 62 .11分 由Se-Sen+Seo可得5-，则4D- 12分 122 6 (0由正弦定理得R=1 be 又S4 besmA-a+0+0rr2g 2 …13分 R 2b+c+3 r3 bc 14分 由余弦定理得：b2+c2-3=bc即b+0-3=3bcs3xb+c)} 4 令b+c=x有V5<x≤2W3 15分 R-2x+5-25x1 r v3 x2 31 23x-5之2（俏且仅当=25即6=c=5时“=”成的 的范围为[2，+0) .17分