山西太原市2025-2026学年高一下学期7月期末学业诊断数学试卷

2025～2026学年第二学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午10:15—12:15） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．下列特征数中，刻画一组数据集中趋势的是 A．平均数 B．极差 C．方差 D．标准差 2．投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现3点或5点”，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 3．已知，，，则下列结论正确的是 A． B． C．与异面 D．与的位置关系不确定 4．已知数据，，…，的平均数和方差分别为5和4，则数据，，…，的平均数和方差分别为 A．11，16 B．11，8 C．10，8 D．10，16 5．某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125 432 354 534 443 512 541 334 151 314 525 332 152 344 114 453 345 423 123 423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为 A．0.144 B．0.432 C．0.6 D．0.648 6．某运动软件记录了一组运动时长数据：20，30，25，40，35，从这组数据中随机删除3个数得到一组新数据，下列结论正确的有 A．新数据的极差是10的概率为0.4 B．新数据的平均数是30的概率为0.3 C．前后两组数据中位数不变的概率为0.2 D．前后两组数据方差不变的概率为0.1 7．如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 8．已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球（仅编号不同），从中随机抽取一个小球，记事件“取出的小球编号为奇数”，“取出的小球编号为偶数”，“取出的小球编号大于4”，“取出的小球编号小于4”，则下列结论正确的是 A．与是互斥事件 B．与不是对立事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 10．某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是 A．该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B．男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C．样本的平均数为165 D．根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 11．已知正方体的棱长为4米，点从点出发，沿着棱以2米/秒的速度按照的路径运动；同时点以1米/秒的速度沿着棱从点到进行运动，运动时间，记过点，，的平面为，平面与平面的交线为，则下列结论正确的是 A．平面截正方体所得的截面可能是三角形、四边形，不可能是五边形 B．平面截正方体所得的含顶点的几何体可能是棱锥、棱柱，但不可能是棱台 C．二面角的最小值为 D．直线与直线所成角余弦值的范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．连续两次投掷一枚质地均匀的硬币，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 13．甲、乙两人向同一个目标进行射击，已知甲、乙射中目标的概率分别为0.6和0.5，且两人射中与否相互独立，则该目标被击中的概率为_____________． 14．在三棱锥中，，，，，当三棱锥的体积最大时，则其外接球表面积为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 某农场种植甲、乙两种小麦，在相同面积的试验田中分别连续种植十次．已知这十次种植试验中，甲种小麦产量的平均数为67千克，方差为20，乙种小麦的产量数据如下（单位：千克）： 65 65 67 68 70 73 65 69 66 72 （1）根据上述数据，计算乙种小麦样本数据的平均数与方差； （2）并从计算结果分析，哪种小麦更具有推广价值？请说明理由． 16．（本小题15分） 为了提升网络安全意识，某社区举办了一次“网络安全”知识竞赛，从参赛人群中随机抽取了100位居民，将其竞赛成绩分组整理，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛成绩的第一四分位数； （2）现按成绩采用样本量比例分配的分层抽样，从竞赛成绩在的样本中抽取5人，再从这5人中随机选出2人参加网络安全宣传活动，求这2人来自不同分组的概率． 17．（本小题15分） 已知正方体的棱长为2，，分别为正方体的棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 18．（本小题17分） 甲、乙、丙三人计划到、、三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市．在选择时，三人随机且独立．已知甲选择、、三个城市的概率分别为，，；乙选择、两个城市的概率分别为，；丙选择、两个城市的概率分别为，． （1）求三人选择同一个城市旅游的概率； （2）求三人选择三个不同城市旅游的概率； （3）求三人中恰有两人选择市旅游的概率． 19．（本小题17分） 如图，正方形的边长为2，，将沿翻折至，连接． （1）证明：； （2）设二面角的余弦值为，求； （3）设，求三棱锥内切球的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级期末数学试题 参考答案及评分建议 一、选择题：A B D A C C B D 二、选择题：9．AC 10．ABD 11．ACD 三、填空题：12． 13．0.8 14． 四、解答题：15．解：（1）设乙种小麦样本数据的平均数为，方差为，由题意得 ， ； 8分 （2）由（1）得及题意可得，乙种小麦产量的平均数68千克大于甲种小麦产量的平均数67千克，同时其方差7.8小于甲种小麦产量的方差20，说明乙种小麦的产量更高更稳定，更具有推广价值． 13分 16．解：（1）由题意得，所以； 3分 设这100名居民成绩的第一四分位数为， 由频率分布直方图可得成绩在的频率为， 在的频率为，所以， 由得， 所以估计该次竞赛成绩的第一四分位数为． 7分 （2）由题意得采用样本量比例分配的分层抽样抽取5人，则应从成绩在的居民中抽取2人，分别记为，；从成绩在的居民中抽取3人，分别记为，，． 9分 再从这5人中随机选出2人的样本空间为 ， 11分 设事件“这2人来自不同分组”，则， 由古典概型可得． 15分 17．（1）证明：设点是的中点，连接，，点是的中点，， 平面，平面，平面， 2分 ，分别为正方体的棱，的中点， ，，∴四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 4分 ，平面，平面， ∴平面平面， 平面，平面． 8分 （2）连接，设点到平面的距离为， ∵正方体的棱长为2，， 的面积，的面积， ，，． 15分 18．解：设甲选择、、城市分别记为事件，，，乙选择、城市分别记为事件，，丙选择、城市分别记为事件，，则，，， ，，， 3分 （1）由题意得三人选择同一个城市旅游为事件， ． 6分 （2）由题意得三人选择三个不同城市旅游为事件， ． 10分 （3）由题意得三人中恰有两人选择市旅游为事件， ． 17分 19．（1）证明：∵四边形是正方形，， ，，平面，． 4分 （2）设点是的中点，连接，， ，，， 同理可得，， 是二面角的平面角，， ， ，． 10分 （3）由题意得， ，， ， ，， 12分 ，，，，， ∵正方形的边长为2，，， 设三棱锥内切球的半径为，球心为， 则， ， 15分 ，， ． 17分 注：以上各题其它解法请酌情赋分． 学科网（北京）股份有限公司 $