精品解析：陕西西安市高新第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

2025－2026学年第二学期期末考试 2028届高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】由，，得. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由， 对应的点为，位于第一象限. 3. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式可得，再根据题意可得，由此得到的取值范围. 【详解】由可知, 是的必要不充分条件， 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B, 若，若是的交线，此时，故B错误， 对于C, 如图：正方体中，若平面，平面，平面平面，但不平行，故C错误， 对于D, 若，则,D正确. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． 6. 面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式化简求解. 【详解】在中，由及余弦定理、三角形面积公式，得， 解得，而，所以。 7. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 【答案】B 【解析】 【分析】设男生人数为，女生人数为，根据平均数可得，再结合方差公式运算求解. 【详解】设男生人数为，女生人数为， 且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和， 由平均数可得，即，解得， 由方差可得， 即，解得. 故选：B. 8. 已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算2026项的总和，判断D. 【详解】  ①，  ②， 关于对称，故  ③， 从②式换元得， 代入①式得：，即， 代入③式得，得， 换元得：  ④，再将 得，联立得，即周期为4， 对应也满足，周期也为4. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得， 又，故，解得，，， ，. 因为周期为4，且一个周期和为：， 从到共506个完整周期（2024项）， 剩余，， 所以， 故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为钝角，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据向量垂直的坐标表示求解即可；对于B，根据向量线性运算的坐标表示求解即可；对于C，根据投影向量求解即可；对于D，根据向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】对于A，若，则，即，解得，A正确. 对于B，因为，所以，解得，B错误. 对于C，因在上的投影向量为，则，即， 所以，整理得，方程无实数解，C错误. 对于D，若与夹角为钝角，则，解得且， 即，D正确. 10. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. B与C互斥 C. A与B相互独立 D. A与D互为对立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D． 【详解】设2个白球为，，2个黑球为， 则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为， 所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则， 故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，， 所以事件A与D互为对立，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（ ） A. 若P为BC的中点，则PE∥平面 B. 过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 C. 若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为 D. 若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，先证得∥，再利用线面平行的判定定理证明PE∥平面；对于B，结合正方体的特点及图形举例即可判断；对于C，由三棱锥的体积公式结合题设可得到平面的距离为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量列方程求出点P的轨迹方程，进而求解判断即可；对于D，连接并延长交的延长线于点，连接，可得平面AEP截正方体所得截面为梯形，进而求解判断即可. 【详解】对于A，连接，由正方体得∥， 由E、P分别为棱CD、BC的中点得∥， 所以∥， 又平面，平面，所以PE∥平面，故A正确； 对于B，如图，点M、N、Q分别为上的点，且,此时过点E、P、M、N、Q的平面为五边形，故B正确； 对于C，由于， 则， 所以， 则， 设到平面的距离为， 由，则， 以为原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 则，即， 所以点P的轨迹为线段，而， 则动点P的轨迹长度为，故C错误； 对于D，连接并延长交的延长线于点，连接， 而为的中点，P为的中点，则为与的交点，为的中点， 即， 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形， 而，则梯形的高为， 所以梯形的面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由，则 . 13. 据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”，底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨将题中所求四棱锥放在长方体中，那么求出长方体的外接球半径从而算出外接球表面积即可得出答案. 【详解】如图，由题意可知，即求长方体的外接球表面积，由长方体外接球半径公式知，所以长方体的外接球表面积为，即这个四棱锥外接球表面积为. 故答案为: 14. 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形可得，由平面可得，进而根据线面垂直的判定定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 显然平面的一个法向量可以是，而， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，可得，即可得； （2）借助正弦定理与三角形内角和关系可将用表示，再利用三角形面积公式及的范围计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，所以， 则，因为，∴； 【小问2详解】 因为，所以， ，因为为锐角三角形， 则，所以，则， 故，， 所以面积的取值范围为. 17. 某工厂抽取了100件电子元件进行检测，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图： （1）求第一四分位数和中位数； （2）现规定：质量指标值小于385的电子元件为二等品，质量指标值不小于385的电子元件为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100件产品中抽出5个电子元件进行检测. （i）求抽出5个电子元件中一等品和二等品分别有多少个； （ii）从这5个电子元件中随机抽取2个作进一步质量分析，试求这两个电子产品恰好有一个为一等品的概率. 【答案】（1）370，381 （2）（i）2，3；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据由频率分布直方图估计百分位数的计算公式即可求解； （2）（i）根据分层抽样的每层的样本数关系，即可求解； （ii）根据古典概型的计算公式，计算出样本空间中样本点的个数和事件中样本点的个数即可求解； 【小问1详解】 设第一四分位数为，由频率分布直方图可知，质量指标值在的电子元件的频率为, 质量指标值在的电子元件的频率为，质量指标值在的电子元件的频率为， 因此由题知， 故， 因此. 设中位数为，质量指标值在的电子元件的频率为， 因此由题知， ， 所以. 【小问2详解】 （i）由频率分布直方图可知，100个电子元件中，一等品、二等品的频率分别为， 所以从一等品电子元件中抽取个，从二等品电子元件中抽取个. （ii）记抽取的3个二等品电子元件分别为a，b，c，2个一等品电子元件分别为A，B， 从5个样品中抽取2个共有10种情况， 分别为（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）， 恰好有1个电子元件为一等品的情况有6种， 分别为（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）， 这2个电子元件中恰好有1个电子元件为一等品的概率为. 18. 如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥. （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的正弦值； （3）若点在平面上的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围. 【答案】（1）在中，由分别是的中点，得， 又平面，平面，则平面， 又平面平面平面，因此， 而平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定及性质推理得证. （2）取中点，利用线面垂直的判定结合已知求出，再利用定义法求解. （3）由（2）在平面内以点为原点建立平面直角坐标系，，求出球心及点坐标，利用数量积的几何意义求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正中，取中点，连接交于点， 由分别是的中点，则为的中点， 连接，，又，则，即， 平面，因此平面，平面， 而平面，则，，又，，于是， 因，则，在中，，， 取中点，连接，则， 为二面角的平面角，由，得， 在正中，，而，因此， ，又平面即为平面， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，平面平面，又点在平面内的射影在四边形内部， 则点在平面内的射影在线段（除点外）上， 在等腰梯形中，，则， 点为等腰梯形外接圆圆心，球心在过点垂直于平面的直线上， 球心平面，设，则点到平面的距离为， ，则， 由，得，设，球的半径为，则， 在平面内以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，， 解得，又， 因此， 由，得，令， ，函数在上单调递增， 则，，解得， 所以直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围为. 19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. （1）求的值； （2）令，对任意实数，都有，求实数k的取值范围； （3）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用平方差公式，结合指数运算性质进行求解即可； （2）首先判断函数的单调性和奇偶性，结合指数函数的单调性、函数单调性和奇偶性、对勾函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数单调性的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可. 【小问1详解】 ∵，， ∴ 【小问2详解】 ∵， 的定义域为R，任取实数，且， 则， ∵，∴， ∴<0，∴函数在R上单调递增， 又∵， ∴是R上的奇函数， 则 则得， ∴即， 整理得：， ∵，为增函数，∴，， 故， 令，显然该函数在上单调递减， 则得，从而有， ∴. 所以实数k的取值范围为. 【小问3详解】 ∵在区间上的值域是， 由上知在R上单调递增， ， 整理得 则是关于的方程的两个不等正根， ∴，解不等式组得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期末考试 2028届高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 6. 面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（ ） A. B. C. D. 7. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 8. 已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为钝角，则 10. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. B与C互斥 C. A与B相互独立 D. A与D互为对立 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（ ） A. 若P为BC的中点，则PE∥平面 B. 过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 C. 若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为 D. 若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则__________. 13. 据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”，底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为__________. 14. 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 17. 某工厂抽取了100件电子元件进行检测，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图： （1）求第一四分位数和中位数； （2）现规定：质量指标值小于385的电子元件为二等品，质量指标值不小于385的电子元件为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100件产品中抽出5个电子元件进行检测. （i）求抽出5个电子元件中一等品和二等品分别有多少个； （ii）从这5个电子元件中随机抽取2个作进一步质量分析，试求这两个电子产品恰好有一个为一等品的概率. 18. 如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥. （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的正弦值； （3）若点在平面上的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围. 19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. （1）求的值； （2）令，对任意实数，都有，求实数k的取值范围； （3）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $