精品解析：四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025-2026四川省双流中学高2024级高二下学期期末考试 数学学科试题 注意事项： 1.开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡上. 2.选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回. 4.不要折叠，污染答题卡，否则可能会影响网络评卷. 5.试卷和答案电子版将在所有考试结束后公布在班级群里. 一．单选题.（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 在中，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合已知条件可得，从而可得，又由可知为等边三角形，从而可求出的值 【详解】由余弦定理得：， 又，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题 3. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 4. 已知、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的已知条件判断各选项中线线、线面、面面的位置关系，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，则或或或与斜交，A选项错误； 对于B选项，若，，则或或与相交，B选项错误； 对于C选项，若，，则，C选项正确； 对于D选项，若，，则与平行或相交，D选项错误. 故选：C. 5. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量，再计算与夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点到直线的距离. 【详解】点，点，所以. . 根据向量点积公式可得： 因为，所以： 且， 则点到直线的距离为. 故选：C. 6. 若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D． 【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 7. 函数（）的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，求即可得解. 【详解】（）， 令，解得， 故在上单调递增， 故选：B． 8. 小A第一天吃巧乐兹的概率是0.24，第一天喝雪碧的概率是0.7，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的概率是0.98；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是0.3，请问小A连续两天吃巧乐兹的概率（ ） A. 0.16464 B. 0.15 C. 0.189993 D. 题目条件不足，无法求出最后答案 【答案】D 【解析】 【分析】分别用字母表示事件，根据条件概率及全概率公式分析求解. 【详解】记表示第一天吃巧乐兹，则， 表示第一天喝雪碧，则， 表示第二天吃巧乐兹；表示第二天不吃巧乐兹， 表示第二天喝雪碧. 则，， 所以. 连续两天吃巧乐兹=第一天吃巧乐兹且第二天也吃巧乐兹， 由，，所以只需求. 在第一天吃巧乐兹的前提下，第二天分两种互斥情况：第二天喝雪碧、第二天不喝雪碧. 所以 已知，， , 但题目未给出条件概率，故无法完成计算. 二.多选题.（每道题6分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分，共18分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图像过点，求得函数解析式为，利用正弦型函数的周期判断A；利用可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的图像过点，可得， 即，则，即， 所以函数解析式为 对于A，函数的周期，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，利用正弦函数的性质知，可得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故D正确； 故选：ABD 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 11. 已知是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为，若，，，，则（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 存在最大项 D. 存在最小项 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意推出，从而说明，利用三角形面积公式推出，构造数列从而求得，由此可判断A,B由结合可求得、，对数列中的奇数项和偶数项构成的数列的单调性以及项的符号进行分析，确定数列的最大项和最小项，可判断CD. 【详解】由题意知： ， 故，即，即， 所以，则， 故，， 由 得： ， 即，所以， 则，而 ， 故 ，则， 所以，由于 随的增大而减小， 故是随的增大而增大， 由题意知，故是递增数列，故A正确； 同理随的增大而增大，是递增数列，B错误； 又，由于，，且， 所以，是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，， 因为，，故，， 所以，， 所以，，其中， ，其中， 因为数列随着的增大而减小，数列随着的增大而增大， 故数列随着的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的， 同理可知数列随着的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的， 综上所述，数列的最大项为，最小项为，CD均对. 故选：ACD. 【点睛】本题综合考查了数列的单调性问题以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题. 三.填空题.（共15分） 12. 曲线，如果是双曲线，需要满足的条件_____ 【答案】 且 【解析】 【详解】根据双曲线的定义，需满足且， 解得且. 13. 解方程_____. 【答案】 或，（等价表示为 或，） 【解析】 【详解】由题意得， 可知，即，. ， 可知或， 当时，，，此时，符合条件； 当时，因为， 所以，解得，， 即，，此时，符合条件. 综上所述，或，. 14. 一个正方体的边长为4，这个正方体能够放下________个半径为1.2的球 【答案】2 【解析】 【分析】证明沿着体对角线放球，放球的个数最多. 【详解】因为球的半径为1.2，所以直径为2.4，若沿着棱的方向放球，因为， 所以只能放一个； 若沿着体对角线的方向放球，则可以放两个球，两球球心在上，两球切点为的中点，如图（1）， 则. 过作截面，得如图（2）平面图形，过作于， 则，所以. 根据对称性可知沿着体对角线可以放两个半径为1.2的球. 四.解答题.（共77分） 15. 已知 （1）求 （2）一个函数的一阶导函数和再次求导的函数能帮助我们确定什么？说说你的观点. （小提示：本道题目若使用高等数学知识解答，你需要做简单说明；我们希望你用已有的知识尝试解答，第二问一阶导函数和二阶导函数分别写2条你的发现即可，也可以写你在解决导数压轴题时什么时候会用到二阶导，什么时候会用到一阶导，阅卷老师会综合作答质量进行评分） 【答案】（1）（为任意常数）； 当时，（为任意常数）， 当时，（为任意常数，高中阶段默认时可仅写前者）. （2）一阶导数的2条核心作用： 1.判断函数单调性、求解单调区间：若，原函数在区间上单调递增； ，原函数单调递减. 2.寻找原函数极值点、最值点： 令得到驻点，结合左右导数符号变化，区分极大值点、极小值点； 再结合定义域区间，可求出函数在闭区间上的最大值与最小值. 应用：导数大题第一问求单调区间、证明不等式时，第一步一定求一阶导数判断增减性. 二阶导数的2条核心作用： 1.判断原函数的凹凸性，确定拐点，原函数图像下凸（凹函数）； ，原函数图像上凸（凸函数）；二阶导数变号的点就是凹凸性改变的拐点. 应用：不等式放缩、泰勒不等式证明、凹凸性偏移类压轴题，必须用二阶导数. 2.研究一阶导数自身的单调性，解决隐零点问题 一阶导数式子复杂，无法直接解方程 时， 我们对一阶导数再次求导得到二阶导，研究的增减，锁定一阶导数零点的范围，也就是隐零点法. 应用：高考导数压轴最难的隐零点题型，是二阶导数最典型的使用场景. 【解析】 【分析】（1）根据导数的公式及运算法则，利用导数的逆运算求解原函数； （2）根据导数应用的相关结论分析. 【小问1详解】 （为任意常数）； 当时，（为任意常数）， 当时，（为任意常数，高中阶段默认时可仅写前者）. 【小问2详解】 一阶导数的2条核心作用： 1.判断函数单调性、求解单调区间：若，原函数在区间上单调递增；，原函数单调递减. 2.寻找原函数极值点、最值点： 令得到驻点，结合左右导数符号变化，区分极大值点、极小值点； 再结合定义域区间，可求出函数在闭区间上的最大值与最小值. 应用：导数大题第一问求单调区间、证明不等式时，第一步一定求一阶导数判断增减性. 二阶导数的2条核心作用： 1.判断原函数的凹凸性，确定拐点，原函数图像下凸（凹函数）； ，原函数图像上凸（凸函数）；二阶导数变号的点就是凹凸性改变的拐点. 应用：不等式放缩、泰勒不等式证明、凹凸性偏移类压轴题，必须用二阶导数. 2. 研究一阶导数自身的单调性，解决隐零点问题 一阶导数式子复杂，无法直接解方程 时， 我们对一阶导数再次求导得到二阶导，研究的增减，锁定一阶导数零点的范围，也就是隐零点法. 应用：高考导数压轴最难的隐零点题型，是二阶导数最典型的使用场景. 16. 在中，角所对的边分别为.已知 （1）若，，求的面积； （2）若，求的周长的取值范围； （3）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理并结合条件可得，再由三角形的面积公式可得； （2）先由正弦定理将边化为，，进而可得，再由的范围可得周长的范围； （3）由（2）的分析得，再由锐角三角形得，进而可得三角形周长范围. 【小问1详解】 根据正弦定理，将等式化为， 又，代入化简得， 因为，所以， 所以，，结合，所以. 又因为在中，，，​， 由三角形面积公式得. 因此的面积为. 【小问2详解】 由（1）分析知，且，由正弦定理​， 得，，且，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. 【小问3详解】 因为为锐角三角形，且，由（1）分析知， 由（2）分析得，，且， 因为为锐角三角形，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点. （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. （2） （3）或不存在 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得； （3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，， 所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，， 所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 18. 硬币问题是概率学的一个有意思的问题，请根据所学，回答以下问题： （1）如果做抛硬币实验1000次（假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰），发现563次都是正面，能否说明抛出硬币正面的概率并不是，我们平时对此的储备知识有误？请结合你所学的知识，说说你的看法. （2）一个赌徒抛20次硬币都是正面（假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰），请问第21次硬币是正面的概率能否被计算？请说明理由. （3）赌徒从两枚硬币中选一枚：A币两面都是正面，B币是公平币（抛出正面和反面概率均为1/2）.赌徒选了其中一枚，连抛20次全是正面，请问第21次是反面的概率？ 【答案】（1）不能说明抛出硬币正面的概率不是， 因为抛硬币正面朝上的概率是理论值， 是大量重复实验后频率的稳定值， 实际实验中，频率会因实验次数有限而围绕概率上下波动，具有随机性， 1000次实验有563次正面，频率为， 与的偏差在合理范围内，不能仅凭有限次实验结果否定理论概率 （2）第21次硬币是正面的概率能被计算，为， 因为硬币质地均匀，每次抛硬币的结果相互独立， 即前一次的结果不会影响下一次抛硬币的结果， 所以第21次硬币是正面的概率仍为，该概率可以通过理论计算得出 （3）第21次是反面的概率为 设事件为连抛20次全是正面，选中A币为事件，选中B币为事件， ，，， ， ， 第21次是反面的概率为. 19. 函数性质研究是高中数学学习中非常重要的一环，我们可以通过已有的知识去推出新的结论.请回答下面问题： （1）将向上、下、左、右分别平移2个单位，其平移后的函数解析式分别是什么？（请直接写出答案） （2）以（1）为基础，将函数 的图象绕原点 逆时针旋转 （），求问：当 为______时，旋转后的图象仍能表示为 的形式；当 为______时，旋转后的图象关于 轴对称．当函数 按照 旋转后，再按照（1）的平移规律，试求出向上、下、左、右分别平移 个单位后的表达式． （3）（i）根据（1），（2）的探究过程，写出你发现的结论（写出 条不同方面的，只要合理即可，我们鼓励不同、新奇的看法）． （ii）探究小组小明在想：如果把函数 绕原点旋转任意角度，旋转后的表达式还能求出来吗？他查阅资料得知：在平面直角坐标系中，将任意一点 绕原点 逆时针旋转 ，旋转后对应点记为 ，有 请根据这个知识写出旋转后图象满足的方程，并说明什么时候能写成单一函数 的形式． 【答案】（1）向上平移个单位：；向下平移个单位：；向左平移个单位：；向右平移个单位：． （2）①或；②或；③向上平移个单位：；向下平移个单位：；向左平移个单位：；向右平移个单位：． （3）（i）二次函数平移不改变开口方向和形状，仅改变顶点位置；二次函数旋转后是否仍能表示为与旋转角有关； （ii）旋转后的图象满足 当，即（）时，旋转后的图象能写成单一函数的形式； 当时，一般不能在整个定义范围内写成单一函数的形式． 【解析】 【分析】（1）直接利用二次函数平移规律求解． （2）旋转或后，图象仍是开口向上或向下的抛物线，能够写成的形式，且关于轴对称；旋转后得到，再按平移规律写出表达式． （3）先由旋转公式反解原坐标，再代入原函数，得到旋转后的方程． 【小问1详解】 向上平移个单位，得到；向下平移个单位，得到； 向左平移个单位，得到；向右平移个单位，得到． 【小问2详解】 函数绕原点旋转时，仍为；绕原点旋转时，图象变为． 这两种情况下，旋转后的图象均能写成的形式，且均关于轴对称． 当按照旋转角旋转后，得到． 再平移个单位：向上平移个单位，得到； 向下平移个单位，得到； 向左平移个单位，得到； 向右平移个单位，得到． 【小问3详解】 （i）略 （ii）由旋转公式反解得 因为原图象满足，所以旋转后的图象满足 当，即时，上式可化为单一函数形式． 若，则； 若，则． 当时，上式关于是二次方程，一般对应两个分支，因此整体上不能写成单一函数的形式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026四川省双流中学高2024级高二下学期期末考试 数学学科试题 注意事项： 1.开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡上. 2.选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回. 4.不要折叠，污染答题卡，否则可能会影响网络评卷. 5.试卷和答案电子版将在所有考试结束后公布在班级群里. 一．单选题.（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 4. 已知、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 7. 函数（）的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 8. 小A第一天吃巧乐兹的概率是0.24，第一天喝雪碧的概率是0.7，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的概率是0.98；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是0.3，请问小A连续两天吃巧乐兹的概率（ ） A. 0.16464 B. 0.15 C. 0.189993 D. 题目条件不足，无法求出最后答案 二.多选题.（每道题6分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分，共18分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 已知是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为，若，，，，则（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 存在最大项 D. 存在最小项 三.填空题.（共15分） 12. 曲线，如果是双曲线，需要满足的条件_____ 13. 解方程_____. 14. 一个正方体的边长为4，这个正方体能够放下________个半径为1.2的球 四.解答题.（共77分） 15. 已知 （1）求 （2）一个函数的一阶导函数和再次求导的函数能帮助我们确定什么？说说你的观点. （小提示：本道题目若使用高等数学知识解答，你需要做简单说明；我们希望你用已有的知识尝试解答，第二问一阶导函数和二阶导函数分别写2条你的发现即可，也可以写你在解决导数压轴题时什么时候会用到二阶导，什么时候会用到一阶导，阅卷老师会综合作答质量进行评分） 16. 在中，角所对的边分别为.已知 （1）若，，求的面积； （2）若，求的周长的取值范围； （3）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点. （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 18. 硬币问题是概率学的一个有意思的问题，请根据所学，回答以下问题： （1）如果做抛硬币实验1000次（假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰），发现563次都是正面，能否说明抛出硬币正面的概率并不是，我们平时对此的储备知识有误？请结合你所学的知识，说说你的看法. （2）一个赌徒抛20次硬币都是正面（假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰），请问第21次硬币是正面的概率能否被计算？请说明理由. （3）赌徒从两枚硬币中选一枚：A币两面都是正面，B币是公平币（抛出正面和反面概率均为1/2）.赌徒选了其中一枚，连抛20次全是正面，请问第21次是反面的概率？ 19. 函数性质研究是高中数学学习中非常重要的一环，我们可以通过已有的知识去推出新的结论.请回答下面问题： （1）将向上、下、左、右分别平移2个单位，其平移后的函数解析式分别是什么？（请直接写出答案） （2）以（1）为基础，将函数 的图象绕原点 逆时针旋转 （），求问：当 为______时，旋转后的图象仍能表示为 的形式；当 为______时，旋转后的图象关于 轴对称．当函数 按照 旋转后，再按照（1）的平移规律，试求出向上、下、左、右分别平移 个单位后的表达式． （3）（i）根据（1），（2）的探究过程，写出你发现的结论（写出 条不同方面的，只要合理即可，我们鼓励不同、新奇的看法）． （ii）探究小组小明在想：如果把函数 绕原点旋转任意角度，旋转后的表达式还能求出来吗？他查阅资料得知：在平面直角坐标系中，将任意一点 绕原点 逆时针旋转 ，旋转后对应点记为 ，有 请根据这个知识写出旋转后图象满足的方程，并说明什么时候能写成单一函数 的形式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $