精品解析：四川自贡市蜀光中学2025-2026学年高二下学期零诊模拟考试数学试题

高2024级0诊模拟考试 数学试卷 出题人：周娜 审题人：蒋书丽 本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 【注意事项】 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷上.考试结束后，只将答题卷交回. 2.试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 3.试卷中的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卷上各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.不能答在试题卷上. 一、单选题（共8个题，每小题5分） 1. 求的展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 2. 某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（ ） A. 60万元 B. 65万元 C. 70万元 D. 75万元 3. 已知函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. -2 4. 已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.85135 D. 0.84135 6. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 7. 在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位，第n（）行的第r个机器人的动作难度为，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3个题，每题6分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10. 若，则（     ） A. B. C. D. 11. 已知函数 下列说法正确的是（ ） A. 若，则方程有3个不相等的实数根 B. 若方程的3个不相等的实数根，则 C. 存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D. 对任意实数，函数都是奇函数 三、填空题（共3个题，每题5分） 12. 已知，则________． 13. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不同的排列方式有_____种. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 四、解答题（共5个题，共77分） 15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图． （1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； （2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 19. 已知函数． （1）当时恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； （3）若有三个不同的零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级0诊模拟考试 数学试卷 出题人：周娜 审题人：蒋书丽 本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 【注意事项】 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷上.考试结束后，只将答题卷交回. 2.试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 3.试卷中的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卷上各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.不能答在试题卷上. 一、单选题（共8个题，每小题5分） 1. 求的展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 2. 某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（ ） A. 60万元 B. 65万元 C. 70万元 D. 75万元 【答案】C 【解析】 【详解】由已知得，， 因为点在回归直线上，所以，得， 即, 所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为万元． 3. 已知函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】求导，由极小值定义得到方程，求出或6，检验后得到结论 【详解】， 在处有极小值，故， 所以，解得或6， 当时，，令得或， 令得， 所以在处取得极小值，满足要求， 当时，，令得或， 令得， 此时在处取得极大值，不合要求， 综上，. 4. 已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】注意到，，均在直线上．故， 而不在该直线上，即四点不共线，故．于是． 5. 某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.85135 D. 0.84135 【答案】D 【解析】 【分析】应用正态分布概率计算求解. 【详解】由题意可知，身高Y近似服从正态分布 ，所以， 身高至少要有160厘米才算达标，即求， 因为，所以， 根据正态分布的对称性 . 6. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 7. 在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位，第n（）行的第r个机器人的动作难度为，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知第行的第个机器人的动作难度为，结合组合数的性质运算求解即可. 【详解】由第n行的第r个机器人的动作难度为，可知：第n行的第3个机器人的动作难度为， 则动作难度之和为： . 8. 不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 二、多选题（共3个题，每题6分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10. 若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对二项展开式进行赋值计算判断A,B,C项，根据进行拆解对照，利用通项计算即可判断D项. 【详解】对于A，令，可得，故A错误； 对于B，令，则原式等于， 又因为，故，故B正确； 对于C，令，并代入，可得， 即，因，则，故C错误； 对于D，因为， 则展开式中含项的系数， 展开式中含项的系数， 故，则D正确. 11. 已知函数 下列说法正确的是（ ） A. 若，则方程有3个不相等的实数根 B. 若方程的3个不相等的实数根，则 C. 存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D. 对任意实数，函数都是奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用单调研究单调性作出函数图像即可判断，对于B，由得，进而判断B，由得，令，利用导数研究单调性作出函数图像即可判断C，先求即可判断D. 【详解】由题意得：，令，解得或， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 作出函数的函数图像： 由图可知：当时，方程有3个不相等的实数根，故A正确； 由得，即， 又， 所以，所以， 所以，故B正确； 由，所以，令， 所以，令， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 作出的函数图像： 由图可知：当时，直线与函数的图像有3个不同交点，故C正确； 由， 又，所以为偶函数，当时，为奇函数，故D错误. 三、填空题（共3个题，每题5分） 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. 13. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不同的排列方式有_____种. 【答案】36 【解析】 【分析】利用特殊元素优先安排以及插空法计算. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排一共由5个位置，假设五个位置按顺序分别为一、二、三、四、五. 因为甲不站在两端且甲和乙不相邻，所以优先安排甲. 当甲在安排在位置二时，乙安排在四、五位置，其它人可以随意安排，即(种)； 当甲在安排在位置四时，同理有(种)； 当甲在安排在位置三时，乙安排在一、五位置，其它人可以随意安排，即(种)； 则共有(种). 故答案为：36. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先设切点为，根据切线方程可得，进而可得，再构造函数，用导数求得函数的最大值可得. 【详解】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 四、解答题（共5个题，共77分） 15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图． （1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； （2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 【答案】（1），人 （2）表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【解析】 【小问1详解】 由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. 【小问2详解】 由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则. 又，故，，平面， 则平面，即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 17. 设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，运用相关点法即可解决； （2）设，利用点差法得到，所以直线方程为与椭圆方程联立，由韦达定理得到，再由弦长公式得到，原点到直线的距离：，即可求的面积. 【小问1详解】 设，则，由，得， 得，而是圆上的动点，所以，即 【小问2详解】 设，即①，② 两式相减得到， 即 所以， 所以直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理：， 所以， 原点到直线的距离：， 所以. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 【答案】（1） （2）①设事件为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，， 由全概率公式，得 整理得， 故， ， 是以为首项，为公比的等比数列,通项公式为； ②当n为大于1的奇数时，； 当n为大于1的偶数时，； 综上所述，当时，． 【解析】 【分析】（1）先拆分互斥情况，并求出相关概率，利用条件概率公式求出相关概率，再利用全概率公式求解； （2）①利用全概率公式建立递推关系式，通过变形构造等比关系，求出首项及通项公式； ②根据通项公式分奇偶性讨论，从而证明结论． 【小问1详解】 设事件为“第1天选择米饭套餐”，事件为“第2天选择米饭套餐”， 事件为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得． 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 已知函数． （1）当时恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； （3）若有三个不同的零点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：由(1)可知，有三个不同的零点等价于与有三个不同的交点； ，求导得：； 当时，，单调递增，； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；；则； 设，则三个零点满足，， 则：对于：，，， 故； 则：对于：，，则，故， 因为，故； 令，则，令，求的最大值： ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，故； 对于：需证； 因为，可得：，， 作差可得，则； 要证，即证，即 ； 令，则，即证， 即证时，； 令，则， 故在时单调递减，故，故； 综上：． 【解析】 【分析】(1)根据列出不等式，分离参数，利用恒成立，则，求导判断的单调性和最值进行计算的取值范围； (2)根据题意分析，对于任意的，存在使得成立，可化为两个函数在定义域为上的值域包含问题，通过讨论的取值范围判断是否符合题意，从而确定的取值； (3)含参函数零点问题可以通过分离参数转化为两个函数图象的交点问题，通过(1)的分析，可确定三个根的取值范围，从而进行证明． 【小问1详解】 因为当时恒成立： 当时，恒成立； 当，不等式恒成立等价于不等式恒成立； 则； 令，则； 令，则； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故； 故a的取值范围为． 【小问2详解】 因为，令； 即对任意的，存在，使得， 即在上的值域包含在上的值域； 因为，，故； 当时，，单调递减， 则的值域为；的值域为， 因为的最大值等于，因此不可能属于的值域， 故在上的值域不可能包含在上的值域，舍去； 当时，，单调递增，则的值域为； 的值域为，则， 故 且 ，解得，故； 当时，令，解得； 当，，单调递增； 当，，单调递减； 故，， 此时的值域无法包含的值域，舍去； 综上，． 【小问3详解】 略 【点睛】对于含参的问题，常采用分离参数的方法，构造新函数，通过求导研究新函数的性质，从而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $