精品解析：四川省南江中学2025-2026学年高二下学期零诊模拟数学试题

南江中学2025-2026学年高二下学期零诊模拟考试数学试题 命题人：虎忱 审题人：张桂华 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 96 7. 椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 B. 函数的极小值点是 C. 当时，与直线有2个公共点 D. 当时，与的图象有2个公共点 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等差数列 B. 若是等比数列，则，，是等比数列 C. 若，都是等差数列，前项和为，且，则 D. 若是等比数列，且（，为常数），则 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（ ） A. 直线 斜率的取值范围是 B. 当直线 过原点时， 的面积为 C. 若 ，则 D. 若直线 的斜率为 ，且 ，则 三、填空题 12. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为____________． 13. 若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 14. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角. 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 19. 已知函数，其中， 为自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江中学2025-2026学年高二下学期零诊模拟考试数学试题 命题人：虎忱 审题人：张桂华 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项及等差数列基本量计算即可求解． 【详解】由已知得， 所以． 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 3. 设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设及条件概率计算公式可得答案. 【详解】因为A的对立事件，且，则，又，则. 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 5. 已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的体积. 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 6. 从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】可将问题分为1女2男或2女1男两类情况分别计算后利用分类加法计数原理计算即得，或用间接法用总安排数减去全为男生的安排数求解. 【详解】解法一（分类法）： 根据至少1位女生入选的要求，分两类讨论： 选出1位女生、2位男生：选出3人的方法有种，再将选出的3人分配到3个场馆的方法有种，则该类安排方法有种； 选出2位女生、1位男生：选出3人的方法有种，再将选出的3人全排列分配到3个场馆的方法有种，则该类安排方法有种. 根据分类加法计数原理，总安排方法数为种. 解法二（间接法）： 从6人中任选3人分配到3个场馆的总安排数为，其中全为男生的安排数为， 因此符合条件的安排方法数为. 7. 椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率. 8. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 B. 函数的极小值点是 C. 当时，与直线有2个公共点 D. 当时，与的图象有2个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，对求导，由导函数符号即可分析函数的单调区间；B选项，由的单调性即可判断极小值点；C选项，根据的单调性、极值点，再结合和的趋势，即可作出函数图象，从而得到交点情况；D选项，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性，作出函数的图象，即可判断. 【详解】对于A，， 当时，，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故A正确； 对于B，由A可知的极小值点为，极小值为，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 结合函数的单调性画出函数的大致图象， 由图象可得当时，，函数的图象与直线有且仅有两个交点，故C正确； 对于D，令，当时，等式不成立，故不是方程的根， 当时，方程可化为， 令，则有， 所以单调递增区间为和，图象如右图所示， 所以当时，函数的图象与直线有且仅有两个交点， 故当时，与的图象有2个公共点，故D正确. 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等差数列 B. 若是等比数列，则，，是等比数列 C. 若，都是等差数列，前项和为，且，则 D. 若是等比数列，且（，为常数），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据等差数列的定义结合与的关系判断即可；对于B，举例即可判断；对于C，根据等差数列的性质及求和公式求解判断即可；对于D，先求出，再根据等比数列的定义求解判断即可. 【详解】对于A，由是等差数列，设其公差为，为常数， 则 ，即， 当时，， 则，为常数， 则是等差数列，故A正确； 对于B，当时，满足是等比数列，而， 此时，，不是等比数列，故B错误； 对于C，由，都是等差数列，， 则，故C正确； 对于D，由，得，，， 则，， ， 因为是等比数列，所以，即， 则，即，故D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（ ） A. 直线 斜率的取值范围是 B. 当直线 过原点时， 的面积为 C. 若 ，则 D. 若直线 的斜率为 ，且 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据双曲线性质确定基本参数，再结合直线方程与双曲线方程联立，几何性质、定义等知识逐一分析各选项. 【详解】因为双曲线，所以，焦点 ， 渐近线斜率，离心率，在A选项中，设直线， 联立双曲线得：，  故, 故，而直线与双曲线左、右支各有一个交点， 故,故，所以，A正确， 在B选项中，当直线过原点时，斜率，则直线，代入双曲线得：  ，则，面积，B错误， 在C选项中，设，满足，设​， 则：，​​ 由二倍角公式：，  又 ，故 ， C正确， 在D选项中，因为直线的斜率为，且过点，则直线方程为， 因为，所以它们的中点坐标为， 斜率，与直线的斜率乘积为， 故直线是的垂直平分线，因此直线上任意点到和的距离相等， 即，由双曲线定义可得：在左支 ， 在右支 ，故， 因此，D正确. 三、填空题 12. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数之和的性质，即的所有二项式系数之和为，代入指数计算. 【详解】根据二项式系数的定义，展开式的二项式系数为， 因此所有二项式系数之和为，所以. 13. 若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将“函数在是增函数”转化为“在上恒成立”，分离参数，并利用基本不等式可得的取值范围. 【详解】函数的定义域为， . 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以  ，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即. 故的取值范围是. 14. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设表示事件“交换次后，黑球还在罐中”，求出，再由，即可得到，从而得到是等比数列，首项为，公比为，即可求出，从而求出. 【详解】设表示事件“交换次后，黑球还在罐中”， 一次交换后黑球还在罐中，即从罐中摸到的是白球，所以， 事件的发生分成两个互斥事件：发生的情况下，从罐中摸到的是白球， 或者是不发生时，从罐中摸到的是黑球， 所以， 所以，而， 所以是等比数列，首项为，公比为， 所以，即． 所以，即交换4次后，黑球还在A罐中的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角. 【答案】（1）取的中点，连接. ∵在中，为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴， 又∵为的中点，∴， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到为直线与平面所成的角，利用正弦定义即可求解. 【详解】（1）略 （2）连接，在直三棱柱中， ∵平面平面，∴， ∵，又是平面内的两条相交直线， ∴平面， 又平面，∴， 又∵在中，为的中点，∴， 又是平面内的两条相交直线， ∴平面. ∴是在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角. 在中，∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 所以直线与平面所成的角为. 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 数学期望为 （3） 的分布列为 0 1 2 3 方差为 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望； （3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差. 【小问1详解】 依题意，得 ，解得 ． 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）知，， 设，，直线， 代入，整理得， ，且，得， ，， ∴直线，， ∴直线，， ，， ， . （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可； （ⅱ）利用面积公式结合韦达定理把表示成的函数，通过解析式判断最小值. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为. 由题知，，，， 的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii） ， 其中， ， ， ∴当时，. 19. 已知函数，其中， 为自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $